（1912年担任英国数学家协会伦敦分会主席的演讲）
如果不回溯几个世纪前中世纪学习传统的中断，我们就不能为当下教育的形势找到一个比较。传统的智识观，尽管曾经因为显著的胜利而获得权威，却已经逐渐变得狭隘，无法服务于当今人类的利益。人类利益发生改变的结果是，要求教育的基础作出相应的改革，从而适应学生的需要，向他们教授他们日后生活中能确实影响他们心智的观念。人类社会智识观的任何一次重大的根本性变化，都必然引起教育的改革。这种教育革命有可能会延迟一代人的时间，因为受到既得利益的影响，或是一些学界领袖固守自己求学时期所受精神激励的影响，但法则不可抗拒，要使教育生动、有效，就必须直接向学生传递这样的观念，为自己创造能力，使自己能欣赏所处时代的流行思想。
任何成功的教育系统都不可能在真空中产生。也就是说，教育系统不能脱离与智识的气氛之间的直接联系。如果我们的教育不是现代的，教育的命运就会像一切有机体那样，难免会因为保存时间过长而腐坏 。
“现代”，这个被祝福的词，并不真正拯救教育的困难。所谓现代的教育，就是用现代的思想去传递知识，用现代的思想培育能力。在这个意义上，有些事物只是昨天才刚刚被发现，却不能真正算是现代的。它或许属于某些以前流行的过去的思想体系，它可能太深奥了。当我们要求教育要跟现代思想相关，我们所说的思想指的是在文明社会中那些广为流行的观念。在普通教育中，深奥的课程不合时宜。这个问题就是我今天下午的演讲的关键点。
对于数学家来说，数学的确是一门复杂的学科。外行都倾向于谴责我们的科目太复杂了。让我们抓住这让人烦恼的时机，向人坦率地承认：在通常的观点来看，这的确是一个深奥的典型例证。但是，深奥并不等同于问题很难，而是相关观念的运用是高度专业化的，没能影响到人们的思想。
人们对数学课程太复杂的抱怨是一种特有的邪恶，摧毁了数学在通识课程中的应用。到目前为止，这个邪恶的力量还附着在学科的教育应用上；到目前为止，我们必须承认我们的数学素养普遍地处在一个让人悲伤的低水平上。我比任何人都更渴望扩大数学教育范围。要达成数学教育的加强，盲目学习更多数学知识并非良方。我们必须面对阻碍数学广泛应用的真正困难。
数学课程到底是不是很深奥呢？总的说来，我认为是的。 securus judicat orbis terrarium ，人们的一般判断还是可信的。
数学这门学科，存在于人们的大脑里是深奥的，存在于学生们的数学书上也是深奥的。数学，从一般的原理出发，经过演绎得出无数的特殊的结果，每一个结果都比推论过程之前更加深奥。我今天下午的任务，不是为了要辩护说：数学这门学科的学习是多么意义深远。这一点，不证自明。我想强调的是：数学这门科学吸引学生的主要原因，也是使数学的应用成为一种教育障碍的原因，教育的无尽财富来源于此。这些原因即：来自一般原理的互相影响的大量推论，它们之间的复杂关系，它们与争论的出发点之间明显的疏远，形式多样的方法，它们的纯抽象特征，这些数学的礼物，带来不朽的真理。
当然，所有这些特性对学生来说都是无价宝。古往今来，数学的特性吸引了很多具有最敏锐的智力的人们。我只发表一条见解：除了那些天选一般的高天赋的人们，数学教育对一般人来说都是致命的。学生们被各种各样的细节给弄迷糊了，这些细节跟伟大的观念无关，跟日常的思想也无关。为了教育的利益，最后一项衡量标准就是，这种培训是否扩展到获取更多细节的方向。
我们得到的结论是，数学，如果要在普通教育中被用到，必须经过一个严格的筛选和调试的过程。我认为，只要付出了一定的努力，即便是智商一般的学生也能有所收获。为了即使只有一点点的进步，我们也要对数学教育作出改变。在数学教育的任何一个阶段，我们都要严格排除一些不合时宜的因素。这门科学呈现在年轻学生面前的时候，务须丢掉深奥的一面。它必须能直接地、简单地探讨一些具有重要性的意义深远的一般观念。
在数学教育改革这件事上，现在这一代教师们非常有理由感到骄傲，因为他们取得了成就。改革中已经显示出了巨大的能量，而且在不可思议的短时间之内完成。在公共考试制度下，改革一门根深蒂固的既定课程，一般人难以设想这个任务有多艰难。
尽管如此，他们还是取得了巨大的进步。至少，老旧僵死的传统被打破了。我今天下午着重要谈的，就是关于重建我们的数学教育体系。我已经以一句话来概括了我对这个问题的看法，即，必须要把深奥性从一门学科的教育用途中去除。
我们的教学过程中，应该被设计得能够简要地说明一系列显而易见的、具有重要性的观念。所有花哨的题外话都应该被严格去除。我们要设立的目标是：学生对抽象的思想获得了亲熟感，应该能够在特定具体环境中意识到怎么样去运用这些抽象的思想，应该知道在符合逻辑的调查研究中怎么样去运用一般方法。怀着这种理想，你会发现，没有什么比盲目在课本中增加原理更糟糕的事儿了。那些原理在课本中占据一席之地，仅仅是因为学生能去学习它们，而考试出题人能够对此提出简答题来考查学生。学生要学习的书本知识，是能够说明观念的，也是非常重要的。所举的例子，应该直接说明公理，也可以是在具体现象中应用的方式。只要老师觉得合适，例子越多越好。需要强调一点，如果考试中出现的实例需要很多深奥细节知识的话，精简教材徒劳无功。人们往往存在一种错误的观念，认为卷面试题能甄别能力与天分，而书本知识能检测一个人的死记硬背。我的个人经历并非如此。为了争取奖学金而死记硬背的孩子，才会成功解答有难度的试卷。适当地编排教材，而不是按照通行的那种糟糕的教学计划来编排，又以增添一些直接例证为前提，也是非常好的能力检测呢。不过，这都是由考试对教学不良影响引出的题外话了。
基础数学中的主要观念其实根本不深奥，只能说它们抽象。在通识教育中开展数学教育，一个主要的目标就是培养学生掌握抽象观念的能力。这门科学成了最初第一大组抽象观念，以精审的方式，自然地进入学生头脑中。为了教育起见，数学由数字关系、数量关系和空间关系组成。这不是数学的一般定义，在我看来，数学不仅仅是一般科学。我们现在讨论的是教育中数学的应用，这三组关系：数字关系、数量关系、空间关系，是相互联系的。
在教育进程中，我们从特殊到一般。因此，儿童应该被教会在简单事例中实践这些观念。我的观点是，不要无目的地堆砌特殊数学理论，而是最终认识到，之前多年的学习说明了数量、质量和空间之间的关系，这才是数学教育的目标。这样的培训应该作为一切哲学的基础。实际上，初等数学如果能够很好地被接受的话，就会给人群中那些普通智力的人们以哲学的训导。但是我们在数学教育中务必要避免一点，就是无意义的细节的堆积。去做一些实例题，爱做多少做多少，让孩子们做上几个学期，几年也行。但是这些例题必须能够直接说明主要观念。用这种方式，也只能用这种方式，才能避免数学那致命的深奥。
我不是针对那些将来会成为专业数学家的学生，也不是那些因为职业原因被要求有一定数学细节知识的学生。我们考察的是指向所有学生的通识教育。也包括上述两类学生。因此，数学的一般运用，应该是对某些一般真理的简单的学习，能够用实践中的实例很好地说明。这种学习要从自身去构想，要和前面所讲的专业数学研究完全区分开来，尽管这种数学教育为专业的数学研究做了最精彩的准备。数学教育的最终阶段，学生掌握了那些在练习中已经被阐明的一般原理。据我所知，当今数学教育的最终阶段是让学生掌握和三角形相连的圆的关系证明。数学家往往会对这样的数学题很感兴趣，但是，它们难道不深奥吗？它们与通才教育的理想之间又有什么确切联系？在古典文化教育中，学生们学习语法，目的是为了阅读维吉尔和贺拉斯 ——最伟大的人的最伟大的思想。这能一样吗？当我们为自己的科学（数学）辩护，称其在教育中有足够的代表性的时候，却说我们数学教育的终点是学生知道九点圆 的性质？我很坦率地问你，是不是很掉价？
这一代数学教师在改革数学课程方面做出很多勤勉的工作。我们不必灰心，我们一定会设计出课程，它能在学生头脑中留下比“二义情况” 更高贵的东西。
让我们想想，在基础课程结束的时候，最后复习时怎么引导那些天资聪颖的学生。在一定程度上，毫无疑问，需要对所完成的全部工作进行全面监督，而不必考虑过多的细节，以便强调那些用到的一般观念，以及这些观念在进一步学习中重要的可能性。同时，分析和几何思想在物理实验室中得到了直接的应用，在物理实验室中，应完成一门简单的实验力学课程。这样的应用具有双重的意义，一方面学习物理知识，一方面学习数学知识，两者互为印证。
在力学原理的精确公式化里，数学观念是非常关键的。精确的自然法则的观念，在我们的经验中这些法则以何种程度被证实，以及抽象思想在其形成过程中的作用，对学生来说变得明明白白。课程的整个主题要求详细展开，并充分详细地说明，而不是死记硬背一些抽象论点。
然而，过分强调以最后复习的方式直接说明之前所学，那将是非常错误的。我的意思是，课程的最后部分应该是经由挑选的。事实上，所有先前数学知识的基本思想都应该重视。这一点可以通过实际上进入一个新课题的方式来实现。例如，数的概念和量的概念是精确思维的基本要素，但是在先前的数学教育阶段，这两个要素并没有严格区分开来，理所当然地，孩子们学习代数时没遇到太多麻烦，也没学到太多数量。但是他们之中禀赋较好的学生，在课程的最后，通过仔细考虑量的基本性质而大获裨益，从而引入了数值测量。这个主题也有一个优点，让必要之书实际成为手边之书。欧几里得第五卷，被那些有资格作出判断的人视为希腊数学的典范，针对这个问题作出详细阐述。没有什么更能说明传统数学教育那无可救药的狭隘，传统数学教育一直忽略了这一卷。它处理观念，因而被摒弃了。当然，我们需要对重要命题作出仔细挑选，对论点作出仔细修正。我们不是要引入第五卷的全部内容，我们只需挑其中体现基本概念的少数命题。这个主题不适合那些落后的学生，但是那些学习程度好的学生一定会因为这个主题很感兴趣。而且，关于数量的性质，以及我们在处理数量时应采用的确定方法，能够让学生感兴趣的可供探讨的范围还挺大。这项工作不会完全悬在空中，而是在每一个阶段通过参考实际案例来加以说明，这些案例缺乏定量特征，或模糊不清、或难以预料、或明白清楚 。温度、热度、电流、喜悦与痛苦、质量与距离，这些都可以用来思考。
另一种需要实践证明的数学知识是函数。数学中的一个函数相当于物理学中的一个定律，或是相当于几何学中的一条曲线。当一个学生在数学课程中学习作图表的时候，他就开始学习函数与曲线的关系。近些年，数学课程在图表方面做了不少改革。但是到目前为止，改革要么失于激进，要么失于保守。仅仅画出一个图表是不够的，图表背后的观念，就像枪后面的拿枪的人，才是其成效的根本所在。近来有这样一些倾向，留下整个问题，仅仅让学生去画图表 。
在学习简单的代数函数和三角函数时，我们其实也开始了学习物理定律的精确表达。例如，曲线可以视为物理定律的一种数学表现形式。在数学函数的物理定律演绎中，有一些是需要避免的，例如平方反比 或者直接距离 。需要实际演绎的数学函数应该是简单易懂的，还要能够证明物理定律的重要而具体运用的实例。对此我特别提出一点，我们可以利用微分学里面的一些函数知识去做简单的曲线性质证明。在这个过程中，学生就会发现变化率的概念其实没有那么难。对 x 的数次幂（例如 x 2 、 x 3 等）求导，很快就能算出来，如果借助几何学，我们还可以对sin x 和cos x 进行求导。如果这样，我们就不会再给学生灌输他们既不能懂、也不会用的数学公理，学生的注意力就会被吸引到一些具有重要意义的问题解决中。如果我们让学生通过这种方式熟悉数学概念的演绎过程，那么他们就能明白那些真正能影响思想的概念。
在离开这个话题前，还要说一下。物理定律和数学精确定律，其完全精确性从来没有真正被观察所证实过，但能够简单说明和提供精彩的例证 。同样地，统计学定律，也就是用大量数据求平均数才能满足的定律，很容易被研究和说明。事实上，研究统计方法及其在社会现象中的应用，是应用代数思想的最简单的例子之一。
学生还可以通过数学史归纳所学的数学概念。我们不应把数学史仅仅看作一串年代、人名的简单排列。数学史的要义在于阐述过去的数学思想趋势，这种阐述是这些学科才刚一出现时成为兴趣的目标。在这里，我只想引起人们对数学史的重视，也许这正是这门学科可以获得的圆满结果，也是我期盼的结果。
到目前为止。我们讨论了两个主要问题，即量的概念和自然规律的一般概念。这些概念应该成为人文教育体系中的数学课程的学习目标。此外，数学有一个不容忽视的方面，即作为逻辑方法训练的必备工具。
那么，什么是逻辑方法呢？一个人怎样从逻辑方法中得到培训呢？
逻辑方法不仅仅是有效类型的推理知识和遵循它们所必须的专心致志的实践练习。如果只是这样，它也仍然是非常重要的。因为在过去的时代，人类的思想不是为了寻求推理而进化的，人类仅仅是为了在两餐之间，提升获得新鲜食物供应的打猎技艺而进化。因此，没有大量的推理实践，也就很少有人能做到严密的推理。
更重要的是成为一个好的推理者，甚至是用那些构成了艺术本质的知识来启蒙普通人。推理的艺术在于在合适时机掌控主题、抓住那些能说明整体情况的一般概念、坚持不懈地提出与此相关的所有次要的事实。一个人没有办法成为一个好的推理者，除非这个人意识到抓住大问题的重要性，不死不休地抓住这些大问题，并且坚持不断地实践。在这个类型的训练上，我认为几何比代数更好。代数的思维领域非常含混不清，而几何对于所有人来说都是一个显而易见的事情。简化的过程，或者说抽象的过程之中，颜色、味道、重量，诸如此类不相干的物质属性统统被忽略掉，这本身也是一种教育。此外，与学科相关的基本事实、基本事实之间的关系，都要形成清晰概念。这样做是必要的，定义、未经证明的假想命题，都能说明这种必要性。而所有这些，不过是这门学科的前言。当我们继续深入学习，好处也会随之继续增加。学习者一开始不需要面对任何符号，这些符号无论多简单都可能会干扰记忆。在推理的最开始的时候，如果得到了合适的引导，学生的头脑会被清晰的观念支配，这些观念会引领每一个阶段的发展。由此，逻辑方法的本质得到了即刻的例证。
我们现在来思考一下几何在人文教育 中能带来什么效果。考虑时，我们把普通学生愚钝所造成的局限性放在一边，也不考虑其他学科造成的时间占用的压力。我将会把学科的学习分成几个阶段，当然这并不意味着必须按照这个顺序来进行。第一个阶段学习的内容是“全等” 。我们对全等的认识，在实践中取决于我们的判断，即外部情况发生变化时，它们的内在特性是不变的。不管什么样的全等，全等的本质就是两个空间区域之间的点对点的对应关系，即：对应边相等，对应角相等。需要注意，对应边相等，对应角相等，两个图形全等。对相等的检验，例如我们测量长度，只是判定全等的手段，这些手段让我们容易作出即刻的判断。我说这些想要之处，除却与全等相关的推理，全等是一个更广泛的实例、更深远的观念，或是为了它自身的缘故，都值得好好思考。全等涉及的命题阐明了三角形、平行四边形、圆形的基本性质，以及两个平面之间的关系。有必要把这部分经过证明的命题局限在一个狭窄的范围内，这需要我们一方面假设有些公理命题是冗余的，一方面需要我们只介绍那些的的确确非常基础而重要的命题。
第二个阶段要学习“相似” 。在几何的学习过程中，对相似性的学习可以归并成三四个基础的命题。相似概念是全等概念的延伸，也是基于空间里的点对点的一一对应关系。这门学科的进一步学习，最好是调查两个相似的，或者是类似位置的直线图形，分析一两个简单特性。这门学科在平面和地图里可以即刻应用。但是，三角学是确实能使主要定理得以有效应用的方法，牢记这一点，这很重要。
第三个阶段，学习三角形的原理。这是周期性的学习，周期性由图形旋转和适当保存了相似图形的相关性而引出。这里，我们首次介绍一点儿代数分析的用处，代数分析以数与量的分析为基础。函数周期性特征的重要性，需要充分的说明。函数的最简单性质是求解三角形所需的唯一性质，以及由此产生的测量应用。公式的价值，常常是就它们自身而言很重要，但是在这类学习中根本用不上。这类公式充斥着我们的课本，应该被严格地排除，除非它们被学生证明可以作为书本知识的直接例证。
关于排除公式这个问题，通过思考三角学这个学科可以得到最好的说明。当然，我也完全可能会偶然发现一个不幸的例子，那个例子里我的判断是错误的。这门学科在教育中的主要优势是，可以使学生的学习限定于三角形中一个角，可以排除正弦、余弦的附加公式和两角之和。函数可以做图表，也可以用三角形求解。因此，科学的各个方面，无论是书本还是实例，都会给学生留下深刻的印象。科学的各个方面包括：（1）分析地体现了从全等和相似推导出的一些定理的直接结果；（2）解决测量的主要问题；（3）学习表达周期性运动和波形运动所需的基本函数。
如果还想进一步拓展这门课程，公式也应该增加。我们要极为谨慎，一定排除让学生专攻出现在培训中的大量公式。所谓“排除”，我的意思是指学生不需要在获取推理的技巧上花费时间和精力。教师们也许会觉得课前做几个这样的例题挺有趣，但是这样做的结果并不在学生应该记住的范围以内。另外，外接圆 和内切圆 的主题都应该被排除在三角学的课程之外，排除在整个几何科目的课程之外。这样的公式，尽管在几何学中非常重要，但是在基础的、非专业的数学教育中意义不大。
如此看来，关于三角学的书本知识必须被减少到一个可控比例之内。我有一天听说，在美国的一所大学，学生被要求熟练掌三角学的90个公式或定理。我们英国的数学教育尚不至于如此糟糕。就三角学而言，至少在涉及的基础课程中，基本上达到了我们起草的目标。
第四个阶段开始学习解析几何 。在代数中学习图表时已经用到了解析几何的基本概念，现在要求的是一种严格精简的课程，由它们的方程形式定义的直线、圆和三种圆锥曲线的课程。在此我要提出两点。第一 ，给予学生未经我们证明的数学信息，通常是可取的。例如，在坐标几何 中，二级方程式的化简可能超出了我们所考虑范围内绝大多数学生的能力。但是这不妨碍我们，在梳理曲线的各种可能类型时，向学生解释圆锥曲线的基本观点。
第二，提倡全面清除作为独立学科的“圆锥曲线几何” 。在合适机缘下，通过对一些简单图形的直接演绎，对解析几何的分析会因此轻松一点。但是，圆锥曲线几何有着耀眼的缺陷，它由按焦点和准线性质来定义的圆锥曲线发展而来，深奥得无可救药。圆锥曲线的基本定义， sp ＝ e · pm ，在这门课程、这个阶段，糟糕透了，它非常深奥，还没什么明显的重要性。究竟为什么学习这些曲线？为什么学习这一种曲线比其他那么多公式定义的曲线还要多呢？当我们开始学习了笛卡尔方法论 之后，我们就会知道对于圆锥曲线的计算来说，一次方程和二次方程的运用自然地成为首先考虑的内容。
按照结合的理想课程，第五步是获取投影几何原理。在这里，交比 和投影 的一般观念是投影几何的基础。投影是一对一关系的更为一般的实例，在全等和相似当中已经学过。这里，我们必须避免陷入大量丰富的细节的那种危险中。
投影几何学所要阐明的智识观念，即对所有可以证明具有某些相同性质的情况，要证明它们是相关的，要感到进行相关性推理具有重要性。投影几何这门学科有一个重要的教育观念：在投影中，保持投影特性不变。交比的概念仅作为基本度量性质而存在。我们要针对若干少量命题来展开投影几何的教学，以此让学生学习其中两个紧密联系的过程。一个是简化证明，这种简化是心理上的，而不是逻辑上的。一般情况下，几何投影中的逻辑关系是最为简单的。这意味着什么呢？证明所需要考虑的情形是我们最熟知的，或者是我们最容易明白的；另一个是从一般真理来推理出特殊事例的情况。一旦我们掌握发现这些事例的方法，或者一旦我们掌握检验它们的标准，我们就可以从一般真理推理出特殊事例。
圆锥曲线的投影定义，一般二次曲线方程的结果同一性，都可以进行简单讲解。这两个方面是投影几何的边缘内容，我们可以传递某些这类题目的信息，但是不要去证明它们。
我们构想的几何课程是完全理想化的，理想到无法实现，这门课程不算太长。在各个阶段的教材中，实际的数学推理是非常少有的。但是，应给出更多的解释，通过实例来说明每个命题的重要性，要么就由教者作出解释，要么就让学生来作出解释，选择要指明思想所适用的领域。通过这样的课程，学生能够获得对主要空间特性的分析能力，和研究它们时的主要方法。
研究数学的要素，怀着数学精神，学生就会获得逻辑方法的训练，同时还会获得一些对宇宙进行科学和哲学研究的基础的精审的观念。这一代的教育者已经取得了精彩的改革成就，在此基础上我们继续坚持，使其课程中包含更广泛、更多的哲学精神，容易做到吗？坦率地说，我认为单凭个人努力很难达到这个结果。那些原因，我此前已经简短说明过，任何教育改革都难于取得成效。但是如果理想真正起效，大家持续的努力会有一种联合的效力，最终会带来令人惊讶的转变。逐渐地，我们想要的课本会被编写出来，考试形式逐步改革，加强那些技术含量较低的方面。所有近期的经验都表明，大部分的教师们都已经准备好了：为了数学不再因为机械训导而备受指责，迎接任何一种具有实践意义的方法。
