钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷四十
末部十
比例规解【分圆线 正?线 正切线 正割线 尽日晷法假数尺 正?假数尺 切线假数尺 割线假数尺】
分圆线【即圆内之通?线】
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十节之法分之即为分圆线也或用八线表三十分之正?倍之即一度之通?一度之正?倍之即二度之通?一度三十分之正?倍之即三度之通?至于九十度之正?倍之即一百八十度之通?以所得通?之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分圆线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十九度问丙乙通?几何
法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取分圆线二十九度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即丙乙通?之数也葢圆之半径与六十度之通?等六十度之通?既为六寸则二十九度相距之三寸即为二十九度之通?可知矣
设如甲乙半径六寸丙乙通?三寸问丙乙弧度几何
法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取通?三寸之度于分圆线上寻至二十九度之两防其相距之度恰合即丙乙弧为二十九度也葢圆之半径与六十度之通?等通?六寸相当之度为六十度则丙乙通?三寸相当之二十九度即为丙乙弧之度可知矣
设如丙乙弧三十一度丙乙通?一寸零三厘问甲乙半径几何
法以比例尺分圆线三十一度之两防依通?一寸零三厘之度展开勿令移动次取六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即甲乙半径也葢六十度之通?与圆之半径等三十一度之通?为一寸零三厘则六十度之通?二寸即为圆之半径可知矣
设如圆径六寸内容五等边形问每一边几何法以比例尺分圆线六十度之两防依半径三寸之度展开勿令移动次以圆周三百六十度用五归之得七十二度即五等边形每边相当之弧乃取分圆线七十二度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸五分有余即圆内五等边形之一边也葢圆内容五边形之每一边即七十二度之通?而半径又即六十度之通?六十度之通?为三寸则七十二度之通?三寸五分有余即为圆内容五等边形之一边可知矣
设如有甲乙丙三角形问乙角之度几何
法以乙角为心任以一处为界作丁戊弧则乙丁乙戊皆为圆之半径丁己戊爲乙角之通?乃以比例尺分圆线六十度之两防依乙丁半径之度展开勿令移动次取丁己戊通?之度于分圆线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙角为三十度也
正?线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正?线自一度至九十度之数【自八十度至九十度正?每度之较甚防若尺小不能分或隔一度而作一防或隔五度而作一防】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正?线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十一度问丙丁正?几何
法以比例尺正?线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正?线二十一度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸一分五厘即丙丁正?之数也葢圆之半径与九十度之正?等九十度之正?既为六寸则二十一度相距之二寸一分五厘即为二十一度之正?可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圆线四十二度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸三分为四十二度之通?折半得二寸一分五厘即丙丁正?之数也葢正?之弧为弧背之一半正?为通?之一半故求得倍弧之通?折半即半弧之正?此分圆线与正?线可以互相为用也
设如甲乙半径六寸乙丁正?三寸问乙丙弧之度几何
法以比例尺正?线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正?三寸之度于正?线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙丙弧为三十度也葢圆之半径与九十度之正?等正?六寸相当之度为九十度则正?三寸相当之三十度为丙乙弧之度可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以正?三寸倍之得六寸于分圆线上寻之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也
设如甲乙弧三十二度甲丙正?一寸零六厘问乙丁半径几何
法以比例尺正?线三十二度之两防依正?一寸零六厘之度展开勿令移动次取九十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也盖九十度之正?与圆之半径等三十二度之正?为一寸零六厘则九十度之正?二寸即为圆之半径可知矣若用分圆线则以三十二度倍之得六十四度以正?一寸零六厘倍之得通?二寸一分二厘乃以分圆线六十四度之两防依通?二寸一分二厘之度展开勿令移动次取分圆线六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也
设如简平仪下盘作节气线问其法若何
法自甲圆心作乙丙径线
又自甲平分作赤道线即
为春分秋分线乃以比例
尺正?线九十度之两防
依甲乙半径之度展开勿
令移动次取二十三度半
两防相距之度【二至黄赤道大距度】于赤道线左右丙乙径上
作识如丁戊依识与赤道
平行作线即为夏至冬至
线【丁为夏至戊为冬至】复以正?线
九十度之两防依甲戊二
十三度半之正?线度展
开勿令移动而取十五度
三十度四十五度六十度七
十五度之各两防相距之度
于赤道左右作识悉与赤道
平行作线即成二十四节气
线也葢赤道即春分秋分距
二分十五度之线左为惊蛰
寒露右为清明白露距二分
三十度之线左为雨水霜降
右为谷雨处暑距二分四十
五度之线左为立春立冬右
为立夏立秋距二分六十度
之线左为大寒小雪右为小
满大暑距二分七十五度之
线左为小寒大雪右为芒种
小暑距二分九十度之线左
即冬至右即夏至也
设如简平仪下盘欲作时刻线问其法若何
法如前作径线及赤道二
至线乃以比例尺正?线
九十度之两防依半径【即春
秋分线之半】之度展开勿令移
动次取十五度三十度及
四十五度六十度七十五
度之各两防相距之度自
圆心于赤道线上下作识
即春秋分时之二十四时
刻也又以比例尺正?线
九十度之两防依冬夏至
线之半展开勿令移动取
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各两
防相距之度自圆径与二
至线相交之处于二至线
上下作识即二至时之二
十四时刻也乃用三防串圆
之法将二至及二分之防连
为一线即成时刻线矣葢中
心横线为卯正酉正距中心
十五度之线上为辰初酉初
下为卯初戌初距中心三十
度之线上为辰正申正下为
寅正戌正距中心四十五度
之线上为巳初申初下为寅
初亥初距中心六十度之线
上为巳正未正下为丑正亥
正距中心七十五度之线上
为午初未初下为丑初子初
距中心九十度之线即圆周
上为午正下为子正也
正切线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正切线自一度至四十五度之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正切线也至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线止用四十五度即足九十度之用也
设如甲乙半径六寸乙丙弧三十五度问丁乙切线几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正切线三十五度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸二分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等四十五度之切线既为六寸则三十五度相距之四寸二分即为三十五度之切线可知矣
设如甲乙半径六寸乙丙弧五十八度问丁乙切线几何
法以五十八度与九十度相减余三十二度为余弧乃以比例尺正切线三十二度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得九寸六分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等而三十二度之正切即为五十八度之余切夫半径与正切之比既同于余切与半径之比故以三十二度相距之六寸当半径而四十五度相距之九寸六分即为五十八度之切线也凡过四十五度者皆仿此
设如甲乙半径六寸丙乙切线四寸二分问丁乙弧之度几何法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取切线四寸二分之度
于正切线上寻至三十五度之两防其相距之度 恰合即丁乙弧为三十五度也葢圆之半径与四十五度之切线等切线六寸相当之度为四十五度则切线四寸二分相当之三十五度即为乙丁弧之度可知矣设如
甲乙弧三十五度丙乙切线一寸零五厘问丁乙半径几何法以比例尺正切线三十五度之两防依切线一寸零五厘之度展开勿令移动次取正切线四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径也葢四十五度之切线与圆之半径等三十五度之切线为一寸
零五厘则四十五度之切线一寸五分即为
丁乙半径可知矣
设如地平上立表髙四尺日中影长三尺六寸零二厘问日髙度几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺三寸六分零二豪之度于正切线上寻至四十二度之两防其相距之度恰合乃以四十二度与九十度相减得四十八度为日距地平之髙度也盖地平上立表取影以表为半径则影为日距地平之余切线如甲乙表髙为半径乙丙影长为切线求得乙丁弧为甲角之度故与九十度相减得丙角始为日距地平之度也
设如壁上立横表四尺日中影长二尺四寸零三厘问日髙度几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸四分零三豪之度于正切线上寻至三十一度之两防其相距之度恰合即日距地平之髙为三十一度也葢壁上立横表取影以表为半径则影即日距地平之正切线如甲乙横表为半径甲丙影长为切线求得甲丁弧为乙角之度与乙丙戊角之度等故即为日距地平之髙度也
正割线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正割线自初度至七十度之数【初度割线即圆之半径自一度至十度其每度之较甚防若尺小不能分或隔五度作一防自七十度以上渐与切线平行其数甚大尺上不能容故止取七十度也】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正割线也
设如甲乙半径六寸乙丙弧四十一度问甲丁割线几何
法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正割线四十一度两防相距之度于分厘尺上量之得七寸九分五厘即甲丁割线之数也葢初度尚无切线故其割线即圆之半径初度之割线既为六寸则四十一度相距之七寸九分五厘即为四十一度之割线可知矣
设如甲乙半径六寸甲丙割线一尺二寸问丁乙弧之度几何
法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取割线一尺二寸之度于正割线上寻至六十度之两防其相距之度恰合即丁乙弧为六十度也葢初度之割线即圆之半径割线六寸相当之度为初度则割线一尺二寸相当之六十度即为丁乙弧之度可知矣
设如甲乙弧四十四度半丙丁割线二寸一分零三豪问丁乙半径几何
法以比例尺正割线四十四度半之两防依割线二寸一分零三豪之度展开勿令移动次取初度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径之数也葢初度之割线即圆之半径四十四度半之割线为二寸一分零三豪则初度之割线一寸五分即为丁乙半径可知矣
作地平日晷法【以北极出地四十度为准】
法先作南北东西线相交于
甲各成直角次作甲乙丙晷
表取甲角五十度为赤道髙
丙角四十度为北极高而乙
角为直角次取晷表之甲乙
度截南北线于丁为半径作
圜用比例尺分圆线比得十
五度三十度四十五度六十
度七十五度之各分分圜界
作识乃自丁圜心引出各界
作线至东西线上即得午正
前后各初正时刻或以甲乙
为半径用比例尺正切线比
得十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各切线
自甲左右作以北极出地四
十度为准
识于东西线上亦即午正
前后各初正时刻【甲为午正距甲
十五度前为午初后为未初距甲三十度前为巳正
后为未正距甲四十五度前为巳初后为申初距甲
六十度前为辰正后为申正距甲七十五度前为辰
初后为酉初也】乃以晷表之丙为
晷心至各防作线即时刻
线也卯正酉正各距午正
前后九十度故自丙晷心
与东西线平行作线即卯
正酉正线卯正以前酉正
以后则日转在北影转在
南故与辰初酉初反对作
线即卯初戌初线也次按
刻细分则自午正甲防每
加三度四十五分而得一
刻葢十五度当四刻而三
度四十五分则当一刻也
此法葢因北极为天之枢赤
道为天之带太阳虽由黄道
而行时刻皆以赤道而定故
以晷表之甲乙指赤道丙乙
指北极而东西线即为赤道
线丙乙即为过极经圈甲乙
即为半径午正太阳在正南
则影在正北若偏东偏西若
干度则其切线即其影之长
故以甲乙为半径作圜而分
圜界者即所以求切线至于
用比例尺正切线者正以切
线分时刻也地平日晷作节
气线法法以甲乙
丙晷表之甲角与丙乙
平行作戊己线而以甲乙为
半径用比例尺
正切线比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
五十五分之各切线自甲
左右作识于戊己线上即
得各节气日影界【春秋分为赤道
冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分
小寒大雪距赤道南芒种小暑距赤道北各二十二
度四十分大寒小雪距赤道南小满大暑距赤道北
各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距
赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南谷
雨处暑距赤道北各十一度三十分惊蛰寒露距赤
道南清明白露距赤道北各五度五十五度】或
以二十三度三十分之正
切线甲戊为半径作圜将
甲乙线引长平分为四象
限用比例尺分圆线比得
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各圜
界又以乙戊为半径作戊
己弧而依所分甲戊小圜
界各与甲乙平行作线截
戊己弧界又自乙至戊己
各弧界作线截戊甲己线
亦即得各节气日影界【甲为
春秋分距甲十五度左为惊蛰寒露右为清明白露
距甲三十度左为雨水霜降右为谷雨处暑距甲四
十五度左为立春立冬右为立夏立秋距甲六十度
左为大寒小雪右为小满大暑距甲七十五度左为
小寒大雪右为芒种小暑】乃自乙至各
防作线与午正时刻线相
交其相交之防即午正各
节气日影界也若求未初
节气线则先以丙乙为半
径作圜又依甲乙度截午
正线于庚而以未初线与赤
道相交之辛防至庚相距之
度截圜界于壬作壬辛线乃
与壬辛取直角作癸子十字
线以壬辛为半径如前法比
得二十三度三十分等距纬
之各切线于辛左右作识于
癸子线乃自壬至各防作线
与未初时刻线相交其相交
之防即未初各节气日影界
也仿此类推则得各时刻之
各节气日影界或用捷法另
取一纸画甲乙丙表式将乙
甲乙戊乙己类各节气线俱
画长些如求未初节气线则
以丙合于晷心丙而以甲乙
春秋分线
合于未初时刻线与赤道相
交之辛防乃于各节气线与
未初时刻线相交之处俱作
防识之即得未初各节气之
日影界余仿此乃将各时刻
线与莭气线相交之防作线
聫之即成节气线也葢春秋
分日行赤道而晷表之甲乙
指赤道故赤道线即为春秋
分线春秋分时日在赤道则
午正日影在甲春分以后秋
分以前日在赤道北夏至而
极北则影在南春分以前秋
分以后日在赤道南冬至而
极南则影在北故以甲乙为
半径而取各距度之切线为
各节气之
影界且切线与半径成直
角故先与甲乙取直角作
十字线而后得其切线也
【甲乙本直立之线与之取直角则戊端应在晷面下
己端应在空中出晷面上而其距午正线之逺近与
平面斜线之度同葢平与立之理一也】其以
冬夏至之影界为半径作
圜用分圆线求之者葢半
径与冬夏至距纬正?之
比同于各节气距二分度
之正?与各节气距纬正
?之比故以甲戊为半径
作圜为一率又以乙戊为
半径作戊己弧则甲戊切
线即变为冬夏至距纬之
正?为二率而用分圆线
所分各圜界即得各节气
距二分度之正?为三率
其自圜界作线截戊己弧
即得各节气距纬之正?
为四率既得各节气之距
纬度又自乙至各弧界作
线截戊甲己线则戊甲己
线仍为各节气距纬之切
线故用正?即如用切线
也然虽得各节气之影界
而犹不在午正线之上故
自乙至各节气防作线交
于午正线乃自乙表端照
至各节气防所必经之处
故为午正节气日影界也
至于未初春秋分时则日
影至辛乙辛为影线成乙
甲辛勾股形甲乙为股【甲乙
表直立故为股】甲辛为勾乙辛为
?故以甲乙度截午正线
于庚而取庚辛之度即与
乙辛影线之度等又乙辛
线与丙乙为直角成丙乙
辛立勾股形丙乙为勾乙
辛影线为股丙辛时刻线
为?【葢丙乙为过极经圈乙辛为赤道影线经
圈与赤道无在而非直角故乙辛与影线亦无在而
非直角也】故以丙乙为半径作
圜而取庚辛度截圜界于
壬成丙壬辛平勾股形即
与丙乙辛立勾股形相等
【丙壬与丙乙等壬辛与乙辛等丙辛仍为?线故成
相等勾股形】爰以壬辛影线为
半径与壬辛作直角取各
节气之切线为各节气日
影界皆与午正取节气线
之法同至其捷法乃以已
成之勾股已分之切线转
移用之尤为便捷也
向南壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
法先作直线及东西横线
相交于甲各成直角次作
甲乙丙晷表取甲角四十
度丙角五十度而乙为直
角乃依地平日晷作时刻
线法求之即得各时刻线
葢晷表之甲丙指天顶甲
乙指赤道故丙甲乙角定
为四十度则乙甲丁外角
为五十度即赤道之髙度
也丙乙指南极丙戊指地
平故甲丙乙角定为五十
度则乙丙戊外角为四十
度乃南极入地之度即北
极出地之度也甲乙既指
赤道丙乙既指南极则丙
乙即为过极经圈甲乙即
为半径午正太阳在正南
则影在正北若偏东偏西
若干度则其切线即其影
之长皆与地平日晷之法
同至于作节气线之法亦
与地平日晷同但赤道线
以上为春分前秋分后至
冬至之节气线赤道线以
下为春分后秋分前至夏
至之节气线葢春分以后
秋分以前日行赤道北夏
至而极北其度髙故其影
在下也秋分以后春分以
前日行赤道南冬至而极
南其度卑故其影在上也
向东壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
法先安甲乙直表与壁面
成直角【甲乙表不拘尺寸】次作甲
丙垂线及甲丁横线各成
直角次以甲为心作甲丙
丁象限弧用比例尺分圆
线比得赤道髙五十度之
弧为丁戊自甲至戊作甲
戊赤道线乃以甲乙表长
为半径用比例尺正切线
比得十五度三十度四十
五度六十度七十五度之
各切线于赤道线上作识
按识作十字线即成时刻
线也【甲防为卯正距甲十五度前为卯初后为
辰初距甲三十度为辰正距甲四十五度为巳初距
甲六十度为巳正距甲七十五度为午初】葢时
刻生于赤道春秋分时卯
正日出正东与表对射故
无影若向南若干度则其
切线即其影之长至于午
正则距卯正九十度切线
与割线平行故无切线而
日影即与壁面平行故亦
无影也若于向西壁上画
晷则以午初为未初巳正
为未正巳初为申初辰正
为申正辰初为酉初卯正
为酉正卯初为戌初余俱
与向东壁上画晷法同
向东壁上立面日晷画节气线法
法以乙表端至卯初防相
距之度为半径用比例尺
正切线比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
五十五分之各切线于卯
初线左右作识即得各节
气日影界【春秋分为赤道冬至距赤道南
夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤
道南芒种小暑距赤道北各二十二度四十分大寒
小雪距赤道南小满大暑距赤道北各二十度十二
分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六
度二十三分雨水霜降距赤道南谷雨处暑距赤道
北各十一度三十分惊蛰寒露距赤道南清明白露
距赤道北各五度五十五分】又以乙表
端至卯正防相距之度【即甲
乙表长】为半径比得各节气
距纬度之切线于卯正线
左右作识即为卯正各节
气日影界凡各时刻节气
俱以乙表端至各时刻防
相距之度为半径比得各
节气距纬度之切线于各
时刻线左右作识即得各
时刻各节气之日影界将各
防作线聨之即成节气线也
葢春秋分时日在赤道故其
影界即在赤道线之上其自
表端至各时刻防相距之度
即春秋分各时刻之影线也
若春分以后秋分以前日在
赤道北夏至而极北则影在
南春分以前秋分以后日在
赤道南冬至而极南则影在
北故以表端至各时刻防相
距之度为半径而取各节气
距纬度之切线即为各时刻
各节气之日影界聨之即成
节气线也向西壁法同
假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取假数表内自一至一百所对之假数于分厘尺上取其度【如二之假数为○三○一则为三寸零一厘】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十分作线与甲丁平行自一十以上又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间零数之度如一○至一一之斜线其与第一直线相交之处即一○一也故假数虽止于一百而可以当一千之用若尺止长一尺则如上图截去自一至九之数从一十起至一百止葢十之假数为一而百之假数为二今既截去一尺则假数即减去首位之一取其零数作寸分厘豪用时则以十为单总之假数尺虽始于一十终于一百小之则可以为单为零大之则可以为千为万皆因假数之首位虽递加一数而其后之零数皆同故可以进退为用惟在比例分明加减详审则其用自无穷也
设如有十二人每人给银四两五钱问共银几何法以假数尺之四分五厘【即从一十至四十五之度】与一十二分相加得五十四分即五十四两为共银数也葢一人与四两五钱之比同于一十二人与五十四两之比而真数以乘得者假数以加得之故以四分五厘当四两五钱以十二分当十二人两线相加即得五十四两为共银数也
设如有米四百八十石每石价银七钱五分问共价银几何
法以假数尺之七分五厘【即自一十至七十五之度】与四十八分相加过于一百分之度乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得三十六分即三百六十两为共价银数也葢以四十八分当四百八十石是以单当十则相加过于一百分即为过于一千分矣而以其过于一千分之余度自十分以上量之是以十分当千分则三十六分即为三千六百分既以七分五厘当七钱五分故三千六百分即为三百六十两也
设如有银五百一十二两令三十二人分之问每人几何
法以假数尺之五十一分二厘内减去三十二分以其余度自假数尺十分以上量之得十六分即十六两为每人之银数也葢三十二人与五百一十二两之比同于一人与十六两之比而真数以除得者假数以减得之故以五十一分二厘当五百一十二两以三十二分当三十二人相减用其余度自十分以上量之是以十分当一分故十六分即为一分六厘既以五十一分二厘当五百一十二两则一分六厘即为十六两也
设如有米四十二石令六十人分之问每人几何法以假数尺之四十二分内减去六分【即自一十至六十之度】不足于一十之分乃以其不足于一十之度自假数尺一百以下减之余七十分即七斗为每人之米数也葢以四十二分当四十二石以六分当六十人而以相减不足于一十之分自一百以下减之是以百分当十分则所余之七十分即为七分矣且以六分当六十人是所减之数以单当十则减余之数即以十为单而单即为零故所余之七分即为七厘既以四十二分当四十二石故七厘即为七斗也
设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文今有银八两问兑钱几何
法以假数尺之二十五分与四十七分五厘相减余度与八十分相加过于一百分乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得十五分二厘即一万五千二百为共钱数也葢二两五钱与四千七百五十文之比同于八两与一万五千二百文之比故以二两五钱为一率四千七百五十为二率八两为三率得一万五千二百为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也又四率既过于一百分而以其过于一百分之余度自十分上量之是以十分当百分故十五分二厘即为一百五十二分既以四十七分半当四千七百五十则一百五十二分即为一万五千二百也
设如有银六两买米五石今有银四两八钱问买米几何
法以假数尺之六十分内减去五十分余度与四十八分相减得四十分即四石为米数也葢六两与五石之比同于四两八钱与四石之比故以六两为一率五石为二率四两八钱为三率得四石为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率以其余度与三率相减而得四率其理同也总之二率大于一率者则四率亦大于三率故以二率多于一率之分与三率相加而得四率若二率小于一率者则四率亦小于三率故以二率小于一率之分与三率相减而得四率用虽不同而理实一也
正?假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正?假数减去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正?假数为八二四一八减去首位之八余二四一八即为二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为十二每一直线当五分若于直线之间酌量取之则五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至九十度止葢九十度之正?假数首位为一○一度之正?假数首位为八相减余二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺则假数首位须再减去一数故从六度起六度之正?假数首位为九减去首位之九取其零数作寸分厘豪至九十度则恰得一尺之分也
设如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙边五尺三寸七分问甲乙边几何法以正?假数尺之四十四度三十分与五十三度相减用其余度与假数尺之五十三分七厘相加得六丁一分一厘即六尺一寸一分为甲乙边也葢甲角正?与丙角正?之比同于乙丙边与甲乙边之比故以四十四度三十分之正?为一率五十三度之正?为二率假数尺之五十三分七厘当乙丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也
设如甲乙丙三角形甲乙边六尺一寸一分甲丙边七尺五寸九分乙角八十二度三十分问丙角几何
法以假数尺之六十一分一厘与七十五分九厘相减用其余度与正?假数尺之八十二度三十分相减得五十三度为丙角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于乙角正?与丙角正?之比故以七十五分九厘当甲丙边为一率六十一分一厘当甲乙边为二率八十二度三十分之正?为三率得乙角五十三度为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率余度与三率相减而得四率其理同也
切线假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至四十五度之切线假数减去首位之八于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正?假数尺同至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线尺止用四十五度正余相对即足八十九度之用若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至四十五度止其余度则至八十四度止亦与正?假数尺同也
设如甲乙丙直角三角形甲丙边四尺三寸六分乙丙边四尺二寸九分问甲角几何
法以假数尺之四十三分六厘与四十二分九厘相减用其余度与切线假数尺之四十五度相减得四十四度三十分为甲角度也葢甲丙边与乙丙边之比同于半径与甲角切线之比故以四十三分六厘当甲丙边为一率四十二分九厘当乙丙边为二率四十五度之切线当半径为三率得甲角四十四度三十分为四率也因二率小于一率故于一率内减去二率余数于三率内减之即得四率也
设如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙边三十二尺三寸问乙丙边几何
法以切线假数尺之五十三度与半径相减用其余度与假数尺之三十二分三厘相加得四十二分九厘即四十二尺九寸为乙丙边也盖半径与甲角正切线之比同于甲丙边与乙丙边之比而甲角余切线与半径之比亦同于甲丙边与乙丙边之比故以五十三度之余切线为一率四十五度之切线当半径为二率三十二分三厘当甲丙边为三率得四十二分九厘当乙丙边为四率因五十三度切线自四十五度起是已减去半径矣故以二率与三率相加即得四率不必更减一率也
割线假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至八十九度之割线假数减去首位之一于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正?假数尺同若尺小止用一百分则截去自八十五度至八十九度之数从○度起至八十四度止葢○度之割线即半径其假数为一○今从○度起即减去半径之数至八十四度以后则假数甚大一尺之内不能容故止八十四度止也
设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙边四十二尺九寸问甲乙边几何
法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸为甲乙边也葢半径与甲角割线之比同于甲丙边与甲乙边之比故以半径为一率四十五度三十分之割线为二率四十二分九厘当甲丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率因割线先巳减去半径之数故二率与三率相加即得四率不必更减半径也
设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲乙边五十三尺七寸问甲角几何
法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减用其余度自割线假数尺○度以上量之得三十七度为甲角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于半径与甲角割线之比故以四十二分九厘当甲丙边为一率五十三分七厘当甲乙边为二率半径为三率得三十七度当甲角为四率因○度之割线即半径故以一率二率相减之余度自○度以上量之即如与半径相加也
御制数理精蕴下编卷四十
