钦定四库全书

九章算术卷七　　　　　晋　刘　徽　注

唐　李淳风　注释

盈不足以御隐杂互见

今有共买物人出八盈三人出七不足四问人数物价各几何答曰七人物价五十三

今有共买鸡人出九盈一十一人出六不足十六问人数鸡价各几何答曰九人鸡价七十

今有共买璡人出半盈四人出少半不足三问人数璡价各几何答曰四十二人璡价十七

今有共买牛七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十问家数牛价各几何答曰一百二十六家牛价三千七百五十

按此术并盈不足者为衆家之差故以为实置所出率各以家数除之各得一家所出率以少减多者得一家之差以除即家数以出率乘之减盈故得牛价也

术曰盈不足相与同共买物者【案此十字原本讹在有分者通之句下共讹作其遂不可通今改正】置所出率盈不足各居其下令维乘所出率并以为实并盈不足为法【案此下原本有实如法而一五字考此术法实皆以设差约之实为物价法为人数与他术实如法而一者不同此五字後人所加今删】

按盈者谓之朓不足者谓之朒所出率谓之假令盈朒维乘两设者欲为同齐之意据共买物人出八盈三人出七不足四齐其假令同其盈朒盈朒俱十二通计齐则不盈不朒之正数故可并之为实并盈不足为法齐之三十二者是四假令有盈十二齐之二十一者是三假令亦朒十二并七假令合为一实故并三四为法【案此条原本讹在以御隐杂互见之下今改正移此】

有分者通之

若两设有分者齐其子同其母此问两设俱见零分故齐其子同其母【案此条首句之上原本有注云二字接上条故并三四为法之下系後人连合注文田其更端不相通贯窜入注云二字以别之今删正】

副置所出率【案原本脱副字今补】以少减多余以约法实实为物价法为人数【案此术前列四问本会通为一徽注辞不逹意後人失其解遂妄加改窜据第二问人出九盈十一人出六不足十六以十六互乘九得一百四十四以十一互乘六得六十六并之二百一十为实所谓相与同共买物者置所出率盈不足各俱其丅令维乘所出率并以为实也盈十一及不足十六并之二十七为法所谓并盈不足为法也于出九减出六余三以三约实二百一十得价七十以三约法二十七得九人所谓副置所出率以少减多余以约法实实为物价法为人数也其第一问所出率相减余一则法实无庸约故维乘并之径得物价并盈不足径得人数偶省一算耳第三问人出半盈四人出少半不足三半即二分之一少半即三分之一也又即为二人共出一盈四三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通二之一得三是齐其子也二分三分相乘得六是同其母也以盈四互乘二得八以不足三互乘三得九并之十七为实是盈不足维乘所出率并以为实也盈四及不足三并而为七以分母相乘所得六通而齐之得四十二为法是并盈不足为法也二三相减余一以约法实亦无庸约故径得物价人数第四问七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十以九家互乘一百九十得一千七百一十以七家互乘二百七十得一千八百九十犹之齐其子也七家九家相乘得六十三犹之同其母也以盈三十互乘一千七百一十得五万一千三百以不足三百三十互乘一千八百九十得六十二万三千七百并之六十七万五千为实是盈不足维乘所出率并以为实也盈三十及不足三百三十并而为三百六十以六十三通而齐之得二万二千六百八十为法是并盈不足为法也于一千八百九十减一千七百一十余一百八十以一百八十约实六十七万五千得价三千七百五十以一百八十约法二万二千六百八十得一百二十六家是副置所出率以少减多余以约法实也三四两问皆所谓有分者通之也由此观之後人改窜之谬显然後两盈两不足相与同共买物者後人亦改窜其文谬戻仿此】

令下维乘上讫以同约之不可约故以乘同之所出率以少减多者余谓之设差以为少设则并盈朒是为定实故以少设约定实则法为人数适足之实故为物价【案二十字有舛误当云故以少设约法则为人数约实则为物价】盈朒当与少设相通不可徧约亦当分母乘设差为约法实此【条首句之上原本有又云二字接上条故齐其子同其母之丅亦後人连合注文田其更端窜入此二字以别之今改正】

其一术曰并盈不足为实以所出率以少减多余为法实如法得一以所出率乘之减盈增不足即物价此术意谓盈不足衆衆人之差以所出率以少减多余为一人之差以一人之差约衆人之差故得人数也【案此条原本讹在第一问之下今改正】

今有共买金人出四百盈三千四百人出三百盈一百问人数金价各几何答曰三十三人金价九千八百今有共买羊人出五不出四十五人出七不足三问人数羊价各几何答曰二十一人羊价一百五十

术曰两盈两不足相与同共买物者【案此十二字原本亦讹在後有分者通之句下共讹作其今改正】置所出率盈不足各居其下令维乘所出率以少减多余为实两盈两不足以少减多余为法【案此下原本有实如法而一五字亦後人妄加今删】有分者通之副置所出率【案原木脱副字今补】以少减多余以约法实实为物价法为人数按此术两盈两不足者两设皆不足于正数其所以变化犹两盈【案此有脱误当云两盈者两设皆逾于正数两不足者两设皆不足于正数其所以变化则两不足亦犹两盈】而或有势同而情违者当其为实俱令不足其相乘减则遗其所不足焉故其余所以为实者无朒数以损焉盖出而有余两盈两设皆通于正数【案以上讹舛不可通】假令与共买物人出八盈三人出九盈十齐其假令同其两盈两盈俱三十【案原本脱盈字今补】举齐则兼去其余所以为实者无盈数两盈以少减多余为法齐之八十者是十假令而凡盈三十者是齐十以十三之【案此七字舛误不可通当云是三以十齐之】齐之二十七者是三假令而凡盈三十者是三以十之【案此五字亦舛误当云是十以三齐之】今假令两盈共十三以三减十余七为一实故令以三减十余七为法所出率以少减多余谓之设差因设差为少设则两盈之差是为定实故以设法人数约实即得全数【案此十二字亦舛误当云故以少设约法则为人数约实则得物价】

其一术曰置所出率以少减多余为法两盈两不足以少减多余为实实如法而一得人数以所出率乘之减盈增不足即物价

置所出率以少减多得一人之差两盈两不足相减余为衆人之差【案原本脱余字今补】故以一人之差除之得人数以所出率乘之减盈增不足即物价

今有共买犬人出五不足九十人出五十适足问人数大价各几何答曰二人犬价一百

术曰以盈及不足之数为实实置所出率以少多余为法实如法得一其求物价者以适足乘人数得物价此术意谓以所出率以少减多者余是一人不足之差不足数为衆人之差以一人差约之故得人之数也适足数为实者【案此句讹舛当云盈不足数为实者】数单见即衆人差故以为实所出率以少减多余即一人差【案原本脱余字今补】故以为法以除衆人差得人数以适足乘人数即得物价也

今有米在十斗桶中不知其数满中添粟而舂之得米七斗问故果几何答曰二斗五升

术曰以盈不足术求之假令故米二斗不足二升令之三斗有余二升【案此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并为实并盈不足为法实如法而一得故米斗数】

按桶受一斛若使故米二斗须添粟八斗以满之八斗得粝米四斗八升课于七斗是为不足二升若使故米三斗须添粟七斗以满之七斗得粝米四斗二升课于七斗是为有余二升以盈不足维乘假令之数者欲为齐同之意【案此下原本云为齐同者假令据共买物人出八盈三人出七不足四齐其假令同其盈朒俱十二通计齐即不盈不朒之正数故可以并之为实并盈不足为法齐之三十二者是四假令有盈十二齐之二十一者是三假令而凡物十二并七假令合为一实故亦并三四为法几一百字已见前此处系重出衍文与上下絶不相涉今删去】实如法即得故米斗数乃不盈不朒之正数也

今有垣高九尺瓜生其上蔓日长七寸瓠其其下蔓日长一尺问几何日相逢瓜瓠各长几何答曰五日十七分日之五瓜长三尺七寸一十七分寸之一瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六

术曰假令五日不足五寸令之六日有余一尺二寸【案此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并为实并盈不足为法实如法而一得日数】

按假令五日不足五寸者瓜生五日下垂蔓三尺五寸瓠生五日上延蔓五尺课于九尺之垣是为不足五寸令之六日有余一尺二寸者若使瓜生六日下垂蔓四尺二寸瓠生六日上延蔓六尺课于九尺之垣是为有余一尺二寸以盈不足维乘假令之数者欲为齐同之意【案此下原本云假令据共买物者人出八盈三人出七不足四齐其假令同其盈朒俱十二通计齐即不盈不朒之正数故可并以为实并盈不足为法齐之三十二者是四假令有盈十二齐之二十一者足三假令而凡朒十二并七假令合为一实故亦并三四为法凡九十六字即上条重出衍文复杂入于此与上下亦絶不相涉今删去】实如法而一即设差不盈不朒之正数即得日数以瓜瓠一日之长乘之故各得其长之数也

今有蒲生一日长三尺莞生一日长一尺蒲日自半莞生日自倍问几何日而长等答曰二日十三分日之六各长四尺八寸一十三分寸之六

术曰假令二日不足一尺五寸令之三日有余一尺七寸半【案此下有脱文当云以盈不足维秉假令之数并为实并盈不足为法实如法而一得日数不尽者等数约之而命分以後一日所长乘日分子如日分母而一各增二长为二物共长齐等之数】

按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日长四尺五寸莞生二日长三尺是为未相及一尺五寸故曰不足令之三日有余一尺七寸半者蒲增前七寸半莞增前四尺是为过一尺七寸半故曰有余以盈不足乘除之又以後一日所长各乘日分子如日分母而一者各得日分子之长也故各增二长即得其数

今有醇酒一斗直钱五十行酒一斗直钱一十今将钱三十得酒二斗问醇行酒各得几何答曰醇酒二升半行酒一斗七升半

术曰假令醇酒五升行酒一斗五升有余一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二【案此下有脱文当云各以盈不足维乘之并为实并盈不足为法实如法而一得二酒之数】

据醇酒五升直钱二十五行酒一斗五升直钱一十五课于三十是为有余十据醇酒二升直钱一十行酒一斗八升直钱一十八课于三十是为不足二以盈不足术求之此问已有重说及其齐同之意也

今有大器五小器一容三斛大器一小器五容二斛问大小器各容几何答曰大器容二十四分斛之十三小器容二十四分斛之七

术曰假令大器五斗小器亦五斗盈一十斗令之大器五斗五升小器二斗五升不足二斗

按大器容五斗大器五容二斛五斗以减二斛余五斗即小器一所容故曰小器亦五斗小器五容二斛五斗大器一合为三斛课于两斛乃多十斗令之大器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以减三斛余二斗五升即小器一所容故曰小器二斗五升大器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合为一斛八斗课于二斛少二斗故曰不足二斗以盈不足维乘除之【案此句有脱文当云以盈不足维乘之各并为实并盈不足为法除之】

今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲令分以易油还自和余漆问出漆得油和漆各几何答曰出漆一斗一升四分升之一得油一斗五升和漆一斗八升四分升之三

术曰假令出漆九升不足六升令之出漆一斗二升有余二升

按此术三斗之漆出九升得油一斗二升可和漆一斗五升余有二斗一升则六升无油可和故曰不足六升令之出漆一斗二升则易得油一斗六升可和漆二斗于三斗之中已出一斗二升余有一斗八升见在油合和得漆二斗则是有余二升以盈不足维乘之为实并盈不足为法实如法而一得出漆升数【案此下有脱文当云求油及和漆者】四五各为所求率四三各为所有率而今有之即得也

今有玉方一寸重七两石方一寸重六两今有石立方三寸中有玉并重十一斤问玉石重各几何答曰玉一十四寸重六斤二两石一十三寸重四斤一十四两术曰假令皆玉多十三两令之皆石不足一十四两不足为玉多为石各以一寸之重乘之得玉石之积重立方三寸是一面之方计积二十七寸玉方一寸重七两石方一寸重六两是为玉石重差一两假令皆玉合有一百八十九两课于一十一斤有余一十三两【案此下原本衍故谓二字今删】玉重而石轻故有此多即二十七寸之中有十三寸寸损一两则以为石重故言多为石言多之数出于石以为玉假令皆石合有一百六十二两课于十一斤少十四两故曰不足此不足即以重为轻故令减少数于石重即二十七寸之中有十四寸寸增一两也【案此句有脱文当云寸增一两则以为玉重也】

今有善田一亩价三百恶田七亩价五百今并买一顷价钱一万问善恶田各几何答曰善田一十二亩半恶田八十七亩半

术曰假令善田二十亩恶田八十亩多一千七百一十四钱七分钱之二令之善田一十亩恶田九十亩不足五百七十一钱七分钱之三

按善田二十亩直钱六千恶田八十亩直钱五千七百一十四七分钱之二课于一万是多一千七百一十四七分钱之二令之善田十亩直钱三千恶田九十亩直钱六千四百二十八七分钱之四课于一万是为不足五百七十一七分钱之三以盈不足术求之也

今有黄金九枚白银一十一枚称之重适等交易其一金轻十三两问金银一枚各重几何答曰金重二斤三两一十八铢银重一斤一十三两六铢

术曰假令黄金三斤白银二斤一十一分斤之五不足四十九于右行令之黄金二斤白银一斤一十一分斤之七多一十五于左行以分母各乘其行内之数以盈不足维乘所出率并以为实并盈不足为法实如法得黄金重分母乘法以除得银重约之得分也

按此术假令黄金九白银一十一俱重二十七斤金九约之得三斤银一十一约之得二斤一十一分斤之五各为金银一枚重数就金重二十七斤之中减一金之重以益银银重二十七斤之中减一银之重以益金则金重二十六斤一十一分斤之五银重二十七斤一十一分斤之六以少减多则金轻一十七两一十一分两之五课于一十三两多四两一十一分两之五通分内子言之是为不足四十九又令之黄金九一枚重二斤九枚重一十八斤白银一十一亦合重一十八斤也乃以一十一除之得一枚一斤一十一分斤之七为银一枚之重数今就金重一十八斤之中减一枚金以益银复减一枚银以益金则金重一十七斤一十一分斤之七银重一十八斤一十一分斤之四以少减多即金轻一十一分斤之八课于一十三两少一两一十一分两之四通分内子言之是为多一十五以盈不足为之如法得金重【案此二句有脱误当云以盈不足术求之实如法得金重】以除者为银两分母故同之【案此二句亦脱误当云分母乘法以除者谓银两分母同】须通法而後乃除得银重余皆约之者术省故也

今有良马与驽马发长安至齐齐去长安三千里良马初日行一百九十三里日增一十三里驽马初日行九十七里日减半里良马先至齐复还迎驽马问几何日相逢及各行几何答曰一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六驽马行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五

术曰假令十五日不足三百三十七里半令之十六日多一百四十里以盈不足维乘假令之数并而为实并盈不足为法实如法而一得日数不尽者以等数除之而命分【案以盈不足维乘至此原本讹入注内今据前术体例改正又此下仍有脱文当云求二马各行里数以十五日初末之行并而半之十五乘之又以後一日之定行乘日分子日分母为法得一各加于前破半里为半法以入残分】

求良马行者十四乘益疾里数而半之加良马初日之行里数【案此下有脱文当云以乘十五日得十五日之凡行又以十五日乘益疾里数加良马初日之行】以乘日分子如日分母而一所得前良马凡行里数即得其不尽而命分【案此二句有舛误当云所得及其不尽而命分加于前良马凡行里数即得】求驽马行者以十四乘半里又半之以减驽马初日之行里数以乘十五日之凡行【案又半之至此有讹脱当云以减驽马初日之行里数余以并初日之行又半之乘十五日得驽马十五日之凡行】又以十五日乘半里以减驽马初日之行余以乘日分子如日分母而一所得加前里即驽马定行里数其奇半里者为半法以半法增残分即得其不尽者而命分按令十五日不足三百三十七里半者据良马十五日凡行四千二百六十里除先去齐三千里定还迎驽马一千二百六十里驽马十五日凡行一千四百二里半并良马二马所行得二千六百六十二里半课于三千里少三百三十七里半故曰不足令之十六日多一百四十里者据良马十六日凡行四千六百四十八里先除去齐三千里定还迎驽马一千六百四十八里驽马十六日凡行一千四百九十二里并良驽二马所行得三千一百四十里课于三千里余有一百四十里故谓之多也以盈不足之【案此五字脱误不可通当云以盈不足维乘假令之数并而为实并盈不足为法】实如法而一得日数者即设差不盈不朒之正数以二马初日所行里乘十五日为一十五日平行数求初末益疾减迟之数者并一与十四以十四乘而半之为中平之积【案此下原本有减益疾之数五字系衍文今删】又令益疾减迟里数乘之各为减益之中平里故各减益平行数得一十五日定行里若求後一日以十六日之定行里数乘日分子如日分母而一各得日分子之定行里数故各并十五日定行里即得其驽马奇半里者法为全里之分故破半里为半法以增残分即合所问也

今有人持钱之蜀贾利十三初返归一万四千次返归一万三千次返归一万二千次返归一万一千後返归一万凡五返归钱本利俱尽问本持钱及利各几何答曰本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七

术曰假令本钱三万不足一千七百三十八钱半令之四万多三万五千三百九十钱八分

按假令本钱三万并利为三万九千除初返归留余加利为三万二千五百除二返归留余又加利为二万五千三百五十除第三返归留余又加利为一万七千三百五十五除第四返归留余又加利为八千二百六十一钱半除第五返归留合一万钱不足一千七百三十八钱半若使本钱四万并利为五万二千除初返归留余加利为四万九千四百除第二返归留余又加利为四万七千三百二十除第三返归留余又加利为四万五千九百一十六除第四返归留余又加利为四万五千三百九十钱八分除第五返归留合一万余三万五千三百九十钱八分故曰多

又术置後返归一万以十乘之十三而一即後所持之本加一万一千又以十乘之十三而一即第四返之本加一万二千又以十乘之十三而一即第三返之本加一万三千又十乘之十三而一即第二返之本加一万四千又以十乘之十三而一即初持之本并五返之钱以减之即利也

今有垣厚五尺两鼠对穿大鼠日一尺小鼠亦日一尺大鼠日自倍小鼠日自半问几何日相逢各穿几何答曰二日一十七分日之二大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二小鼠穿一尺五寸十七分寸之五

术曰假令二日不足五寸令之三日有余三尺七寸半大鼠日倍二日合穿三尺小鼠日自半合穿一尺五寸并大鼠所穿合四尺五寸课于垣厚五尺是为不足五寸令之三日大鼠穿得七尺小鼠穿得一尺七寸半并之以减垣厚五尺有余三尺七寸半以盈不足术求之即得以後一日所穿【案原本讹作求今改正】乘日分子如日分母而一即各得日分子之中所穿故各增二日定穿即合所问也

九章算术卷七