钦定四库全书
九章算术卷六 晋 刘 徽 注
唐 李淳风 注释
均输以御远近劳费
今有均输粟甲县一万户行道八日乙县九千五百户行道十日丙县一万三千三百五十户行道十三日丁县一万二千二百户行道二十日各到输所凡四县赋当输二十五万斛用车一万乘欲以道里远近户数多少衰出之问粟车各几何答曰甲县粟八万三千一百斛车三千三百二十四乘乙县粟六万三千一百七十五斛车二千五百二十七乘丙县粟六万三千一百七十五斛车二千五百二十七乘丁县粟四万五百五十斛车一千六百二十二乘
术曰令县户数各如其本行道日数而一以为衰按此均输犹均运也令户率出车以行道日数为均发粟为输据甲行道八日因使八户其出一车乙行道十日因使十户共出一车计其在道则皆户一日出一车【案原本作出车脱一字今补】故可为均平之率也
甲衰一百二十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并为法以赋粟车数乘未并者各自为实
衰分科率
实如法得一【案原本作得一车亦後人妄加车字今删】
各置所当出车以其行道日数乘之如户数而一得率户用车二日四十七分日之三十一故谓之均求此户以率当各计车之钱分也【案此二句舛误当云求此率以户当各计车之衰分也】
淳风等按县户有多少之差行道有远近之异欲其均等故各令行道日数约户为衰【案原本脱道字令补】行道多者少其户行道少者多其户故各令约户为衰以八日约除甲县得一百二十五乙丙各九十五丁六十一于今有术副并为所有率未并者各为所求率以赋粟车数为所有数而今有之各得车数一旬除乙十三除丙各得九十五二旬除丁得六十一也【案淳风等至此原本讹在前接故可为均平之率也下于术意前後失次今订正】
有分者上下辈之
辈配也车牛人之数不可分裂推少就多均赋之宜今按甲分既少宜从于乙满法除之有余从丙丁分又少亦宜就丙除之适尽加乙丙各一上下辈益以少从多也
以二十五斛乘车数即粟数
今有均输卒甲县一千二百人薄塞乙县一千五百五十人行道一日丙县一千二百八十人行道二日丁县九百九十人行道三日戊县一千七百五十人行道五日凡五县赋输卒一月一千二百人欲以远近户率多少衰出之问县各几何答曰甲县二百二十九人乙县二百八十六人丙县二百二十八人丁县一百七十一人戊县二百八十六人
术曰令县卒各如其居所及行道日数而一以为衰按此亦以日数为均居所为输甲无行道日但以居所三十日为率言欲为均平之率者当使甲三十人而出一人出一人者计役则皆一人一日是以可为均平之率
甲衰四乙衰五丙衰四丁衰三戊衰五副并为法以人数乘未并者各自为实实如法而一
各置所当出人数以其居所及行道日数乘之如县人数而一【案此二十四字原本又重见于後接故存之也下今删彼存此】得户率人役五日七分日之五【案此十二字原本接注文重见者之下今据徽说前後体例订正】
淳风等按为衰于今有术副并为所有率未并者各为所求率以赋卒人数为所有数此术以别考则意同以广异闻故存之也【案此条原本讹入上注接如县人数而一之下脱淳风等按四字今据淳风等所释前後体例订正又为衰二字上有脱文当云各令居所及行道日数约县卒为衰】
有分者上下辈之
辈配也今按丁分最少宜就戊除不从乙者丁近戊故也满法除之有余从乙丙分又少亦就乙除有余从甲除之适尽从甲丙二分其数正等二者于乙远近皆同不以甲从乙者方以下从上也
今有均赋粟甲县二万五百二十户粟一斛二十钱自输其县乙县一万二千三百一十二户粟一斛一十钱至输所二百里丙县七千一百八十二户粟一斛一十二钱至输所一百五十里丁县一万三千三百三十八户粟一斛一十七钱至输所二百五十里戊县五千一百三十户粟一斛一十三钱至输所一百五十里凡五县赋输粟一万斛一车载二十五斛与僦一里一钱欲以县户输粟令费劳等问县各粟几何答曰甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十丙县一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六丁县一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三术曰以一里僦价乘至输所里
此以出钱为均也问者曰一车载二十五斛与僦一里一钱一钱即一里僦价也以乘里数者欲知僦一车到输所所用钱也甲自输其县则无取僦价也
以一车二十五斛除之
欲知僦一斛所用钱
加一斛粟价【案原本一讹作以注同今据淳风等所释竝改正】则致一斛之费加一斛之价于一斛僦直即凡余粟取僦钱也甲一斛之费二十乙丙各十八丁二十七戊十九也
各以约其户数为衰
言使甲二十户共出一斛乙丙十八户共出一斛计其所费则皆户一钱故可为均赋之率也
甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十副并为法所赋粟乘未并者各自为实实如法得一
各置所当出粟以其一斛之费乘之如户数而一得率户出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一
淳风等按此以出钱为均问者曰一车载二十五斛与僦一里一钱一钱即一里僦价也【案原本脱价字今据注文补入】以乘里数者【案原本脱数字今据注文补入】欲知僦一车到输所用钱甲自输其县则无取僦之价以一车二十五斛除之者欲知僦一斛所用钱加一斛之价于一斛僦直即凡余粟取僦钱甲一斛之费二十乙丙各十八丁二十七戊一十九各以约其户为衰甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十言使甲二十户共出一斛乙丙十八户共出一斛计其所费则皆户一钱故可为均赋之率也【案率字下原本衍计字今删】于今有术副并为所有率未并者各为所求率赋粟一万斛为所有数此今有衰分之义也【案此条原本误连上刘徽注脱淳风等三字考其文义多与徽所注重复应是淳风等更举注文以总解术意书内此?甚多今改正】计经赋之率既有户算之率亦有远近贵贱之率此二率者各自相与通功则甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之费谓之钱率钱率约户率者则钱为母户为子子不齐令母互乘为齐则衰也若其不然以一斛之费约户数取衰竝有分当通分内子约之于算甚繁此一章皆相与通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此从其简易而已又以分言之使甲一户出二十分斛之一乙一户出十八分斛之一各以户数乘之亦可得一县凡所当输俱为衰也乘之者乘其子母报除之以此观之则以一斛之费约户数者其意不异矣然则可置一斛之费而反衰之约户以乘户率为衰也合分注曰母除为率率乘子为齐反衰汪曰先同其母各以分母约其子为反衰以施其率为算既约且不妨处下也【案计经赋之率至此原本讹入前节注文故可为均赋之率也下文多舛误不可通据辞内引合分注及反衰注乃淳风等推论术意无疑今改正】
今有均赋粟甲县四万二千算粟一斛二十佣价一日一钱自输其县乙县三万四千二百七十二算粟一斛一十八佣价一日一十钱到输所七十里丙县一万九千三百二十八算粟一斛一十六佣价一日五钱到输所一百四十里丁县一万七千七百算粟一斛一十四佣价一日五钱到输所一百七十五里戊县二万三千四十算粟一斛一十二佣价一日五钱到输所二百一十里己县一万九千一百三十六算粟一斛一十佣价一日五钱到输所二百八十里凡六县赋粟六万斛皆输甲县六人共车车载二十五斛重车日行五十里空车日行七十里载输之间各一日粟有贵贱佣各别价以算出钱令费劳等问县各粟几何答曰甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九乙县一万八千二十七斛一百三十三分斛之九丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六丁县六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七十四己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六
术曰以车程行空重相承为法并空重以乘道里各自为实实如法得一【案原本作得一日亦後人妄加日字今删】
按此术重往空还一输再行道也置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分日之一齐而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六日也故并空重者齐其子也空重相乘者同其母也于今有术至输所里为所有数六为所求率齐一百七十五为所有率而今有之即各得输所用日也
加载输各一日
欲得几日也【案原本讹作故凡日也今改正】
而以六人乘之
欲知致一车用人也
又以佣价乘之
欲知致车人佣直几钱
以二十五斛除之
欲知致一斛之佣直也
加一斛粟价即致一斛之费
加一斛之价于致一斛之佣直【案原本价讹作费于讹作则今改正】即凡输一斛余粟取佣所用钱
各以约其算数为衰
今按甲衰四十二乙衰二十四丙衰十六丁衰十五戊衰二十己衰十六於今有术副并为所有率未并者各自为所求率所赋粟为所有数此今有衰分之义也
副并为法以所赋粟乘未并者各自为实实如法得一【案原本作得一斛亦後人妄加斛字今删】
各置所当出粟以其一斛之费乘之如算数而一得率算出九钱一百三十三分钱之三又载输之间各一日者即二日也
今有粟七斗三人分舂之一人为粝米一人为粺米一人为糳米令米数等问取粟为米各几何答曰粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三为米各一斗六百五分斗之一百五十一术曰列置粝米三十粺米二十七糳米二十四而反衰之
此先约三率粝为十粺为九糳为八欲令米等者其取粟粝率十分之一粺率九分之一糳率八分之一当齐其子故曰反衰也
淳风等按米有精麤之异有多少之差据率粺糳少而粝多用粟则粺糳多而粝少米若依本率之分粟当倍率故今反衰之使精取多而麤得少
副并为法以七斗乘未并者各自为取粟实实如法得一
于今有术副并为所有率未并者各为所求率粟七斗为所有数而今有之故各得取粟也
若求米等者以本率各乘定所取粟为实以粟率五十为法实如法得一【案原本作得一斗亦後加妄加斗字今删】
若径求为米等数者置粝米三用粟五粺米二十七用粟五十糳米十二用粟二十五齐其粟同其米并齐为法以七斗乘同为实所得即为米斗数
今有人当禀粟二斛仓无粟欲与米一菽二以当所禀粟问各几何答曰米五斗一升七分升之三菽一斛二升七分升之六
术曰置米一菽二求为粟之数并之得三九分之八【案九分原本讹作分九今据注改正】以为法亦置米一菽二而以粟二斛乘之各自为实实如法得一【案原本作得一斛亦後人妄加斛字今删】
淳风等按置粟率五乘米一米率三除之得一三分之二即如米一之粟也粟率十以乘菽二菽率九除之得二九分之二即是菽二之粟也并全得三齐子并之得二十四同母得二十七约之得九分之八故云并之得三九分之八米一菽二当粟三九分之八此其粟率也于今有术米一菽二皆为所求率当粟三九分之八为所有率粟二斛为所有数凡言率者当相与通之则为米九菽十八当粟三十五也亦有置米一菽二求其为粟之率以为列衰副并为法以粟乘列衰为实所得即米一菽二所求粟也以米菽本率而今有之即合所问
今有取佣负塩二斛行一百里与钱四十今负塩一斛七斗三升少半升行八十里问与钱几何答曰二十七钱一十五分钱之一十一
术曰置塩二斛升数以一百里乘之为法
按此术以负塩二斛升数乘所行一百里得二万里是为负塩一升行二万里得钱四十于今有术为所有率升数乘所行里为法于今有术为所有数也
以四十钱乘今负塩升数又以八十里乘之为实实如法得一【案原本作得一钱亦後人妄加钱字今删】
以今负塩升数乘所行里今负塩一升凡所行里也于今有术以所有四十钱为所求率也衰分章贷人千钱与此同【案此条原本讹作正文今据前後体例改为注】
今有负笼重一石一十七斤行七十六步五十返今负笼重一石行百步问返几何答曰五十七返二千六百三分返之一千六百二十九
术曰以故所行步数乘故笼重斤数为法
此法谓负一斤一返所行之积步也
今笼重斤数乘今步又以返数乘之为实实如法得一【案原本作得一返亦後人妄加返字今删】
按此法负一斤一返所行之积步此实者一斤一日所行之积步故以一返之课除终日之程即是返数也
淳风等按此术所行步多者得返少所行步少者得返多然则所行者今返率也故令所得返乘今返之率为实而以故返之率为法今有术也按此负笼又有轻重于是为术者因令重者得返少轻者得返多故又因其率以乘法实者重今有之义也然此意非也按此笼虽轻而行有限笼过重则人力遗力有遗而术无穷人行有限而笼轻重不等使其有限之力随彼无穷之变故知此术率乖理也若故所行有空行返数设以问者当因其所负以为返率则今返之数可得而知也假令空行一日六十里负重一斛行四十里减重一斗进二里半负重三斗以下与空行同今负笼重六斗往还行一百步问返几何答曰一百五十返术曰置重行率加十里以里法通之为实以一返之步为法实如法而一即得也
今有程传委输空车日行七十里重车日行五十里今载太仓粟输上林五十三返问太仓去上林几何答曰四十八里一十八分里之一十一
术曰并空重里数以三返乘之为法令空重相乘又以五日乘之为实实如法得一【案原本作淂一里亦後人妄加里字今删】此亦如上术率一百七十五里之路往返用六日也于今有术则五日为所有数一百七十五里为所求率六日为所有率以此所得则三返之路今求一返当以三约之因令乘法而并除也为术亦可各置空重行一里用日之率以为列衰副并为法以五日乘列衰为实实如法所得即各空重行日数也各以一日所行以乘为凡日所行三返约之为上林去太仓之数按此术重往空还一输再还道置空行一里七十分日之一重行一里用五十分日之一齐而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六日故并空重者并齐也空重相乘者同其母也于今有术五日为所有数一百七十五为所求率六为所有率以此所得则三返之路今求一返者当以三约之故令乘法而并除亦当约之也【案自按术重往空还以下应是李淳风等所释讹为刘注】
今有络丝一斤为练丝一十二两练丝一斤为青丝一斤一十二铢今有青丝一斤问本络丝几何答曰一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六
术曰以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数又以络丝一斤乘之为实【案原本脱之字今补】实如法得一【案原本作得一斤亦後人妄加斤字今删】
按练丝一斤为青丝一斤十二铢此练率三百八十四青率三百九十六也又络丝一斤为练丝十二两此络率十六练率十二也置今有青丝一斤以练率三百八十四乘之为实实如青丝率三百九十六而一所得青丝一斤练丝之数也又以络率十六乘之所得为实以练率十二为法所得即练丝用络丝之数也是为重今有也虽各有率不问中间故令後实乘前实後法乘前法而并除也故以练丝两数为实青丝铢数为法一曰又置络丝一斤两数与练丝十二两约之络得四练得三此其相与之率又置练丝一斤铢数【案原本脱数字今补】与青丝一斤一十二铢约之练得三十二青得三十三亦其相与之率齐其青丝络丝同其二练络得一百二十八青得九十九练得九十六即三率悉通矣今有练丝一斤为所有数络丝一百二十八为所求率青丝九十九为所有率为率之意犹此但不先约诸率耳凡率错互不通者皆积齐同用之放此虽四五转不异也言同其二练者以明三率之相与通耳于术无以异也又一术今有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数为实以青丝一斤一十二铢为法所得即用练丝两数以络丝一斤乘所得为实以练丝十二两为法所得即用络丝斤数也
今有恶粟二十斗舂之得粝米九斗今欲求粺米一十斗问恶粟几何答曰二十四斗六升八十一分升之七十四
术曰置粝米九斗以九乘之为法亦置粺米十斗以十乘之又以恶粟二十斗乘之为实实如法得一【案原本作得一斗亦後人妄加斗字今删】
按此术置今有求粺米十斗以粝米率十乘之如粝率九而一即粝亦化为恶粟矣此亦重今有之义为术之意犹络丝也虽各有率不问中间故令後实乘前实後法乘前法而并除之也
今有善行者行一百步不善行者行六十步今不善行者先行一百步善行者追之问几何步及之答曰二百五十步
术曰置善行者一百步减不善行者六十步余四十步以为法以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实实如法得一【案原本作得一步亦後人妄加步字今删】
按此术以六十步减一百步余四十步即不善行者先行率也善行者行一百步追及率约之追及率得五先行率得二于今有术【案原本脱有字今补】不善行者先行一百步为所有数五为所求率二为所有率而今有之得追及步也
今有不善行者先行一十里善行者追之一百里先至不善行者二十里问善行者几何里及之答曰三十三里少半里
术曰置不善行者先行一十里以善行者先至二十里增之以为法以不善行者先行一十里乘善行者一百里为实实如法得一【案原本作得一里亦後人妄加里字今删】
按此术不善行者既先行一十里後不及二十里并之得三十里也谓之先行率善行者一百里为追及率约之先行率得三三为所有率而今有之即得也其意如上术也
今有免先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止问犬不止复行几何步及之答曰一百七步七分步之一
术曰置免先走一百步以犬走不及三十步减之余为法以不及三十步乘犬追步数为实实如法得一【案原本作得一步亦後人妄加步字今删】
按此术以不及三十步减先走一百步余七十步为兔先走率犬行二百五十步为追及率约之先走率得七追及率得二十五于今有术不及三十步为所有数二十五为所求率七为所有率而今有之即得也
今有人持金十二斤出关关税之十分而取一今关取金二斤价钱五千问金一斤值钱几何答曰六千二百五十
术曰以一十乘二斤以十二斤减之余为法以一十乘五十为实实如法得一【案原本作得一钱亦後人妄加钱字今删】
按此术置十二斤以一乘之十二一得一斤五分斤之一即所当税者也减二斤余即关取盈金以盈除所偿钱即金值也【案值原本讹作实今改正】今术既以十二斤为所税则是以十为母故以十乘二斤及所偿钱通其率于今有术五千钱为所有数十为所求率八为所有率而今有之即得也
今有客马日行三百里客去忘持衣日已三分之一主人乃觉持衣追及与之而还至家视日四分之三问主人马不休日行几何答曰七百八十里
术曰置四分日之三除三分日之一
按此术置四分日之三除三分日之一者除即减也【案即原本讹作其今改正】减之余有十二分之五即是主人追客还用日率也
半其余以为法
去其还存其往率之者子不可半故倍母二十四分之五是为主人与客均行用日之率也
副置法增三分日之一
法二十四分之五者主人往追用日之分也三分之一者客去主人未觉之前独行用日之分也并连此数得二十四分日之十三则主人追及前用日之分也是为客行主人追及用日率也然则主人用日率者客马行率也客用日率者主人马行率也母同则子齐是为客马行率五主人马行率十三于今有术三百里为所有数十三为所求率五为所有率而今有之即得也
以三百里乘之为实实如法得主人马一日行
欲知主人追客所行里者以三百里乘主人均行日分子十三以母二十四而一得一百六十二里半以此乘主人均行日分母二十四如客马与主人均行用日分子五而一亦得主人马一日行七百八十里也
今有金箠长五尺斩本一尺重四斤斩末一尺重二斤问次一尺各重几何答曰末一尺重二斤次一尺重二斤八两次一尺重三斤次一尺重三斤八两次一尺重四斤
术曰令末重减本重余即差率也又置本重以四间乘之为下第一衰副置以差率减之每尺各自为衰按此术五尺有四间者有四差也今本末相减余即四差之凡数也以四约之即得每尺之差以差数减本重余即次尺之重也为术所置如是而已今此率以四为母故令母乘本为衰通其率也亦可置末重以四间乘之为上第一衰以差重率加之为次下衰也
副置下第一衰以为法以本重四斤徧乘列衰各自为实实如法得一【案原本作得一斤亦後人妄加斤字今删】
以下第一衰为法以本重乘其分母之数而又反此率乘本重为实一乘一除势无损益故惟本存焉衆衰相推为率则其余可知也亦可副置末衰为法而以末重二斤乘列衰为实此虽迂回然是其旧故就新而言之也
今有五人分五钱令上二人所得与下三人等问各得几何答曰甲得一钱六分钱之二乙得一钱六分钱之一丙得一钱丁得六分钱之五戊得六分钱之四术曰置钱锥行衰
按此术锥行者谓如立锥初一次二次三次四次五各均为一列者也
并上二人为九并下三人为六六少于九三
数不得等但以五四三二一为率也
以三均加焉副并为法以所分钱乘未并者各自为实实如法得一【案原本作得一钱注内同亦後人妄加钱字今删】
此问者令上二人与下三人等上下部差一人其差三均加上部则得二三均加下部则得三三下部犹差一人差得一以通于本率即上下部等也于今有术副并为所有率未并者各为所求率五钱为所有数而今有之即得等耳假令七人分七钱欲令上二人与下五人等则上下部差三人并上部为十三下部为十五下多上少下不足减上当以上下部列差而後均减乃合所问耳此可仿下术令上二人分二钱半为上率令下二人分二钱半为下率上下二率以少减多余为实置二人三人各半之减五人余为法实如法得一即衰相去也下衰率六分之五者丁所得钱数也
今有竹九节下三节容四升上四节容三升问中间二节欲均容各多少答曰下初一升六十六分升之二十九次一升六十六分升之二十二次一升六十六分升之一十五次一升六十六分升之八次一升六十六分升之一次六十六分升之六十次六十六分升之五十三次六十六分升之四十六次六十六分升之三十九术曰以下三节分四升为下率以上四节分三升为上率
此二率者各其平率也
上下率以少减多余为实
按此上下节各分所容为率者各其平率上下以少减多者余为中间五节半之凡差故以为实也
置四节三节各半之以减九节余为法实如法得一【案原本作得一升亦後人妄加升字今删】即衰相去也
按此术上下节所容已定之节中间相去节数也实者中间五节半之凡差也故实如法而一则每节之差也
下率一升少半升者下第二节容也
一升少半升者下三节通分四升之平率平率即为中分节之容也
今有鳬起南海七日至北海鴈起北海九日至南海今鳬鴈俱起问何日相逢答曰三日十六分日之十五术曰并日数为法日数相乘为实实如法得一【案原本作得一日亦後人妄加日字今删】
按此术置鳬七日一至鴈九日一至齐其至同其日定六十三日鳬九至鴈七至令鳬鴈俱起而问相逢者是为共至并齐以除同即得相逢日故并日数为法者并齐之意日数相乘为实者犹以同为实也一曰鳬飞日行七分至之一鴈飞日行九分至之一齐而同之鳬飞定日行六十三分至之九鴈飞定日行六十三分至之七是为南北海相去六十三分鳬日行九分鴈日行七分也并鳬鴈一日所行以除南北相去而得相逢日也
今有甲发长安五日至齐乙发齐七日至长安今乙发已先二日甲乃发长安问几何日相逢答曰二日十二分日之一
术曰并五日七日以为法
按此术并五日七日为法者犹并齐为法置甲五日一至乙七日一至齐而同之定三十五日甲七至乙五至并之为十二至者用三十五日也谓甲乙与发之率耳然则日化为至当日除故以为法也
以乙先发二日减七日
减七日者言甲乙俱发今以发为始发之端于本道里则余分也
余以乘甲日数为实
七者长安去齐之率也五者後发相去之率也今问後发故舍七用五以乘甲五日为二十五日言甲七至乙五至更相去用此二十五日也
实如法得一【案原本作得一日亦後人妄加日字今删】
一日甲行五分至之一乙行七分至之一齐而同之甲定日行三十五分至之七乙定日行三十五分至之五是为齐去长安三十五分甲日行七分乙日行五分也今乙先行发二日已行十分余相去二十五分故减乙二日余令相乘为二十五分
今有一人一日为牝瓦三十八枚一人一日为牡瓦七十六枚今令一人一日作瓦牝牡相半问成瓦几何答曰二十五枚少半枚
术曰并牝牡为法牝牡相乘为实实如法得一【案原本作得一枚亦後人妄加枚字今删】
此意亦与鳬鴈同术牝牡瓦相并犹如鳬鴈日飞相并也按此术并牝牡为法者并齐之意牝牡相乘为实者犹以同为实也故实如法即得也
今有一人一日矫矢五十一人一日羽矢三十一人一日筈矢十五今令一人一日自矫羽筈问成矢几何答曰八矢少半矢
术曰矫矢五十用徒一人羽矢五十用徒一人大半人筈矢五十用徒三人少半人并之得六人以为法以五十矢为实实如法得一【案原本作得一矢亦後人妄加矢字今删】
按此术言成矢五十用徒六人一日工也此同功共作犹鳬鴈共至之类亦以同为实并齐为法可令矢互乘一人为齐矢相乘为同今先令同于五十矢矢同则徒齐其归一也以此术为鳬鴈者当鴈飞九日而一至鳬飞九日而一至七分至之二并之得二至七分至之二以为法以九日为实实如法而一得一人日矫矢之数也
今有假田初假之岁三亩一钱明年四亩一钱後年五亩一钱凡三岁得一百问田几何答曰一顷二十七亩四十七分亩之三十一
术曰置亩数及钱数令亩数互乘钱数并以为法亩数相乘又以百钱乘之为实实如法得一【案原本作得一亩亦後人妄加亩字今删】
按此术令亩互乘钱者齐其钱亩数相乘者同其亩同于六十则初假之岁得钱二十明年得钱十五後年得钱十二也凡三岁得钱一百为所有数同亩为所求率四十七钱为所有率今有之即得也齐其钱同其亩亦如鳬鴈术也于今有术百钱为所有数同亩为所求率并齐为所有率
淳风等按假田六十亩初岁得钱二十明年得钱十五後年得钱十二并之得钱四十七是为得田六十亩三岁所治于今有术百钱为所有数六十亩为所求率四十七为所有率而今有之即合问也
今有程耕一人一日发七亩一人一日耕三亩一人一日耰种五亩今令一人一日自发耕耰种之问治田几何答曰一亩一百一十四步七十一分步之六十六术曰置发耕耰亩数令互乘人数并以为法亩数相乘为实实如法得一【案原本作得一亩亦後人妄加亩字今删】
此犹鴈术也
淳风等按此术亦发耕耰种亩数互乘人者齐其人亩数相乘者同其亩故并齐为法以同为实计田一百五亩发用十五人耕用三十五人种用二十一人并之得七十一工治得一百五亩故以为实而一人一日所治故以人数为法除之即得也
今有池五渠注之其一渠开之少半日一满次一日一满次二日半一满次三日一满次五日一满今皆决之问几何日满池答曰七十四分日之十五
术曰各置渠一日满池之数并以为法
按此术其一渠少半日满者是一日三满也次一日一满次二日半满者是一日五分满之二也次三日满者是一日三分满之一也次五日满者是一日五分满之一也并之得四满十五分满之十四也
以一日为实实如法得一【案原本作得一日下同皆後人妄加日字今删】此犹矫矢之术也先令同于一日日同则满齐自鳬鴈至此其为同齐有二术焉可随率宜也
其一术列置日数及满数【案列原本讹作各今据注文改正】
其一渠少半日满者是一日三满也次一日一满次二日半满者是五日二满次三日一满次五日一满此谓之列置日数及满数也
令日互相乘满并以为法日数相乘为实实如法得一亦如鳬鴈术也
淳风等按此其一渠少半日满池者是一日三满池也次一日一满次二日半满者是五日再满次三日一满次五日一满此谓列置日数于右行及满数于左行以日互乘满者齐其满日数相乘者同其日满齐而日同故并齐以除同即得也【案此条原本误连上刘徽注脱淳风等三字考其文义多与前节注文重复应是淳风等复举以縂解术意今订正】
今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内关七而取一余米五斗问本持米几何答曰十斗九升八分升之三
术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以余不税者二四六互相乘为法【案互相原本讹作相互今改正】实如法得一【案原本作得一斗亦後人妄加斗字今删】
此亦重今有术也【案原本脱术字今补】所税者谓今所当税之定三五七皆为所求率二四六皆为所有率置今有余米五斗以七乘之六而一即内关未税之本米也又以三乘之二而一即外关未税之本米也今从末求本不问中间故令中率转相乘而同之亦如络丝术
又一术外关三而取一则其余本米三分之二也求外关所税之余则当置三分乘之二而一欲知中关以四乘之五而一欲知内关以六乘之七而一凡余分者乘其母而以三五七相乘得一百五为分母二四六相乘得四十八为分子约而言之则是余米于本所持三十五分之十六也于今有术余米五斗为所有数分母三十五为所求率分之十六为所有率也
今有人持金出五关前关二而税一次关三而税一次关四而税一次关五而税一次关六而税一并五关所税适重一斤问本持金几何答曰一斤三两四铢五分铢之四
术曰置一斤通所税者以乘之为实亦通其不税者以减所通余为法实如法得一【案原本作得一斤亦後人妄加斤字今删】此意犹上术也置一斤通所税者谓令二三四五六相乘为分母七百二十也通其所不税者谓令所税之余一二三四五相乘为分子一百二十也约而言之是为余金于本所持六分之一也以子减母凡五关所税六分之五也于今有术所税一斤为所有数分母六为所求率分子五为所有率此亦重今有之义又虽各有率不问中间故令中率转相乘而连除之即得也置一以为持金之本率以税率乘之除之则其率亦成积分也
九章算术卷六
<子部,天文算法类,算书之属,九章算术>
