在中国数学发展史上，清代是由古典数学向近代数学的转型时期。这一时期，数学研究是相当活跃的，就数学家人数和有关专著的数量而言，超过了以往的任何时代。虽然当时中国数学的整体水平已落后了，与正在兴起和迅速发展的西方近代数学相比差距越来越大，但中国的数学家刻苦钻研和不懈努力，在发掘、整理、继承和发扬中国传统数学，以及消化、吸收和深入研究引进西方数学等方面，仍然取得了不少重要的和具有独创性的成果，作出了令人瞩目的贡献，并且逐渐完成了由常量数学到变量数学和由初等数学到高等数学的演变。
第一节对数的引进
明代末年，由于历法改革的需要，陆续引进了欧氏几何学、三角学和笔算等西方数学。入清之后，这项工作仍在继续进行，其中最重要的是由波兰传教士穆尼阁（j.n.smogolenski，1611—1656）和薛凤祚所介绍的对数方法。薛凤祚（1600—1680），字仪甫，山东益都金岭镇（今属山东淄博）人，与清初著名天文学家和数学家王锡阐有“南王北薛”之称。他早年曾向明代学者魏文魁学习中国传统的天文历算方法。五十多岁时又在南京向穆尼阁学习西方天文学和数学等科学知识。所著《历学会通》于1664年刊行。
《历学会通》共分正集、续集和外集三部分，主要讲述天文学，此外还有数学、医药学、物理学、水利、火器、兵法等内容。名为“会通”，表明他的目的是想把中法西法融会贯通起来。该书的数学部分主要是传自穆尼阁的《比例对数表》（1653年），《比例四线新表》和《三角算法》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了1～20000的六位对数表和六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。书中把今天所说的“对数”称为“比例数”或“假数”，并简单解释了把乘除运算化为加减运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。对数是17世纪最重要的发现之一，它有效地简化了繁重的计算工作。在对数、解析几何和微积分这三种当时西方最重要的数学方法中，也只有对数比较及时地传入了中国。《三角算法》所介绍的平面三角和球面三角知识，比《崇祯历书》中有关三角学的内容更丰富一些。如平面三角中包含有正弦定理、余弦定理、正切定理和半角定理等，且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中，增加了半角公式、半弧公式、达朗贝尔公式和纳皮尔公式等。
明末清初还传入了西方的一些计算工具，如纳皮尔算筹、伽利略比例规、计算尺（尚无游标、滑尺）、筹式计算器和帕斯卡计算器（机械式加法器）等。这些计算工具有些是外国制造的，有些则是国内自行研制的，现今仍收藏在故宫博物院。由于这些计算工具的实际运算效率并不高，远不如珠算，因而并没有得到广泛的应用。在17世纪，我国有四算之称，即珠算、笔算、筹算（非指中国古代用算筹进行的筹算）和尺算，后三者都是由西方传入的，但当时主要和普遍使用的仍是珠算。
第二节 梅文鼎的数学工作
明清之际西方数学和天文学的传入，在中国学术界引起了巨大的反响，引进与反引进的斗争有时是相当激烈的。当时中国学术界对待引进的西方科技知识的态度，基本上有三种。一种是不分精华与糟粕，一概否定，盲目排斥，如明末冷守中和魏文魁，清初杨光先等。如，杨光先说过：“宁可使中夏无好历法，不可使中夏有西洋人”1，正是这种愚昧保守思想的典型代表。另一种态度以明末徐光启、李之藻等为代表。他们努力学习西学，在引进西方科技知识方面作出了积极的贡献。但是，他们对于西方传教士的政治目的缺乏应有的警惕，而对于西方科技知识则过于推崇，无论先进或不先进、适用或不适用，往往是兼收并蓄，一概照搬，缺乏分析和批判的精神。例如徐光启对中国传统数学和西方数学就有不少偏激之词。他认为《几何原本》有“四不必”：不必疑，不必揣，不必试，不必改。而相反地，却把中国古代数学说得一钱不值，“所立诸法芜陋不堪读”2，在《刻同文算指序》中又说“网罗艺业之美，开廓著述之途。虽失十经，如弃敝矣”。中西数学有不同的传统，各有自己的特色。徐光启的这些思想显然是非常片面的和错误的。此外，清代还有一些人如阮元、戴震等，他们主张“西学东源”说，认为几何学即勾股，代数学来自天元术，西方数学全部来源于中国。这种思想当然与历史事实不符，只能造成阻碍学习外国先进科学技术知识的不良影响。第三种是以梅文鼎和王锡阐为代表，对于中西数学和天文学进行了比较深入的分析和研究。梅文鼎认为“法有可采何论东西，理所当明何分新旧”，“务集众长以观其会通，毋拘名相而取其精粹”1，虽然他在实践中还有不足之处，但这种有分析，有鉴别，实事求是，洋为中用的科学态度，与对于外来文化盲目排斥或盲目崇拜的两种错误倾向是有根本区别的。
梅文鼎（1633—1721），字定九，号勿庵，安徽宣城（今安徽宣州市）
人。毕生研究数学和天文学，著述繁富，约有80余种之多，被乾嘉学派誉为“（清初）历算第一名家”。康熙帝曾在一次南巡归途中召见梅文鼎，连续三天与他讨论天文学和数学问题，并亲书“绩学参微”四字予以表彰。在数学方面，梅文鼎对于当时的中西数学进行了相当全面的研究，几乎涉及初等数学的各个领域。在梅文鼎之孙梅瑴成编选的《梅氏丛书辑要》中，收集了梅文鼎的数学著作13种共40卷，其中包括《笔算》5卷，《筹算》2卷，《度算释例》2卷，《方程论》6卷，《少广拾遗》1卷，《勾股举隅》1卷，《几何通解》1卷，《方圆幂积说》1卷，《几何补编》4卷，《平三角举要》5卷，《弧三角举要》5卷，《堑堵测量》2卷，《环中黍尺》5卷。这些著作对当时已传入中国的算术、几何、代数、三角、比例规、纳皮尔算筹等西方数学知识，作了系统的整理和全面的阐述，并且取得了一些独创性的研究成果，如关于正多面体和半正多面体的研究，关于球体积的计算，关于以投影原理解球面三角问题等。梅文鼎的数学著作还有一个特点，就是用浅显易懂的语言来叙述比较复杂的数学问题，正如阮元所说“其论算之文务在显明，不辞劳拙，往往以平易之语解极难之法，浅近之言达至深之理，使读其书者1杨光先：《不得已》。
2徐光启：《勾股义》绪言。
1梅文鼎：《堑堵测量》卷2。
不待详求而又可晓然”1，这也是非常难能可贵的。梅文鼎的数学工作，在有清一代吸收和消化西方数学知识过程中，起了会通中外，继往开来的重要作用。
1阮元：《畴人传·梅文鼎传》。
第三节 康熙帝与《数理精蕴》
康熙帝（1654—1722）是一位很有作为的君主。他对于科学技术也较关心，不仅热心学习新的科技知识，而且亲自参加科学研究和实验，这在封建帝王中可说是绝无仅有的。1712年他命梅瑴成等编撰《律历渊源》100卷，于1723年编成印行。其中数学部分为《数理精蕴》共53卷，包括上编“立纲明体”5卷，下编“分条致用”40卷，数学用表4种8卷，这是一部当时中国传统数学和引进的西方数学知识的百科全书，基本上反映了当时国内的数学水平。特别是由于这部书是以康熙帝名义主持编撰和出版的，所以流传很广，影响也较大，在相当长一段时间内是学习和研究数学必须参考的重要著作。《数理精蕴》是在梅文鼎数学著作、白晋和张诚等进讲的讲稿等基础上编成的，比较全面地叙述了算术、几何、代数、三角等学科的成就。其中较新的内容有对数表的造表方法。关于对数和对数表，《历学会通》已有所介绍，但没有造表方法。《数理精蕴》下编卷三十八“对数比例”阐述的造表法是首先确定lg1=0，lg10=1，lg100=2..然后提出六种方法来计算1～10之间和10～100之间各数的对数。《数理精蕴》中另一项新内容是利用未知数列方程和解方程的方法，当时称为“借根方比例”。例如，一九根一六二○，方立-=一根=一二，用现代数学式表示，即：x3-9x=1620，x=12。其中应用了加号“+”，减号“-”和等号“=”，这是中国传统数学所没有的。这种方法虽来自西方代数学，但实际上与宋元时的“天元术”很相似，而表示方法有所不同。《数理精蕴》还最早介绍了素数概念，称之为“数根”，并给出了1～100000的素因数分解表及十万以内的素数表，此外还有1～100000的十位对数表，间隔为10〃的七位三角函数表等。
第四节 中国传统数学的整理研究和《畴人传》
从康熙帝晚年开始，特别是雍正年间，清政府的内外政策发生了很大的变化。在此后大约一百余年里，对外实行闭关锁国，对内屡兴文字狱，加强思想控制，乾隆年间又开设四库全书馆，编辑《四库全书》。在这种形势下，引进西方科学技术的工作基本上停止了，不少人开始致力于对中国古籍的辑佚、考证、校勘和注疏，以及对传统文化的研究，形成了以整理古典文献为主要目标的乾嘉学派。我国的数学研究工作也同样转入了整理古算书和对于已有的中西数学进行深入研究的阶段。
在这一时期，经过戴震、阮元等著名学者的努力，我国早已失传的许多数学著作，如算经十书，宋元数学家秦九韶、杨辉、朱世杰、李冶的主要著作，都陆续通过由《永乐大典》辑录、据私人藏书家所藏珍本抄录等各种途径被发掘出来，整理出版，其中朱世杰《算学启蒙》的刊刻底本还出自朝鲜刻本。这些古典数学专著重新出现后，立即引起不少数学家的重视，并纷纷为之注释校勘和进行深入研究，作出了相当突出的成绩。其中李潢（？—1811）《九章算术细草图说》、《海岛算经细草图说》、《辑古算经考注》、《四元玉鉴细草》和《〈数书九章〉大衍求一术考注》，罗士琳《四元玉鉴细草》等，都有不少独到的见解。张敦仁《求一算术》、骆腾凤《艺游录》、时曰醇《求一术指》、黄宗宪《求一术通解》等，对于大衍求一术（一次同余组）和百鸡问题（不定方程）重新进行了研究和阐发，澄清了古算中陈述不清的一些问题，特别是黄宗宪还改进了古代的一些算法。乾隆嘉庆时期著名学者焦循（1763—1820）著《加减乘除释》，使用甲、乙、丙、丁等文字代表不同的具体数字，分析《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》中各种算法的规律，提出了一些有关加减乘除的基本运算律，如加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律及分配律，整指数的二项式定理等，向着理论算术的发展迈出了重要的一步。乾隆嘉庆时代的学者通过整理和研究古代算书的辛勤劳动，使濒于湮没无闻的数学典籍重放光芒，为后世研究古代数学发展史和了解祖国古代数学的辉煌成就，保存了极为宝贵的文献，这是乾嘉学派的重大功绩。但可惜的是，由于社会条件和指导思想的不同，中国乾嘉时期整理和研究古典文献的热潮，并没有像欧洲文艺复兴时期那样对包括数学在内的科学发展起到应有的推动作用。
这一时期还有一部重要作品，就是阮元主编，李锐和周治平协助编撰的《畴人传》46卷（1799年）。在封建史家编撰的正史中，极少为科学家或技术专家专门立传。《畴人传》则完全是数学家和天文学家的传记，着重表彰他们卓越的科学成就，这在中国历史上是一件创举。全书收集历代数学家和天文学家二百四十三人，而把西方人士三十七人作为附录，记载了他们的生平事迹和科学成就。在有些人的传记之后，还有简短的评论。《畴人传》对于研究中国古代数学和天文学是很有参考价值的资料，其中对一些数学家和天文学家的评价也相当精辟。但书中也有不少内容反映了阮元的封建保守的陈腐观点。《畴人传》编成之后，又有一些人继续这项工作。罗士琳撰《畴人传续编》6卷（1840年），论述当时学者的生平和成就，内容比较翔实。华世芳撰《近代畴人著述记》（1884年），所记很简略。诸可宝撰《畴人传三编》7卷（1886年），所收史料和当时社会上的评价也比较可靠。黄钟骏撰《畴人传四编》11卷和附卷1卷（1898年），虽然所收人数较多，但很多人并非是数学家或天文学家，有些著作也早已失传，内容无从查考，因此《四编》的质量远不如前几编。
第五节 方程论
对方程论中高次方程实根个数判定问题的研究，是乾隆嘉庆时期中国数学家的重要成果之一。宋元时代数学家贾宪、秦九韶等，创造和发展了“增乘开方法”，解决了高次方程正实根的求解问题，但是对于该方程是否还有其他的根，方程根与系数之间的关系，则没有进行过探讨。清代数学家李锐、汪莱、焦循经常通信或在一起讨论数学和天文学问题，当时被誉为“谈天三友”。汪莱（1768—1813），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人，著作有《衡斋遗书》9卷和《衡斋算学》7册。首先提出一个方程可能存在不只一个正根，并通过与李锐的讨论，提出一套“审有无”（即判别方程是否存在正根）的方法。他的结论包括：对于二次方程x2-px+q=0，当≤时，方程有正根；＞时，无正根。对于三次方程q(p2)q(p2)x-px+q223=0qp2p，当≤·时，方程有正根，否则无正根。这两个结果与现在33判定二次方程与三次方程存在正实根的判别式p2-4q≥0与4p3-27q≥0是一致的。汪莱研究了xn-pxm+q=0类型的高次方程有无正实根的判定方法，上述两种判别式是这种判定方法的特例1。李锐（1769—1817），字尚之，号四香，江苏元和（今苏州市）人，著作有《李氏算学遗书》等。他在与汪莱讨论过程中，进一步发展了汪莱的成果，总结出下列几条规律：设有方程a0xn+a1xn-1+..+an-1x+an=0，则1.方程系数有一次变号时，此方程有一个正根；2.方程系数有二次变号时，此方程可有两个正根；3.方程系数有三次变号时，此方程有三个或一个正根；4.方程系数有四次变号时，此方程可有四个或两个正根。其中2，4这两种情形，方程可能不存在正根，但在李锐《开方说》中不予讨论2。这些结论与现在所谓“笛卡儿符号法则”是一致的。此外，李锐还首次提出了方程的重根问题。他还指出：方程“不可开，是为无数。凡无数必两，无无一数者”1。当时虽然还没有虚根的概念，但他的这一结论为高次方程可能存在虚根（或复数根）和虚根成对的情况，以及方程根的个数问题等代数学基本问题，提供了进一步研究的广阔余地。李锐和汪莱关于高次方程实根个数判定问题的研究成果，虽然在时间上晚于西方，但他们突破了宋元数学的原有范围，开辟了方程理论研究的新方向，特别是他们在中国数学史上最早开创了带有纯理论性质的研究课题，并独立取得了一定的成就，这无疑应该给以充分的肯定。
1汪莱：《衡斋算学》第5册，第7册。
2李锐：《开方说》，见《李氏算学遗书》。
1李锐·《开方说》，见《李氏算学遗书》。
第六节 初等函数的幂级数展开式
明末《崇祯历书》中已经介绍了三角函数表的编造方法，即所谓六宗、三要和二简法。这种造表法利用普通三角函数关系公式推算，相当繁琐，并且也不能算出任意角的三角函数值。此后陆续有人研究这一问题，但未取得重大突破。清初康熙年间，法国传教士杜德美（p.jartoux，1668—1720）曾介绍三个无穷级数公式，当时称之为“圆径求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”，相当于圆周率π的展开式以及正弦和正矢的幂级数展开式：p=++++ìí.üyt3114313451354722222223.!!!·····.，sin!!!!!xxxxxversxxxx=-+-+=-+-131517121416!357246.，.．梅瑴成将其记载在《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》中。这些公式提供了计算任意角度三角函数值的简捷算法，受到当时数学家的欢迎。但由于杜德美没有给出这三个公式的证明，因而造成了理解上的困难。首先对此进行深入研究的是蒙古族数学家和天文学家明安图。明安图，字静庵，蒙古族正白旗人，生年不详，约卒于1763年。毕生在钦天监从事天文工作，曾任时宪科五官正，晚年升任钦天监监正。他经过30余年的不懈努力，把中国古代数学与引进的西方数学结合起来，创造了割圆连比例法和级数回求法，终于圆满地证明了上述三个公式，并且推导出另外六个公式，其中较重要的有反正弦和反正矢的幂级数展开式：arcsin!!!xxxx=++++113135135732252227···.，()!!arcversxxxxx221214126!1238!2222232224=++++ìí.üyt···.．明安图的数学专著是《割圆密率捷法》4卷。这部书在他生前未能完成，后由其学生和儿子续成出版（1774年）。此外，他还曾参加编著《历象考成》、《历象考成后编》和《仪象考成》等重要天文学著作，并曾两次亲赴新疆地区测绘地图，在天文学和地图测绘学等方面作出了杰出的贡献。
清代关于无穷级数的研究是一个相当活跃的领域。明安图之后，董祐诚（1791—1823）在《割圆连比例图解》中又采用不同方法得到了关于弧、弦、矢三者关系的四个公式，简化了明安图的结果。项名达（1789—1850）在《象数一原》中，又把这四个公式简化成两个公式。项名达还和戴煦（1805—1860）共同发现了指数为有理数的二项式定理。在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、余切、正割、余割、反正切、反正割等三角函数和反三角函数的幂级数展开式。李善兰也进行了这方面的研究，但用的是他所发明的“尖锥术”。徐有壬（1800—1860）的《测圆密率》和《造表简法》，则对于清代数学家关于三角函数展开式的研究成果，作了较为全面的总结。此外，戴煦的《对数简法》和李善兰的《对数探源》，给出了自然对数的幂级数展开式。由此可见，清代数学家已经基本上解决了初等函数的幂级数展开式问题。虽然这些成果在时间上大多晚于西方数学家的同类成果，但这都是中国数学家刻苦钻研独立作出的贡献，并且其中用到的数学方法已经有了微积分思想的萌芽，从而为顺利接受解析几何和微积分学等近代数学知识，实现由传统数学向近代数学的演变，奠定了重要的思想基础。
这一时期关于椭圆的研究也有了新进展。项名达的《椭圆求周术》及戴煦为之补作的图解，提出了正确的椭圆周长公式：paeee=----21121324135246222224222226p()······.，其中为椭圆离心率，，、分别为椭圆长、短半轴，其所用ee=ab2aba222-方法符合椭圆积分法则。并据此推导出圆周率倒数公式：1121121324135246222222222p=----()······.．项、戴的这项工作是中国数学家关于二次曲线研究的最早的重要成果。
第七节 李善兰的数学工作
李善兰（1811—1882），字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，晚清时期的著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，我国近代科学的先驱者。自幼爱好数学，青少年时代自学和研读了许多中西数学和天文学典籍。三十岁以后，已有很高的数学造诣，并陆续发表了一些数学和天文学方面的重要研究成果。1852年，李善兰到上海墨海书馆，与英国汉学家、传教士伟烈亚力（a.wylie，1815—1887）等人合作，翻译出版了《几何原本》后9卷，以及《代数学》、《代微积拾级》、《谈天》、《重学》、《植物学》等西方近代科学著作，其中《代微积拾级》是第一部译成中文的解析几何和微积分学著作，为近代科学在我国的引进与传播作出了杰出的贡献。1860年后，他先后做过江苏巡抚徐有壬以及曾国藩的幕僚，但主要是从事科学研究工作。1868年开始担任北京同文馆算学总教习，直至1882年辞世。李善兰的学术专著是《则古昔斋算学》（1867年）13种24卷，包括《方圆阐幽》1卷，《弧矢启秘》2卷，《对数探源》2卷，《垛积比类》4卷，《四元解》2卷，《麟德术解》3卷，《椭圆正术解》2卷，《椭圆新术》1卷，《椭圆拾遗》3卷，《火器真诀》1卷，《对数尖锥变法释》1卷，《级数回求》1卷，《天算或问》1卷，其中记载了他在传统数学领域的主要成就。例如，“尖锥求积术”是李善兰创造的一种独特的数学方法。在《方圆阐幽》中，李善兰首先列出十条预备定理作为推算的基本依据，并且以求圆的面积为例，说明尖锥术的具体应用。这些预备定理的基本思想是：当n≥2时，xn可以用一个平面图形的面积或一条线段的长度来表示。如其第八条命题说明，高为底面积为的尖锥体体积等于，这相当于定积分hahahnn+1n+1axdxahnnnoh=++ò11．他利用尖锥术得到了圆面积展开式，三角函数和反三角函数展开式以及自然对数展开式等许多很有意义的结果1。李善兰在《垛积比类》中，深入和全面地研究了三角垛、乘方垛、三角自乘垛、三角变垛等求和问题，发现了多种类型的代数恒等式，其中尤其著名的是三角自乘垛求和公式：（）（）（），rpppjnpjprnjp+-=+-+==..12212120式中。这一公式现在通称“李善兰恒等式”，章用、华()!!()mmm111=-罗庚、图兰·帕尔（匈牙利）等现代数学家都对它进行了新的探讨。李善兰对于数论问题也曾作了不少研究。他在《考数根法》中，独立证明了费马定理，即如果ap-1能被n整除，且n为素数，那末n-1必能被p整除。但n-1能被p整除，仅是n为素数的必要条件而不是充分条件。他指出了这个定理的逆定理不成立，并给出另外几个有关素数的判定方法。
1李善兰：《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》，均见《则古昔斋算学》。
第八节 其他方面的成就
在中国古代传统数学中，关于有限项级数的求和问题，是一个相当有成绩的领域。如宋元时代的垛积招差术，提出了许多种高阶等差级数的求和公式。在清代，又有不少人继续从事这方面的工作。如康熙时的数学家陈世仁（1676—1722）撰《少广拾遗》，专门讨论垛积术，得到：1+3+5++(2n1)=13n(4n1)1+3+5++(2n1)=n(2n1)22222333322.，.，----等一系列新成果。
中国古代很早就发明了先进的十进位值制记数法。但在长期的历史发展过程中，也曾涉及到其他的进位制。例如《易经》的六十四卦，体现了二进制的思想，西汉扬雄《太玄经》的八十一首，体现了三进制的思想。明代朱载堉在进行律管长度换算时实际上应用了九进制。清代数学家汪莱所著《叁两算经》，则是中国数学史上第一次系统探讨非十进制算术的论文。文中论述了二至九进制的理论和算法，列出了二至九进制的乘法表，并讨论了非十进制除法运算有否整数和有限小数商的情形。这是清代数学中一项值得称道的成就。
项名达在《开诸乘方捷术》中，创用逐次逼近法开高次方。他与戴煦所得到的四个递推公式，为高次方程的近似计算问题提供了有效的新方法。他在《象数一原》中提出的待定系数法，也是无穷级数研究中的一种重要方法。在画法几何方面，我国古代很早就掌握了用富有立体感的平面图形来表现空间物体的绘图技巧。许多建筑图样、绘画和雕刻作品运用了正投影、透视、轴测图等如今属于画法几何的方法。元代天文学家郭守敬《授时历草》和明代的《营造正式》等都画出了相当准确的二视图。清代康熙时的数学家年希尧（？—1739），对于引进的西方透视画法钻研了三十余年，撰写出我国第一部透视学专著《视学》（1729年），把我国的制图理论和方法提高到一个新的水平。《视学》所附图版极其精美，绘制的建筑图样比例准确，层次分明，立体感强，这在中国传统科学著作中是很罕见的。《视学》中论述的透视学原理主要有量点法、双量点法、截距法、仰望透视法、阴影作法等，其中有些内容早于西方画法几何的奠基人法国数学家蒙日。
