中国古代数学经过先秦、两汉至隋唐的持续发展，在宋元时期达到了顶峰，并在相当长的时期内居于世界领先的地位，而到了明清时期则逐渐衰落了，这是由于受当时社会政治、经济、思想以及传统数学内在局限性等因素综合作用的结果。与此同时，西方经过中世纪漫长的黑夜之后，资本主义生产获得蓬勃发展，科学技术也随着以意想不到的速度发展起来。在数学方面，十六世纪时笛卡儿创立解析几何学，此后，牛顿和莱布尼茨创立微积分学，从而完成了由常量数学到变量数学，由初等数学到高等数学，由古典数学到近代数学的转变，西方数学走到了中国数学的前面。在这种情况下，中国数学的研究方向和内容都发生了一些新的变化，其中在中国数学史上具有重要意义的事件是珠算术的发展和明代万历以后西方数学的引进。中国为改变数学的落后局面和追赶世界数学主流，长途跋涉了达三个多世纪。
第一节传统数学研究的衰落
明代研治数学的人为数不少，著述也相当多。据有关书目文献记载，明代算书约有一百二十余种，其数量超过了以往的任何时代1。特别是在明代，中国传统数学的一些重要典籍，如《周髀算经》、《九章算术》以及宋元数学家的著作，大多还有传本。明初编辑《永乐大典》，曾将汉至明初的各种算术分类抄入事韵算字条下，共三十六卷。清代纂修《四库全书》，戴震等从中辑录出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《数学九章》（即秦九韶《数书九章》）、《益古演段》等古典数学名著。《永乐大典》算字条现尚存原著第16343—16344卷，还有学者认为，现存《诸家算法及序记》是《永乐大典》第16361卷的抄本2。除上列之书外，从《永乐大典》现存部分中尚可见到杨辉《详解九章算法》、《日用算法》、《续古摘奇算法》、《丁巨算法》、贾亨《算法全能集》、何平子《详明算法》、严恭《通原算法》、《透帘细草》、《锦囊启源》等著作。其中有不少是早已失传的内容，为后世保存了许多宝贵的数学史料。南京国子监还曾刊刻《算法大全》、《算法》、《九章算法》等数学著作。此外如王孝通《缉古算经》、李冶《测圆海镜》、朱世杰《四元玉鉴》等在民间也有流传。尽管有较好的文献基础，但是，明代数学家对一些古典数学名著却缺乏深入的研究，明代数学的总体水平并不高。例如宋元时所取得的诸如天元术、四元术、招差术、垛积术、大衍求一术、增乘开方法等重大数学成就，在明朝统治时期已大都少人理解，因而没有能够得到很好的继承和发展。明代数学家程大位（著有《算法统宗》）看到开方作法本源图，说是“注释不明”，“不云如何作用”。顾应祥（著有《勾股算术》、《弧矢算术》、《测圆算术》、《测圆海镜分类释术》）看到《测圆海镜》里的天元术，说是“反复合之，无下手之处”，感到“茫然无门路可入”，只好在《测圆海镜分类释术》中舍弃了原著有关天元术的内容。这种情况反映了当时中国传统数学后继乏人和数学研究几乎停滞不前的严重程度。现在所说的明代数学的衰落也主要是指这一方面而言的。
1李俨：《明代算学书志》，见李俨《中算史论丛》（第二集），科学出版社1954年版。2严敦杰：《跋重新发现之〈永乐大典〉算书》，载《自然科学研究》1987年第2期。
第二节商业
数学的发展明代的商品经济相当发达，因此，明代在数学理论上虽然没有什么建树，但随着商品经济的发展，商业数学得到了较大的发展，其突出表现是在当时一些重要数学著作中出现了更多的与商业贸易有关的应用问题。吴敬《九章详注比类算法大全》（现通称《九章算法比类大全》）可说是这方面的代表作。
吴敬，字信民，浙江仁和（今杭州市）人，曾任浙江布政使司的幕府。
他对浙江的经济情况如田赋、税收、人口等非常熟悉，常协助当地财政官员进行工作。吴敬于景泰元年（1450）写成《九章算法比类大全》这部数学杰作。全书分十卷，共一千三百二十九个应用题。第一卷前另有“首卷”，称为“乘除开方起例”，主要介绍大数记法、小数记法、度量衡的单位、乘除算法中用字的解释、整数四则运算和分数四则运算等，并给出一百九十四个应用问题的解法。第一卷至第九卷按《九章算术》分类法分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈朒和勾股。各卷内容都是对该类应用问题的解法，其中最初几个问题主要引自杨辉《详解九章算法》、刘徽《海岛算经》、王孝通《缉古算经》等，称为“古问”。而结合当时社会情况的应用问题，则称为“比类”。此外还有用诗词形式表达的应用问题。第十卷专论“各色开方”，包括开平方，开立方，开高次方，开带从平方和开带从立方等。吴敬在该书“比类”中收集的许多题目，是与当时人们生产和生活实践特别是与商业贸易有关的应用问题。这是商品经济发展在数学中的反映。十五世纪中，欧洲南部各城市的商品经济也很发达，商业数学也有相应的发展。在吴敬《九章算法比类大全》写成后二十八年，意大利出现了一部相类似的著作《脱雷维沙算术》（treviso为威尼斯附近的一个地名）。其中有不少相当于吴敬书中的问题和解法，如“异乘同除”、“就地抽分”、“合伙经营”、“互换乘除”等。这说明在资本主义发展的萌芽时期，商品经济反映到数学上，东西方有类似的步伐1。吴敬这部著作的体例和内容，对程大位《算法统宗》等后世数学著作有较大的影响。
另外值得一提的是王文素的《算学宝鉴》。王文素，字尚彬，山西汾城人。他以三十余年之功，于嘉靖三年（1524）写成《算学宝鉴》一书，书名全称《新集通证古今算学宝鉴》。全书共四十一卷。这是继吴敬《九章算法比类大全》之后又一部商业数学巨著。书中介绍了珠算，也运用了筹算，包含有结合社会需要的各种应用问题，内容相当丰富。但可惜的是迄今不知这部著作是否有刊本行世。现较易见到的是北京图书馆藏抄本的影印本2。1钱宝琮：《中国数学史》，科学出版社1964年版，第134—136页。
2见郭书春主编：《中国科学技术典籍通汇·数学卷（二）》，河南教育出版1993年版。
第三节珠算术的发展
据现有资料推测，珠算大约发明于元中叶之前不太久的时间，而在元代关于珠算仅有一些零星的记载。珠算发明之后，随着商品经济的发达和算法的简化，在明代逐渐得到广泛应用，并且最终完全取代了筹算。明初刊刻的《对相四言杂字》是一部看图识字的启蒙著作。书中绘有算盘图，也绘有算筹图，说明珠算术发展很快，珠算盘在明初即已推广，成为应该与算筹同时掌握的计算工具。明中期以前的一些数学专著，如吴敬《九章算法比类大全》和王文素《算学宝鉴》等，也都明确提到珠算盘，并记载了一些只在珠算中才能有的口诀。如“破五诀”说：“无一去五下还四”，“无二去五下还三”一或两根算筹就行了，用不着“下还四”，“下还三”，因此“破五诀”应是珠算口诀。但这两部书又主要是介绍筹算方法的著作。这种情况表明，直到明代中期，在实际生活中还是筹算和珠算同时并用的。
明代算盘的式样与规格，在十五世纪中期的《鲁班木经》里有明确的记载：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底。线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”这种算盘的上下算珠之间还没有横梁，只用一条绳线隔开。徐心鲁《盘珠算法》（1573）中的九档算盘图，上有一珠，下有五珠，中间有木梁，与日本的算盘相同。日本算盘是来源于这种算盘还是独立创制的，还有待于深入的研究。柯尚迁《数学通轨》（1578）中所绘算盘图，称为“初定算盘图式”，有十三档，上二珠，下五珠，中间用木制的横梁隔开，已与现在通用的算盘相同。中国算盘的形制可能在这时已经基本定型了。
珠算的四则运算方法基本来自筹算，但也有所不同。如筹算中没有加法和减法的口诀，而加减法口诀则是珠算术的重要组成部分。在明代的珠算著作中，加法口诀称为“上法诀”，如“一，上一；一，下五除四；一，退九进一十”等等，减法口诀称为“退法诀”，如“一，退一；一，退十还九；一，上四退五”等等。为提高运算速度，这些口诀对于珠算术是必要的，而筹算术则无此必要。珠算术的乘法口诀（九九口诀）和除法口诀（九归口诀）等，与元代的筹算术完全相同。此外，明代珠算术中有一归口诀，如“见一无除作九一，起一下还一”等，这种除法口诀是筹算术所没有的。
明朝人撰写的珠算书为数不少，但流传下来的不多。现在有传本的有徐心鲁《盘珠算法》（1573）、柯尚迁《数学通轨》（1578）、朱载堉《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》（1592）和黄龙吟《算法指南》（1604）等。其中以程大位的《算法统宗》流传最广，影响也最大。
程大位（1533—1606），字汝思，号宾渠，安徽休宁（今黄山市）人。
少年时代就很喜欢数学，二十岁以后一面在长江中下游地区经商，一面研究数学问题，同时向知算者请教问难，并广泛收集古代与当代的数学著作。四十岁左右回到家乡专心致力于数学研究。1592年，在他六十岁的时候写成《算法统宗》17卷。后来他又将该书删繁就简编成《算法纂要》4卷（1598）。《算法统宗》，全称是《新编直指算法统宗》。书中详细介绍了珠算盘的定位方法、加减乘除口诀和其他简算口诀。这些口诀已相当完善，至今还在继续使用。全书595个应用题，全部用珠算盘演算，并且还设计了用珠算开平方和开立方的方法（朱载堉在此前后也提出了珠算开方法）。万历时张居正推行一条鞭法，在全国范围内清丈土地。《算法统宗》卷三“方田”中记有程大位专门为此创制的“丈量步车”，并绘有图。这种“丈量步车”是用竹篾制成的，可以卷绳，类似于现在测量用的卷尺，用以丈量土地。《算法统宗》出版之后，很快“风行宇内”，凡学习计算的人士，“莫不家藏一编”1，一直到清末还在出版这部著作的各种翻刻本和改编本。明末李之藻编译《同文算指》，还从《算法统宗》中摘录了不少应用问题，以补充西洋算法的不足。
《算法统宗》的编著和流传是从筹算到珠算这一转变完成的标志。从此，这种携带方便、使用方法简便的珠算盘，成为主要的计算工具，一直到现在还在我国人民中间广泛地应用着，充分显示了适应社会需要的创造发明的强大生命力。不仅如此，珠算盘和有关著作还流传到朝鲜、日本等亚洲国家，并且受到了这些国家的欢迎。古希腊、罗马和俄国也曾有过算盘，它们的形制与中国算盘不同，并且由于使用不便而都被淘汰了，其作用和影响是根本不能与中国算盘相比的。
1程大位：《直指算法统宗》程世绥序。
第四节西方数学的引进
十六世纪末，天主教耶稣会传教士作为西方殖民国家的先遣队，开始到中国来进行活动。最早到中国内地的是意大利传教士利玛窦（1552—1610），他是德国数学家克拉维斯（明代学者称其为丁先生，c.clavius，1537—1612）的学生。明朝末年，由于改革历法的需要，又陆续聘请一些通晓天文数学的西方传教士来历局工作，其中有罗雅各（jacqaesrho，1590—1638，意大利人）、邓玉函（jeanterrenz，1576—1630，瑞士人）、汤若望（jeanadamschallvonbell，1591—1666，德国人）等。这些人的主要活动当然是进行宗教宣传，但是，为了“巩固地位”、“增进自由”和使教会获得“极大的利益”，他们也介绍了西方的一些天文、数学、地理、制造枪炮等科学技术知识。在数学方面，这时传入的有欧氏几何、平面和球面三角学、圆锥曲线、笔算方法和一些计算工具等。西方的这些数学知识为濒于衰废的明代数学增添了新的内容，引起当时中国数学家学习和研究的兴趣，并且做出相当大的成绩，朝着中、西数学融合的方向迈出了重要的一步。
欧氏几何这一时期最早译成中文的西方数学著作是利玛窦与徐光启合译的欧几里得《几何原本》前六卷，内容为平面几何学。所用翻译底本为克拉维斯注释的《原本》十五卷拉丁文本，但仅译出原著，未译克拉维斯的注释和其他研究者的成果。在稍后编撰的《崇祯历书》等著作中，又介绍了《原本》后九卷及《原本》以外的属于欧氏几何体系的部分内容，如正多边形，多面体等。欧氏几何传入后，其丰富新颖的内容及其严谨的逻辑体系和演绎方法，在中国数学界产生了比较大的影响。徐光启曾明确指出，《几何原本》为“度数之宗”，“此书未译，则他书俱不可得论”，“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思；故举世无一人不当学”1。对《几何原本》的意义和重要性给予了极高的评价。徐光启、孙元化等中国数学家还撰写了一些介绍与讨论《几何原本》的专著，并试图用欧氏几何的思想来研究中国古代的传统数学。清代康熙皇帝还曾请传教士南怀仁、张诚、白晋等，到宫中讲授几何，并将法国数学家巴蒂（p.parclies）的欧氏几何著作译成满文本《几何原本》。徐光启和利玛窦所译《几何原本》中确定的一些数学名词，如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形等等，都一直沿用至今。在翻译《几何原本》时，徐光启原来是想译完全书的，但由于利玛窦反对，说是“请先传此”，“徐计其余”，译事因而中辍。1856年，李善兰、伟烈亚力译出《几何原本》后九卷，这已是前六卷译出之后二百五十年的事情了。
三角函数历史悠久的平面三角学和球面三角学，这时也传入中国。《崇祯历书》1徐光启：《几何原本杂议》。
中邓玉函编译的《大测》（1631），利用单位圆上有关的八条线段定义八种三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢，故称“八线”，最后两种三角函数现在已舍弃不用了。三角函数表造法有“六宗”（圆内接正六边形、正四边形、正三角形、正十边形、正五边形、正十五边形的边长求法，即求sin30°、sin45°、sin60°、sin18°、sin36°、sin12°的函数值），“三要”（指sin2a+cos2a=1，倍角公式和半角公式），“二简”［指公式：sina=sin（60°+a）-sin（60°-a），sin（a±b）=sinacosb±cosasinb］等方法。此外还有正弦定理和正切定理。邓玉函编译的《割圆八线表》是五位三角函数表，间隔为分，分与分之间按比例插入法计算。罗雅各所撰《测量全义》（1631），除介绍平面三角学中的正弦定理和正切定理外，还有同角三角函数的关系、余弦定理、积化和差公式等，并且还介绍了属于球面三角学的一些基本公式。《测量全义》附有一份四位三角函数表，间隔为15′。清初，由波兰传教士穆尼阁（j.n.smogolenski，1611—1656）讲授，后由薛凤祚整理成书的《历学会通》中，有一卷《三角算法》，其中介绍的平面三角学和球面三角学知识，比《崇祯历书》中有关三角学的内容更为丰富，并且还给出了一个六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。三角学是明末清初传入中国的较系统且最有实用价值的西方古典数学成就之一。
笔算李之藻和利玛窦合编的《同文算指》是介绍西方笔算的著作，主要是根据克拉维斯的《实用算术概论》编译的，并吸取了程大位《算法统宗》里的一些内容。书中主要介绍笔算定位法，四则运算，分数，比例，级数求和，开平方、立方和高次方，线性方程组等。记数与计算使用一、二、三..等汉字，没有采用现在通用的印度—阿拉伯数码。这部书对我国算术的发展有较大影响，后来清代学者对笔算很重视并加以改进，笔算方法逐渐得到了推广。
《崇祯历书》中的数学知识在《崇祯历书》中，除平面三角法和球面三角法外，还比较零散和片断地介绍了一些有关圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的数学知识，以及阿基米德求圆面积、椭圆面积、球体积和椭圆旋转体体积的方法，已知任意三角形三边长求三角形面积的海伦公式等。这些也都是中国古代数学中所没有的内容，但在当时未引起足够的重视。
在学习和翻译西方数学著作的同时，我国学者也开始了初步的研究，并陆续有一些论著问世。如徐光启的《测量异同》、《勾股义》，孙元化的《几何体论》、《几何用法》、《泰西算要》，陈荩谟的《度测》，李笃培的《中西算学图说》等。这些著作大多为学习西方数学的心得体会，有些还尝试把中西数学融会贯通起来，但总的来说还没有具有创新意义的研究成果。在当时条件下，这是完全可以理解的。
