现代教育所面临的情况，在数百年前中世纪的传统知识体系开始解体时也出现过。当时和现在一样，人们对智力的传统认识虽然刚刚占据上风，但终究过于狭隘，不利于全人类的利益。人类追求的利益发生了变化，这要求教育基础也跟着转变，从而让学生得以接受新的观点。历史上，如果人类社会对智力的认识发生了改变，那么教育也必然会迎来变革。不过这类变革可能会推迟一代人的时间，因为总有些人会为了保护自己的既得利益而阻挠改革，或者纯粹是因为因循守旧，不愿年轻时接受的观念被历史淘汰。但教育必须让学生接受新的观点，让他们有能力理解自身所处的时代的主流思想，这样的教育才是成功的、有生命力的。
处在真空中的教育体系，即与当时的知识氛围脱节的教育体系，是注定要失败的。教育如果不是现代的，便会像有机生命一般衰老腐朽。
然而，光是“现代”还不足以解决我们的问题。我们要做的是将教育与现代思想相连。这里所指的现代思想包括现代观念及其所培养的能力。一天前刚被发现的事物并不一定就是现代的，它可能来自久远的思想体系，又或者太过高深，超出现代人的理解范围。教育应该与现代思想相关联，我们所说的现代思想，指的是那些广泛传播到有修养人群中的思想。在这里，我想谈一谈普通教育中所涉及的高深学科的问题。
对数学家来说，这是一个非常敏感的问题。外行人都抱怨我们的学科太深奥了。我还是大胆地承认吧，大部分人都会认为，数学是深奥科目的典型代表。我用了“深奥”这个词，并不是说这门学科很难，而是说其涉及的知识非常专业，基本与人们的日常思维没有多大关系。
数学的深奥导致其在博雅教育中难以发挥作用。如果我们只是将其当作一种教学工具看待，大众的数学能力就必然会维持在一个非常低的水平。对此我非常担忧，也非常希望我们能够加强数学教育。要达到这一目的，我们要做的不是盲目地教授更多的数学知识，而是直面阻碍数学得到广泛运用的真正难题。
数学很深奥吗？从整体上来说，确实如此。人类的一般判断是可靠的。
从人们对数学的认识和课本上的数学知识看来，数学确实是深奥的。一般原理能演绎出无数个推论，而且每一个推论比上一个推论更加深奥难懂。我的任务不是为数学的深奥地位进行辩护。它已经是公认的深奥学科了。我想强调的是，数学令人着迷的地方，正是它难以被用作教学工具的原因。也就是说，从一般前提演绎推论出无穷无尽的推论，推论之间关系复杂，与最初前提的关系相距甚远，数学方法多种多样，具有抽象性的特征，这种抽象性能够带领我们通向永恒的真理。
当然，数学的这些特性对学生们来说都是无价的珍宝，自古以来吸引了许多顶尖的人才投身其中。然而我想指出的是，除了那些精挑细选的优秀学生，数学的这些特性是不适合运用到普通教学之中的。数学中充满了数不胜数的细节知识，看起来即与伟大理论无关，也与日常生活脱节，学生们对此只会感到不知所措。对教育而言，这种不断向学生灌输细节知识的方法是最无用的。
因此，如果想把数学运用到普通教育之中，我们就必须对教学内容进行严格的筛选和调整。当然我并不是说，不论投入多少时间，普通学生的数学造诣都无法得到很大的提高。不论他们在数学方面的进步多么微小，数学在各个发展阶段都是自然的，不是纯粹的思维游戏。因此，我们要将数学的某些特性严格地排除出去。我们不能让年轻的学生认为科学是深奥的，而是应该以简单直接的方式将重要的一般性原理传授给他们。
在数学教育改革方面，我们这一代教师取得了值得我们自豪的成就。我们的改革很有力，并且在如此短的时间内取得了出乎意料的成果。对公共考试背后确立已久的课程体系进行改革是一项艰巨的任务，其难度超乎人们的想象。
即便如此，我们还是取得了很大的进步。至少，我们打破了僵化落后的教学模式。我想向大家说明的是一个指导思想。我在前面其实已经说过了，那就是让教育中的数学科目不再晦涩难懂。
我们的课程应该以简单明了的方式向学生介绍一系列重要的知识，其他的细枝末节都应该被严格剔除。数学教育的目标是让学生熟悉抽象思维，明白如何将其运用到具体情形之中，并且掌握逻辑推理的一般方法。确立了这个理想目标后，我们就会知道，没有比盲目地增加课本中的定理更加糟糕的事情了。这些定理出现在课本中的唯一理由是，出题人能通过简单的题目对学生进行考查。课本的内容非常重要，必须清晰地阐明知识点。使用的例子要尽可能多，可以是抽象的特殊个例，也可以是具体的实际运用，但必须直接对定理进行阐释。在此我还想指出一点，如果考试中出现的案例依旧涵盖了很多深奥的细节知识，那我们对课本的简化就没有意义了。有人认为，习题能测试一个人的能力与天赋，而书本知识只能测试一个人有没有背课本。这种观点是错误的，至少以我的经验看来是错误的。只有那些为了奖学金而死记硬背的学生，才能得到好成绩。好的课本不应该根据错误的大纲，将零散知识拼凑在一起；而应该为学生提供丰富的直接案例，这样的课本比考试更能测试学生的能力。这也说明考试会对教学产生不良影响，但这都是题外话了。
数学的基础知识并不深奥。数学很抽象，但将数学纳入博雅教育中的主要目的之一就是训练学生掌握抽象概念的能力。这门科学中的抽象概念，是人类大脑很自然地以精确的方式接触到的第一批抽象概念。数学涉及数的关系、量的关系和空间关系，这不是一般的数学定义，更体现了数学的科学面向。不过我们现在讨论的是数学在教育中的作用。数的关系、量的关系和空间关系，这三种关系是互相关联的。
在教育中，我们要从特殊案例出发，然后上升到普遍原理。因此，学生们应该通过简单的例题来掌握知识的运用方式。在此我想指出一点：我们的目标不是盲目地让学生学会大量的数学定理，而是通过多年的教育，帮助他们意识数的关系、量的关系和空间关系，这些才是最为重要的。这种训练应该成为所有哲学思维形成的基础。事实上，以正确方法教授的基础数学，恰好能为学生提供这样的哲学训练，普通学生也能将其掌握。但是，我们要不惜一切代价避开那些毫无意义的细节知识。你可以为学生提供尽可能多的例题，让他们学习数个学期或者数年，但这些例题必须是对主要原理的直接阐释。只有这样，数学才不会变得过于深奥难懂。
但是，我所介绍的教学方法并不适用于以下两类人：想成为专业数学家的学生，和出于职业需要，必须掌握一定的数学细节知识的学生。我所讨论的是针对学生整体的博雅教育，而前面所提的两类学生也被囊括在其中。将数学广泛运用到教育中时，我们应该让学生通过实际案例学习简单的普遍定理。这类学习应该是自成一体的，与前面提到的专业学习完全区分开来，但其本身也能为专业学习打下良好的基础。在最终的学习阶段，学生们应该已经掌握课程中的一般定理。就我所知，目前处于数学教育最终阶段的学生应该能证明与三角形连在一起的圆的某些特性。这些特性是数学家感兴趣的。但是，这些是不是太过深奥了？它们与博雅教育的理想目标之间有什么关联吗？古典文化教育中，所有的语法课程最终都要学生阅读维吉尔和贺拉斯 [57] ，了解这些伟人的伟大思想。而数学教育的最终结果，是让学生明白九点圆 [58] 的属性，这样的结果真能让我们满意吗？能让我们为自己的学科终于在教育中占据一席之地而高兴吗？坦白说，这难道不是一种“倒退”吗？
我们这一代数学教师在数学教学的改革方面呕心沥血，所以我们要相信，自己可以通过课程体系的改革，为学生留下比三角形的“两解情况” [59] 更为宝贵的知识财富。
接下来我想讨论在基础数学课程即将结束之时，如何为更优秀的学生制订复习计划。毫无疑问的是，我们要对所学过的知识进行整体回顾，但不用包含那些过于细枝末节的知识，而应该强调一般性概念及其在未来学习中的重要性。同时，我们还要将分析法和几何理论直接运用到实验之中，在物理实验室里，一些简单的实验力学课程已经系统学习过了。从这里可以看出，物理知识和数学知识是相辅相成的。
数学知识是力学定律精确公式化的基础。只有学好数学原理，学生们才能理解精确的自然法则，明白这些法则在实验中得到了多大程度的论证，并了解形成公式的抽象思维是如何成形的。整个过程需要我们详细展开，为学生提供充足的实例，光是抽象说明是不够的。
然而，如果我们在最终的复习阶段，将过多的精力投入对过往内容的直接阐释中，反而得不偿失。我的意思是，在课程的最后阶段，我们应该对课程内容进行筛选，将过往所做的所有数学练习背后的一般原理放在首位。我们可以通过引入新的学科来做到这点。例如，数与量的概念是所有精确思维的基础。在过去的阶段中，我们不会对它们进行严格的区分，学生们也不用在这两者上花费多大精力，便能直接进入代数的学习。但在课程的最终阶段，那些更为优秀的学生将通过思考量的基本属性而大有所获，从而进入数字度量的领域。该领域也有很多书籍能帮助学生学习。专家们将欧几里得《几何原本》的第五卷视为古希腊数学最重要的杰作之一。该卷介绍的就是这方面的知识。传统数学教育最为愚蠢的是，忽视了这本书的重要性。因为这本书谈的是数学理论，所以就被舍弃了。当然，要使用这本书，我们必须对其中的命题和论证进行仔细的筛选和修订，选出那些能代表其主要思想的命题。这本书不适合处于下游的学生，但会吸引那些更为优秀的学生。他们能对量的性质和测算量的方式进行有趣的探讨。教授这本书的时候，我们不应该夸夸其谈。不论在哪一个阶段，我们都应该通过具体的案例，向学生们展示哪些情况下存在量的特征，哪些情况下不存在，哪些情况下量的特征不明显、不确定。温度、热度、电流、喜悦与痛苦、质量与距离都能被考虑进去。
另一个需要阐述的概念是函数。数学分析中的函数相当于物理中的定律和几何中的曲线。学生在开始接触代数时，即画图表的时候，就学习过函数与曲线之间的关系。近年来，我们对图表教学进行了不少改革。但就目前阶段而言，我们的改革不是太过激进，就是不够彻底。光是画图表是不够的。图表背后的理论才是令其生效的关键，就好比持枪者不扣动扳机，枪就无法发射子弹一样。而目前，我们只是倾向于让孩子画曲线而已。这一问题有待解决。
在学习简单的代数函数和三角函数时，学生们其实在学习如何精确地表达物理定律。曲线是展示这些定律的另一种方式。我们不应该教授简单的基本法则，例如平方反比和直接距离，而应该教授运用简单的函数来表现物理定律的重要实例。在课程最后的复习阶段，我们可以将主要的微分知识运用到简单的曲线之中。变化率并不是一个很难理解的概念，x的幂之间的区别，例如x2 、x3 等，都是很容易的知识点。在几何知识的帮助下，我们甚至能教会学生区分sinx和cosx。如果我们不再将学生们无法理解也永远不会用到的定理强行教给他们，我们就有足够的时间将他们的注意力集中到真正重要的知识点上，让他们熟悉真正对思维有益的概念。
在结束关于物理定律和数学函数的讨论之前，我想再指出几点。那些无法通过观察彻底得到证明的精确定律，要解释起来并不困难，而且也有很多合适的案例。例如，统计规律，即对大量事件整体起作用的规律，是很容易就能学会的知识点。事实上，代数运用的最简单的例子之一，就是将基本的统计法运用到社会现象之中。
另一个帮助学生将所学知识归纳统一的方法就是学习数学史。学生们要学的，不是里面的时间和人名，而是各个时期的思想潮流，正是这些思潮决定了哪些理论在提出之时能吸引人们的注意力。我认为，这或许是实现我所追求的教学结果的最佳方式。
至此，我们提到了两个方面，即量的概念和自然规律，这都是博雅教育的数学课程应该涵盖的知识点。但还有一点不能忽视，那就是训练逻辑思维方法的主要方式。
那么，什么是逻辑方法呢？我们又该怎样培养这种思维方法？
要学好逻辑方法，光是了解各式各样的推理方法，并训练大脑掌握这些方法是不够的——不过能做到这两点就已经很难得了，因为在很久之前，人类大脑的演化不是为了逻辑推理，而是为了更多地捕获新鲜的食物。因此，很少有人能在没有大量练习的情况下，就拥有严密的逻辑。
但要成为一名擅长推理的人，或者让普通人了解推理的核心知识，光做到以上两点是不够的。推理的艺术需要我们从正确的角度看待事物，通过一般原理掌握事物的全貌，并不断整合事物周边的相关细节。人们必须通过不断的训练，认识宏观思想的重要性并将其牢牢抓住，才能成为优秀的推理者。我认为，几何比代数更适合用作这方面的训练。代数知识更为晦涩，而空间感则是人人都有的。而且，几何涉及的简化或抽象化，即将所有不相关的物质属性，例如颜色、风格和重量统统剔除，这本身也是一种需要培养的能力。此外，几何里的定义和有待证明的命题，要求我们必须对研究对象的各个基本事实和基本事实之间的关联有一个清晰的认识。所有这些，都还只是几何的浅显知识而已。当我们深入研究该学科的发展，我们会发现越来越多的亮点。学生们在刚刚接触几何时，不会遇到任何难以记忆的抽象知识。而在学习推理的初期，只要学习方法得当，学生们所遇到的知识大多也都是清晰易懂的，这些知识将带领他们完成每一阶段的学习。因此通过几何，学生们很快就能了解逻辑方法的核心。
现在，先不考虑普通学生接受能力有限和教学时间受到其他学科限制的问题，几何能为博雅教育带来怎样的帮助呢？我想向大家介绍一下几何学习的几个阶段，不过这些阶段并不一定就要按照我介绍的顺序进行。
第一个阶段中，我们要学习全等。实践中，如果几何图形在不断变化的外部条件下能保持内部特质的不变，我们就可以判定它们全等。然而，不论是什么样的全等，本质上都是两个空间区域点对点的对应，如此一来，所有的对应的距离与角都是相等的。需要注意的是，边与角的对等才是全等，而测量是否对等的方式，例如码尺，不过是帮助我们更轻松地判断图形是否全等的工具而已。我指出这点是希望大家明白，全等的重要性并不只是在于涉及的逻辑推理。这个概念本身便代表一种更为广阔、深远的概念，非常值得我们认真研究。全等涉及的命题能阐释三角形、平行四边形和圆形的基本特性以及两个平面图形之间的关系。不过在教学中，我们应该对证实了的命题进行严格筛选，去除那些多余的不言自明的命题，仅仅留下那些非常基础、非常重要的命题。
第二个阶段中，我们要学习相似性。这一阶段的教学中，我们可以只介绍三四个基本命题。相似性是对全等的扩充，也是两个空间之间点对点的对应。如果要对这一阶段的学习进行拓展，我们可以向学生介绍相似或位置相似的直线图形，研究它们的一两个简单特性。这一阶段的知识可以直接运用到平面图和地图的绘制中。不过我们要记住，要将主要理论用于实践，就必须掌握好三角学的原理。
第三阶段要学习的就是三角形原理。三角学研究的是相似图形的相互关系的特性和图形旋转的周期性问题。在这一阶段，我们会少量运用以数与量的研究为基础的代数分析法，这也是我们首次向学生介绍这一方法。我们要让学生们明白函数周期性有多重要。解三角形时，或者将解三角形的方法运用到测绘中时，我们只需运用函数的一些最为简单的特质。课本中密集出现的公式虽然很重要，但对几何学习毫无用处，所以我们在教学中要避开这些公式，除非学生能以它们为案例进行证明练习。
三角学的教学也表明了剔除公式的重要性。当然，我的判断也有可能是错误的。如果我们将三角学的教学限制在三角形的一个角上，并且去除与正弦、余弦和两角总和的多余公式，那么三角学就能很好地运用到教育之中。我们能通过绘制函数图来解三角形。如此一来，我们就能通过书本知识和例证，让学生们明白三角学的三个用途：1.通过图像分析并展现全等和相似性的理论；2.解决测量中遇到的主要问题；3.掌握必要的基础函数以展示周期性和波动的特性。
如果我们想要拓展三角学的教学，就应该加入一些公式的学习。但我们也要注意，不要让学生专门学习遇到的公式，即不要让他们投入太多的时间与精力去熟练掌握那些公式。老师可能觉得运用案例予以讲解会很有趣，但那些都不是学生应该记住的知识点。而且，不论是在三角学还是在前面几个阶段的几何教学中，我们都应该剔除外切圆和内切圆的知识。这些知识本身没有什么问题，但对非专业的基础课程来说，这些知识是无用的。
如此一来，三角学的实际书本内容就被压缩到了比较好掌控的程度。几天前我听说有一所美国大学要求学生记住90个三角学的公式或推算结果。幸好我们的教育还没有差到那种程度。事实上，在三角学的基础教学中，我们几乎达到了初级课程的理想目标。
第四个阶段的学习内容是解析几何。由于代数学习中的图表部分已经涉及解析几何的基础概念，因此在这一阶段，我们只需要对课程内容进行严格筛选，通过方程式向学生们介绍直线、圆和三种圆锥曲线即可。对这一阶段，我想向大家指出，我们在教授数学知识的时候，不用将所有的知识都证明一遍。例如，在平面解析几何中，对二次方程的一般形式进行化简虽然超出了这一阶段大部分学生的接受能力，但这并不妨碍我们阐释圆锥曲线的基本内容，介绍各种类型的曲线。
我们应该将“几何圆锥曲线”划分为单独的科目进行教学。当然，在适当的情形下，如果我们能将一些简单图形的直接推论运用到解析几何中，那对我们的解析过程将有很大的帮助。但是几何圆锥曲线是从圆锥曲线以焦点和准线为基础的定义发展而来的，这便是几何圆锥曲线的致命缺点。它是非常深奥的。在这套理论中，圆锥曲线的基本定义是sp=e.pm，从这里开始就已经很不利于教学了。这个公式很晦涩，而且看起来毫无意义。我们为什么要学习这种曲线公式而不学习其他的曲线公式？但当我们开始研究笛卡尔 [60] 方法后，我们自然首先要考虑一次方程和二次方程式。
在理想的几何教育中，第五阶段的内容应该是射影几何学，其基础概念包括交比和投影。投影是点对点关系的又一个案例，前面在全等和相似中我们已经提过这种对应关系。在这一阶段，我们同样要避开令人困惑的细节知识。
射影几何学就是要让学生明白如何通过推理证明图形射影中的关联关系和不变的图形性质。图形经过射影变换后，一些图形性质依然保持不变是射影几何学的重要知识点之一。交比是射影中涉及度量的基本不变量。我们在教学中选择的命题，应该让学生了解以下两个相互联系的过程。第一个过程是通过简化进行证明。这里的简化指的是心理上的简化而非逻辑上的简化，因为在一般案例中，逻辑上的简化是最为简单的简化。这里所选取的应该是我们最熟悉或最简单的案例，然后以此来证明命题。另一个过程是从已知的一般真理推断出具体案例，前提是我们能够发现这些案例，或者有评判标准来检验它们。
圆锥曲线的射影定义以及通过二次方程推导出的各类曲线都是很容易就能阐释清楚的，但这些其实都是射影几何学的边缘知识。我们只用来把这些知识教给学生，不用对其进行证明。
这里所介绍的几何教学内容并不多，但完全是理想化的几何教学，是永远也无法实现的。每一个阶段所涉及的书本上的数学推理知识都非常少。但我们要对这些知识进行详细讲解，让学生明白每个命题的重要性。为此，我们可以选择一些能展现各个几何领域思想的案例进行讲解或让学生自己去证明。如此一来，学生就能学会如何对空间的首要特性及其证明方式进行分析。
通过以上方式进行的数学原理教学能训练学生的逻辑思维，帮助他们了解科学和哲学研究的基本原理。如今，我们已经在数学教育改革上取得了惊人的成就，我们能否推进改革，将这些覆盖面更广、哲学性更强的思想纳入课程体系呢？坦白说，要以个人之力实现这一目标非常困难。由于我所提及的那些原因，所有的教育改革推行起来都十分困难。但只要我们齐心协力、坚持不懈，只要广大教师都认识到这一理想的教学模式，我们就能走得更远，最终实现惊人的改革成果。慢慢地，我们的教科书能得到优化，考试也不再像过去那样强调过于专业的知识。事实上，大多数教师都非常希望数学能不再因为刻板无趣而受人诟病。
