欽定四庫全書

九章録要卷五

松江屠文漪撰

差分法

古九章三曰差分亦曰衰分以御貴賤廩税

一分遞加減衰分〈以最少者一分之數遞加成多若從多者遞減則減至最少者而減盡也〉法以一為首衰〈從少者起算〉自一而二而三四遞加為各等衰并之為總衰以為一率總實為二率各等衰為三率求得四率即各等數

假如有銀七十二兩甲乙丙丁戊五人以一分遞加減分之問各幾何

一率　一十五〈總衰　衰分章三率法獨有宜先以一率除二率者〉二率　七十二〈總實　一率除二率得四兩八錢〉

三率　五〈甲衰〉四〈乙〉　三〈丙〉　二〈丁〉　一〈戊〉

四率　〈二十　一十九一十四九兩　四兩四兩　兩二錢兩四錢六錢　八錢〉

右各等中倘復各自有數不齊者先以各衰乗之為各總衰然後并為大總衰

假如有糧二千四百石甲乙丙丁四等户依前例輸之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户則以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户數為各總衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百為大總衰列一二率如前若以各總衰為三率即得各等總數以各衰為三率即得各等每户數〈以下諸法倣此〉

減半衰分〈乙當甲之半丙又當乙之半也〉　法以一為首衰自一而二乗之又二乗之為各等衰〈以一二乗得二以二二乗得四并之得七餘倣此〉列率乗除如前

二八衰分〈甲視乙為八與二乙視丙又為八與二也〉　法以二為首衰自二而四乗之又四乗之為各等衰〈以二四乗得八以八四乗得三十二并之得四十二餘倣此〉列率乗除如前

四六衰分〈同上〉　法以四為首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同為各等衰〈以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九餘倣此〉乗除如前

三七衰分〈同上〉　法以三為首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之為各等衰〈以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三分之一并之得二十六又三之一餘倣此〉乗除如前或厭零分多者就首衰之數以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰則三乗首衰之三得九為首衰甲乙丙丁四等衰則又三乗九得二十七為首衰甲乙丙丁戊五等衰則又三乗二十七得八十一為首衰〈每多一等則首衰多三乗一番〉既增廣其首衰然後用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣

十分之六遞減衰分　法以一為首衰〈此從多者起算所謂首衰之一亦與前一為首衰者不同前一只是一數此則無定之數也〉遇二等衰則為一十三等衰則為一百四等衰則為一千以為首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之為各等衰〈以一百六乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六餘倣此〉乗除如前凡十分之七或八九諸數遞減衰分俱準此推之不别為法以滋繁瑣

減半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二數求總實減半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少則曰減半言其自少而多則曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也〈零分法一又二之一化為二之三乃用子乗母除則當三乗二除猶之六乗四除也〉三七衰分是二又三之一乗加也〈零分法二又三之一化為三之七乃用子乗母除亦是七乗三除也〉十分之六遞減衰分是一又三之二乗加也〈零分法一又三之二化為三之五乃用子乗母除則當五乗三除猶之十乗六除以此遞加與六乗十除遞減同耳〉以上所云幾乗加者但取衰分之數以少除多即得之〈假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所云幾乗加也〉若各衰分止舉首尾二等最少最多之數問總實幾何者不必論其中間分作幾等但以首尾數多少相減減餘以原乗數減一數為法而除之〈假如原係四乗加者以三除之原係一又二之一乗加者以二之一除之原係二又三之一乗加者以一又三之一除之原係二乗加者以一除之一除固可不必除然於法不容沒此一除恐似别為一法也〉即得最少以至次多諸等之總實以并最多數即得全總實

右例以原乗數減一數為除法亦不必求原乗數而減之但以衰分之數多少相減減餘以少數除之即得除法〈假如三七衰分三七相減餘四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相減餘四以六除四得三之二與原乗數減一數同　右一條新訂〉

減半二八四六三七十分之六各衰分求隔等數不論幾乗加但知首等最少之數再知中間一等之數即可隔等而求之假如知首等數與第六等數者第六等數已經五度加矣則以此數自乗以首等數除之即得十度加之數〈倍五為十也凡自乗者以倍相求　十度加乃是第十一等〉若以六度加之數〈第七等〉自乗以首等數除之即得十二度加之數〈第十三等〉若以五度加六度加之數相乗以首等數除之即得十一度加之數〈五六并為十一也凡二等數相乗者并而求之　十一度加是第十二等〉若以三度加〈第四等〉八度加〈第九等〉之數相乗以首等數除之亦得十一度加之數此謂以少求多者或以多求少如以十六度加之數〈第十七等〉以首等數乗之開方除之即得八度加之數亦可以十六度加之數以首等數乗之以十度加之數除之得六度加之數葢取以少求多之法而反用之即是也〈右一條新訂〉

右求總實求隔等數二法凡三乗加五乗加及十分之七之八之九諸數遞減衰分準此推之無不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商販獲息當母二之一并入母銀又獲息每度皆同此亦一又二之一乗加也但每度加之數俱合子母而言則當以最後一度之數為總實不得并諸度之數為總實且首一數即係原母則一度自有一度之加與甲乙分金十等人止須九度加者亦微有辨也

合率衰分　率者衰分多寡之大率也〈與三率之率自不相涉各有取義也〉葢衰分各等之實數有所未知而各等之大率已知因合各率以與總實相權而衰分得焉不計其合未有能分者也然則以前諸法無非合率衰分而此獨以合率名者何也前諸法若三七若四六皆有準則固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六為準乃不可専名而獨名之合率也各率為各衰并之為總衰乗除如前假如有銀二百四十兩甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分則甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之為二十五為總衰也其各等中又各有數不齊者亦依前法兹仍具例於左以備參觀

假如有銀七兩零八分欲買銅一停錫二停鉛三停其價銅每斤一錢八分錫一錢三分鉛五分問三物各幾何

一率　五十九〈總衰一銅價二錫價三鉛價并〉

二率　七百零八〈總價　一率除二率得一十二〉

三率　一〈銅衰〉二〈錫〉　三〈鉛〉

四率　一十二〈銅斤數〉二十四〈錫〉　三十六〈鉛〉

右總衰總價俱化兩錢為分者既得三物斤數各以價乗之得各總價數或以銅總衰一十八分錫總衰二十六分鉛總衰一十五分為三率即先得各總價乃各以價除之亦得各斤數

又如有銀五百九十四兩糴米一停麥二停豆三停共三百九十六石其價米一石抵麥一石六斗抵豆二石問三物及價各幾何此須用重測法先以米衰一麥衰二豆衰三并之得六為總衰為一率三物共石數為二率各衰為三率求得三物各石數〈米六十六麥一百三十二豆一百九十八〉然後别求各價其法置三物停數以三物相當抵之數乗除之或益貴物以從賤則用乗或減賤物以從貴則用除以為各衰仍并之為總衰為一率三物共價為二率各衰為三率求得三物各總價乃以前所求三物各石數除之即得每石價〈米二兩四錢麥一兩五錢豆一兩二錢〉

一率　三又四之三〈總衰〉

二率　五百九十四〈總價兩數　一率除二率得一百五十八又五之二〉三率　一〈米衰〉　一又四之一〈麥〉　一又二之一〈豆〉四率　〈一百五十八　一百九十　二百三十七兩四錢米八兩麥兩六錢豆〉右以米為主而減麥與豆以從之米衰一得一麥衰二以一又五之三除之〈即一六也米一抵麥一六故〉得一又四之一豆衰三以二除之〈米一抵豆二故〉得一又二之一并之得三又四之三

又式

一率　七又二之一〈總衰〉

二率　五百九十四〈總價　一率除二率得七十九又五之一〉

三率　二〈米衰〉　二又二之一〈麥〉　三〈豆〉

四率

右以豆為主而益米與麥以從之豆衰三得三米衰一以二乗之得二麥衰二以一又五之三除之〈先除以從米〉再以二乗之〈次乗以從豆〉得二又二之一并之得七又二之一

又式

一率　六〈總衰〉

二率　五百九十四〈總價　一率除二率得九十九〉

三率　一又五之三〈米衰〉二〈麥〉二又五之二〈豆〉四率

右以麥為主而益米減豆以從之麥衰二得二米衰一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二除之〈先除以從米〉次以一又五之三乗之〈次乗以從麥〉得二又五之二并之得六

右例或不復用米一麥二豆三等衰但就三物各石數而取一數為主其餘則益貴減賤以從之為總衰以除總價即得其物每石之價依法復損益之得餘二物每石之價如以米為主米六十六麥一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除總價得二兩四錢即米每石價也仍以一又五之三除之得麥價以二除之得豆價若以麥豆為主法並倣此〈右一條新訂〉

合率帶分母子衰分　合率衰分其間等差各帶母子分數者自有帶分之法假如有銀七百九十五兩甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一問各實數幾何其法先并各衰分數并各子以乗各母從小數并起惟丁衰十一無并其丙衰係十二又係三則以十二并三用三除十二得四即以四乗乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六并七用七除五十六得八即以八乗甲之十得八十為甲衰并之得一百五十九為總衰

一率　一百五十九〈總衰〉

二率　七百九十五〈總銀　一率除二率得五〉

三率　八十〈甲衰〉五十六〈乙〉十二〈丙〉十一〈丁〉

四率　四百二百八十　六十　五十五右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一則丙衰係十三又係三欲以十三并三用三除十三除之不盡即不用除却以十三乗乙之十四得一百八十二為乙衰依法推得二百六十為甲衰其丙之十三丁之十一轉須用三乗之以為衰丙得三十九丁得三十三也

合率帶分匿總實以較求衰分　假如四人分銀不知總實但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙與丁差四兩問各幾何此三母皆甲也用并母法累乗得五百七十六為甲衰乃以乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰以丙丁二衰之較為一率丙丁之較為二率各衰為三率〈不用約法覽之易曉〉

一率　二十四

二率　四

三率　五百七十六〈甲〉四百八十乙四百三十二〈丙〉四百八〈丁〉四率九十六　八十　七十二六十八右例帶分與前例母子不同其法互見而可相通前亦可以較求分此亦可以總實求分也又凡以前諸衰分法若匿其總實任舉一等所得之數或兩等所差之數皆可倣二例而求之

合率帶分匿總實以餘實求分　假如四人分銀不知總實但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚餘五兩問各幾何此四母皆銀也用并母法得九百六十為總衰乃以甲乙丙丁之原子乗之原母除之而得三百六十為甲衰二百四十為乙衰一百九十二為丙衰一百六十為丁衰以四衰減總衰餘八為餘銀之衰為一率餘銀為二率各衰為三率〈率式不贅但求得總實即得各分數矣〉

右例四母皆據總實言之故可以餘實求總實求分若以前諸衰分法不可以餘實求也

右例亦可任舉兩等所得之較以求之〈又右二例俱可用借徵法葢用并分法亦借衰也〉

一數遞加減衰分以等求總實〈與一分遞加減相類而不同者一分為不定之數一數則一而已又自此以下及同較衰分共十法皆謂每等只一人者與以前諸法自别〉凡一數遞加自一而二而三四此不難於衰分須求總實㨗法耳假如欲分十五等問總實幾何法以首等一〈以少者為首〉并末等十五〈等十五則末等所得數亦十五也〉得十六以等數乗之折半得一百二十為總實又如有物倚牆一面尖堆下廣二十四枚以首層一并下層二十四得二十五以層數〈即下廣數〉乗之折半得三百為總積〈前一分遞加法若每等只一人者亦可用此以求總實但依法所得數須更以較數乗之方得總實若未經較數相乗止得總衰而非總實也假如每一分銀四兩遞加分十五等依法得一百二十為總衰更以每等之較四乗之得四百八十為總實也〉

一數遞加減衰分以總實求等　假如總實一百二十以一數遞加分之得幾等法倍實開方除之得十五而餘實亦十五即十五是等數又如總積物三百欲作倚牆一面尖堆倍積開方得二十四而餘實亦二十四即二十四是下廣數〈前一分遞加法若每等只一人者亦可用此以求等數但須先以每等之較數為法除實而後依上法求之假如銀四百八十兩每一分四兩遞加分之則先以較四除實得一百二十乃依法求得十五為等數也〉

右二法謂首等數起於一者故比之倚牆一面尖堆若不從一數起即各等俱以一數遞加但謂之同較衰分不在此例如倚牆一面平堆每層亦俱較一而當依同較衰分法也〈前一分遞加衰分亦謂首等所得之一分同於各等所差之一分也如其不然即是同較衰分矣〉

又右二法不可用之同較衰分而下同較諸法〈凡七法〉則可用之一數遞加衰分也〈亦可用之一分遞加之每等只一人者　右一條新增〉

同較衰分〈不論較數幾何但甲乙之較乙丙之較丙丁之較各等俱同者是也〉

假如總實九十九作十一等分之各等俱較一數問各幾何法以等數減一存十與等數相乗折半得五十五以較一乗之仍得五十五〈較一則乗猶不乗也而於法不可無此一乗者為較不止於一者而設也〉以減總實餘四十四以等數除之得四為首等數或以并總實得一百五十四以等數除之得十四為末等數餘以次推之

同較衰分以等及較與首數求尾數與尾數求首數求總實　如前例十一等每等各較一法以等數減一存十以較一乗之仍得十并首數四得尾數減尾數十四得首數并首尾數以等數乗之折半得總實

同較衰分以較與首尾數求等求總實　法以首尾數相減得首尾較以較除之加一數得等數如前法求總實

同較衰分以總實及較與首尾和求等求分　法以首尾和折半為法除總實得等數即以等數減一乗較數得首尾較和較相減半之得首數相并半之得尾數

同較衰分以總實及等與首尾較求較求分　法倍總實以等數除之得首尾和如前法求之再以等數減一除首尾較得各較

同較衰分以總實及等與首幾等和或尾幾等和求較求分〈言或者首尾不必並舉〉法以帶和之等數乗總實以全等數除之〈所得數乃首尾幾等應得均平之數也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足而此盈彼不足其數必相當故下但云與和相減而不必問其首尾也〉與和數相減減餘以帶和之等數折半為法除之再以全等數減帶和等數為法除之得各較〈右一條新增〉

同較衰分以等與首幾等和尾幾等和求較求分求總實　假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分銀甲乙丙三人共一百一十一兩庚辛二人共四十一兩問各較幾何各分幾何總實幾何法以三互乗四十一得一百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相減餘九十九又以二三相并得五折半為二又二之一以減人數總八餘五又二之一又以二三相乗得六以乗五又二之一得三十三為法以除九十九得三為各較數乃以甲乙丙和三除之得乙數加較得甲數減較得丙數或以庚辛和并較半之得庚數減較半之得辛數次求丁戊已數并八數為總實〈右例但取首尾並舉而或舉首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡於法皆通即總數滿百人而但舉首尾兩三人亦無不可也〉

同較衰分令多寡齊數法　假如有銀二百七十兩作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數齊問各幾何法如一分遞加減列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相減較三以二人三人相減之較一為法除之仍得三〈較一則亦不必除而言除者為較有不止於一者也〉却於五等衰各加三數為各衰并之為總衰列三率求之

一率　三十〈總衰〉

二率　二百七十〈總實　一率除二率得九〉

三率　八〈甲衰〉七〈乙〉　六〈丙〉　五〈丁〉　四〈戊〉

四率　七十二　六十三　五十四　四十五　三十六又如有銀七十兩作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人數與丙丁戊已庚五人數齊問各幾何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相減較二而此乃五人之數多於二人與前二人之數多於三人者不同亦以二人五人相減之較三為法除之得三之二却於五等衰各減三之二為各衰并為總衰如前求之一率　二十三又三之一〈總衰〉

二率　七十〈總實　一率除二率得三〉

按一數遞加一分遞加衰分只三人甲數與乙丙數齊而餘皆不能故此法獨不可以相通也

同較衰分又法　前同較衰分八法皆謂每等只一人者據實與等與較及首尾數更互相求於法止可每等一人耳（⿱艹石）但欲衰分則雖每等之中復有人數多寡不齊非無法以分之　假如銀三百二十四兩甲乙丙丁四等人分之每等較三兩甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人問各幾何法以較三乗乙四人得十二倍較為六乗丙六人得三十六三乗較為九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并總實得四百六十二以甲乙丙丁總二十二人除之得二十一為甲等一人所得數遞減較得各等數〈右一條新增或以較三乗丙六人較六乗乙四人較九乗甲二人并得六十減總實得二百六十四除得十二為丁等數〉

母子差分〈此謂商賈以母銀得息非帶分之母子也〉假如三商共得子銀四百兩甲母三百兩經十箇月乙母六百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得二百兩乙得一百二十兩丙得八十兩問乙丙出母銀經幾月

一率　二百〈甲子〉

二率　三千〈甲母乗月數〉

三率　一百二十〈乙子〉　八十〈丙子〉

四率　一千八百〈乙母兼月數〉　一千二百〈丙母兼月數〉各再以母除得月數乙得三丙得一又二之一

又如三商共得子銀一百三十八兩甲出母二百兩經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十箇月不知母其子銀則甲得六十乙得四十八丙得三十問乙月丙母

一率　六十〈甲子〉

二率　二千四百〈甲母乗月數〉

三率　四十八〈乙子〉　三十〈丙子〉

四率　一千九百二十〈乙母兼月數〉一千二百〈丙母兼月數

乙再以母除　丙再以月除得得八月　一百二十兩〉

又如三商共得子銀一千五百二十兩甲母一千八十兩乙母三百六十兩丙不知母其子銀則丙得二百四十兩問甲乙各子及丙母

一率　一千四百四十〈甲乙共母〉

二率　一千二百八十〈總子減丙子得甲乙共子〉

三率　一千八十〈甲母〉三百六十〈乙母〉

四率　九百六十〈甲子〉三百二十〈乙子〉

又

一率　一千二百八十〈甲乙共子〉

二率　一千四百四十〈甲乙共母〉

三率　二百四十〈丙子〉

四率　二百七十〈丙母〉

又如二商共得子銀一百兩甲母倍於乙外又一十五兩其子銀則甲得六十八兩乙得三十二兩問甲乙母各幾何

一率　四〈甲子倍乙外又盈此數〉

二率　十五〈甲母倍乙外又盈此數〉

三率　六十八〈甲子〉　三十二〈乙子〉

四率　二百五十五〈甲母〉一百二十〈乙母〉

貴賤差分　法以貴價乗總物數與總價數相減餘以貴賤價較數為法除之得賤物數或以賤價乗總物數與總價數相減餘以價較數為法除之得貴物數假如米每石價二兩麥每石價一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各幾何法以米價乗總石數得八十減總價得六以米麥價較五分兩之二為法除之得一十五是麥石數餘為米石數或先求米石數亦可

又如上酒每斗價錢三百次酒每斗價二百二十今欲襍和二酒立價二百五十問一斗内上酒幾何次酒幾何法以上酒價減立價餘五十以上次價較八十為法除之得八分斗之五為次酒餘八分斗之三為上酒也或以次酒價減立價算之先得上酒數亦同

匿價差分　假如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾比羅每匹多六錢羅比絹每匹多八錢問三物各價幾何法以羅二百匹乗羅絹價較得一百六十兩以綾一百匹乗綾羅羅絹二價較得一百四十兩并之得三百兩以減總價得五百兩以總匹數五百除之得一兩為絹每匹價以次推得綾羅價或以羅二百匹乗綾羅價較得一百二十兩以絹二百匹乗綾羅羅絹二價較得二百八十兩并之得四百兩以并總價得一千二百兩以總匹數五百除之得二兩四錢為綾每匹價又或先求羅價亦可又如米十四石麥十八石兩總價適等但云米每石價多於麥三錢六分問二物各價幾何法以米麥石數較四除價較得九分以麥數十八乗之得米每石價以米數十四乗之得麥每石價

又如金九塊銀十一塊其總重適等交換一塊則金輕十三兩問金銀各塊重法以輕重較十三兩折半得六兩五錢以金銀塊數較二除之得三兩二錢五分以銀數十一乗之得金每塊重以金數九乗之得銀每塊重〈此與上米麥例同惟折半不同耳葢輕重交換較二實止較一故須折也〉

襍差分法　假如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各幾隻各總載兵幾何

一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰〉

二率　一十二〈三隻四隻相乗船數為大小船各衰〉

三率　四千三百五十〈總兵數〉

四率　一十八〈大小船各數〉

次求大小船各總載兵數

一率　三　四

二率　五百三百

三率　一十八　一十八

四率　三千〈大船總載兵數〉　一千三百五十〈小船總載兵數〉右例亦可先求大小船各總載兵數

一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰〉

二率　四千三百五十〈總兵數〉

三率　二千〈四隻互乗五百名為大船兵衰〉　九百〈三隻互乗三百名為小船兵衰〉

四率　三千一千三百五十

次求大小船各數

一率　五百三百

二率　三　四

三率　三千一千三百五十

四率　一十八　一十八

又如出兵左右營兵數相等左營用大船每三隻載五百名右營用小船每四隻載三百名共用船一百七十四隻問左右營兵各幾何各總用船幾隻一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得船數約為二十九〉二率　一十五萬〈五百三百相乗兵數約為一千五百　以百為通數〉

三率　一百七十四〈總船數〉

四率　九千〈左右營各兵數〉

次求各總用船數

一率　五百　三百

二率　三四

三率　九千　九千

四率　五十四〈左營用大船數〉　一百二十〈右營用小船數〉

右例亦可先求大小船各總數

一率　二千九百〈三隻五百四隻三百互乗并得船數為船總衰約為二十九〉二率　一百七十四〈總船數〉

三率　九百〈三百互乗三隻為大船衰約為九〉　二千〈五百互乘四隻為小船衰約為二十〉

四率　五十四一百二十

次求各總載兵數

一率　三四

二率　五百　三百

三率　五十四一百二十

四率　九千　九千

又如犒師每二十四名給牛一頭每五名給羊一頭共用牛羊一千七百四十頭問兵幾何牛羊各幾何一率　二十九〈二十四名一頭五名一頭互乗并得牛羊數〉

二率　一百二十〈二十四名五名相乗兵數〉

三率　一千七百四十〈牛羊總數〉

四率　七千二百〈兵數〉

次求牛羊各總數

一率　二十四　五

二率　一　一

三率　七千二百七千二百

四率　三百〈牛數〉一千四百四十〈羊數〉

右例初測第一率不必互乗直以五與二十四并得二十九再測不必列第二率直以二十四與五除兵數即得牛與羊各總數而立法必如是者葢此例與前二例本同一法若從簡省乃似别為一法而學者反眩惑也

右例亦可先求牛羊各數

一率　二十九〈如前互乗并得牛羊數為牛羊總衰〉

二率　一千七百四十〈牛羊總數〉

三率　五〈五名互乗一頭為牛衰〉二十四〈二十四名互乗一頭為羊衰〉

四率　三百一千四百四十

次求兵數如前二例不復贅　又按右例謂兵既給牛又給羊者不然則給牛之兵與給羊之兵數等者若兩營兵一給牛一給羊牛羊數等而兩營兵數不等乃舉兩營兵總數問兩營各數及牛羊數〈依上以一千七百四十為兵總數餘並同〉則以二十九為一率以一為二率〈一與一相乗仍得一也〉以一千七百四十為三率求得六十為四率為牛羊各數又或先求兩營兵各數則以二十九為兵總衰為一率一千七百四十為二率二十四為給牛兵衰五為給羊兵衰為三率求得一千四百四十與三百為四率為給牛與給羊兵各數也㕘觀前諸例其法自備不復詳列

又如賞軍毎馬兵五名給紬三匹毎歩兵四名給布六匹總計馬歩兵共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩兵各幾何紬布各幾何此與前例不同葢馬兵與步兵數既不等紬與布數又不等也法以馬兵五名紬三匹歩兵四名布六匹互乗得數相減餘一十八為法别以馬兵五名紬三匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘二萬零七百以法除之得一千一百五十為步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵總四千六百名以布六匹乗之得布總六千九百匹其餘則馬兵及紬總數也或以步兵四名布六匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘一萬二千六百以法除之得七百為馬兵及紬衰乃以馬兵五名乗之得馬兵總三千五百名以紬三匹乗之得紬總二千一百匹其餘則步兵及布總數

又如大船四櫓四槳小船二櫓八槳今但見總作櫓一百張槳二百零八張問大小船各幾何法以四櫓四槳二櫓八槳互乗得數相減餘二十四為法别以大船四櫓四槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘四百三十二以法除之得一十八為小船數或以小船二櫓八槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘三百八十四以法除之得一十六為大船數右例與前賞馬步兵紬布例同前馬兵及紬衰步兵及布衰在此即大小船各數也〈右一條新訂〉

又如漏壺一具上有渇烏注水三時而滿下有天池洩水八時而盡今且注且洩問幾時可滿一壺〈法先求一時所注所洩之數〉

一率　三時八時

二率　一壺一壺

三率　一時一時

四率　三分壺之一〈注〉八分壺之一〈洩〉

次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求全壺滿時

一率　二十四分壺之五

二率　一時

三率　一壺

四率　四時又五分時之四

又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿幾何法先求一時所注所洩之數置率如前次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求五時又三分時之一所注之數

一率　一時

二率　二十四分壺之五

三率　五時又三分時之一

四率　一壺又九分壺之一

又如漏壺一具下開三孔洩水大孔四時盡一壺次六時而盡又次十二時而盡若三孔俱開則一壺須幾時盡法以三孔一時所洩之數并而計之知一時泄二分壺之一則二時盡一壺

一率　四時　六時　十二時

二率　一壺

三率　一時

四率　〈四分壺六分壺十二分之一　之一　壺之一〉

右例或以最小孔十二時為主求餘二孔所注之數乃并而計之知十二時盡幾壺則知幾時盡一壺〈或以中孔六時為主亦同〉

一率　四時　六時

二率　一壺

三率　十二時

四率　三壺　二壺

又如甲乙銀各不知數取乙九兩與甲即甲倍多於乙取甲七兩與乙則甲乙正等問各幾何法以乙與甲九兩甲與乙七兩并之得十六兩倍之得三十二兩是倍多之數即以三十二兩為乙衰幷未與甲九兩得乙數四十一兩以六十四兩為甲衰減未得乙九兩得甲數五十五兩〈右一條新訂〉

又如甲乙銀不知數取乙四兩與甲即甲多於乙二之一乙二而甲三也取甲七兩與乙則甲乙等問各幾何法如前并而倍之得二十二兩是二之一多數即以四十四兩為乙衰六十六兩為甲衰依前求得乙數四十八甲數六十二〈右一條新訂〉

又如商販不知其母但云每度俱獲倍息〈母一得子亦一〉即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母幾何凡倍上加倍者率三倍而一得八〈一兩三倍之成八兩也四倍則一得十六餘準此推之〉法以八除三百得三十七兩五錢以減三百得二百六十二兩五錢即原母數〈若四度而盡者即以十六除而減之〉

按右例立法之意乍閲之或未解葢原母倘係三百則每度用其倍息三度後仍存三百矣何得子母俱盡須知三倍後之三百其母為三十七兩五錢故於三百内減之而餘即原母數也一三倍而成八故用八除三百得母三十七兩五錢猶之三度折半爾〈右一條新訂〉

自貴賤差分至此諸例亦可以借徵法求之别見數條於後

又如黄金百斤製一鑪既成慮匠人盜金和銀銷毁驗之則損工費乃以器貯水令滿已知水幾斤即以純金百斤入器内溢出水六十斤加水令滿復以銀百斤入之溢水九十斤再貯滿水却以鑪入之溢水六十五斤問和銀及實金幾何法以金銀溢水之較三十斤以百斤除之得每斤溢水之較十分斤之三為法以除鑪與金溢水之較五斤得和銀數一十六斤又三分斤之二以除鑪與銀溢水之較二十五斤得實金數八十三斤又三分斤之一〈補貴賤差分第三條〉又如犒軍每八名給豕一頭每六名給羊一頭每三名給兔一頭共用豕羊兔一千一百二十五頭問兵幾何豕羊兔各幾何法以八名六名相乗為兔衰八名三名相乗為羊衰六名三名相乗為豕衰〈此所謂三維乗也或先求兵總衰而豕羊兔各以所給兵名數除之亦同〉并之得九十為豕羊兔總衰為一率以八名六名三名累乗得一百四十四為兵總衰為二率豕羊兔總實為三率求得四率一千八百為兵總數豕羊兔各以所給兵名數除之得各數或以豕羊兔總衰為一率豕羊兔總實為二率豕羊兔各衰為三率即先得三物各數乃各以所給兵名數乗之得兵總數〈按此例亦謂兵既給豕又給羊兔者下例同〉又如賞軍每八名給紬五匹每六名給絹四匹每四名給布三匹共用紬絹布三千六百七十五匹問兵幾何紬絹布各幾何法以八名六名相乗再以三匹乗之為布衰八名四名相乗再以四匹乗之為絹衰六名四名相乗再以五匹乗之為紬衰〈或先求兵總衰而紬絹布各以匹數乗之以所給兵數除之亦同〉并之得三百九十二為紬絹布總衰八名六名四名累乗得一百九十二為兵總衰如前法求之得兵總數一千八百〈右二例與零分章并分法相似〉按此例與前例本同一法前例豕羊兔俱以一頭立算故不須以頭數與維乗數再相乗耳但今算家相𫝊僅知有前例而無後例則法有所窮故特出此條其實前例亦暗寓頭數一回乗也〈補襍差分第六第七條　右一條新增〉

九章録要卷五