“一”这个数词表达对象的一种性质吗？

§29.欧几里得在《几何基础》第七卷一开始给出的定义中，似乎用“μον＇αs”这个词有时表示一个可数的对象，有时表示这样一个对象的一种性质，有时表示一这个数。人们可以把它们都翻译为“单位”，但这仅仅是因为这个词本身表现出这些不同的意谓。

施罗德 [1] 说：“每一个可数的东西都被称为[一个]单位。”问题是，为什么要先使这些东西置于单位这个概念之下，而不是简单地解释说数是事物的集合呢，这又会使我们回到前面的观点。当人们根据语言形式把“一”看作形容词，并像理解“聪明人”那样理解“一个城市”时，人们可能是想首先把事物称为单位，从中找到更进一步的确定。在这种情况下，一个单位就会是一个对象，这个对象会带有“一”这种性质，而且它与“一”的关系就类似于“一个聪明人”与“聪明的”这个形容词的关系。上面已经提出一些理由反对数是事物的一种性质，对此这里还要特别补充几点。首先引人注意的是，每个事物都会有这种性质。这样就会令人无法理解，究竟为什么还要给一个事物明确地附加这种性质。仅仅由于这种可能性，即某种东西不是聪明的，梭伦是聪明的这个断定才获得一种意义。当一个概念的外延增加时，它的内涵就减少；如果它的外延包罗万象，那么它的内涵必然会完全消失。很难想象，语言如何能够创造出一个对于进一步确定一个对象根本就不会有用的形容词来。

如果可以像理解“聪明人”那样理解“一个人”，那么就应该想到“一”也可以作为谓词使用，因而正如人们说“梭伦是聪明的”那样，人们也可以说“梭伦是一”或“梭伦是一个”。即使最后这个表达式也可以出现，孤零零的这个表达式本身也是无法理解的。例如，如果在其语境中可以补充“聪明人”，它可以意谓：梭伦是一个聪明人。但是孤立的“一”似乎不能作谓词。 [2] 在复数情况下这表现得还要清楚一些。人们可以把“梭伦是聪明的”和“泰勒斯是聪明的”合并为“梭伦和泰勒斯是聪明的”，但是却不能说“梭伦和泰勒斯是一”。这里，如果“一”就像“聪明的”一样既是梭伦的性质又是泰勒斯的性质，那么看不出来为什么不能说“梭伦和泰勒斯是一”。

§30.与此相关的是人们从未能给“一”这种性质下定义。当莱布尼兹 [3] 说“一是我们通过一种理解行为把握的东西”时，他是通过一本身来解释“一”的。但是难道我们不能通过一种理解行为把握多吗？莱布尼兹在同一个地方承认了这一点。鲍曼 [4] 以类似的方式说：“一是我们理解为一的东西”，他还说：“我们把我们规定为点或不再规定为分开的东西看作一；但是我们也可以把外界直觉的每个一，无论经验的还是纯粹的，都看作多。每个表象若与另一个表象界限分明，就是一；但是每个表象自身又可以被区分为多。”因此概念的所有客观界限变得模糊不清，一切依赖于我们的理解。我们再一次问：如果根据理解每个对象都能够是一，也能够不是一，那么为任何一个对象赋予“一”这种性质能有什么意义呢？一门恰恰是致力于最大的明确性和精确性的科学，怎么能够依据一个如此含糊的概念呢？

§31.尽管鲍曼 [5] 允许一这个概念依据内心直觉，但在上述引文处他却把不可分性和分界性称为标志。如果这合乎实际，那么可以期待甚至动物也能有某种关于单位的表象。一条狗在看见月亮时是不是确实也有一个关于我们用“一”这个词所标志的东西的、即便还是极不确定的表象呢？很难！然而它肯定区别了某些个别对象：另一条狗，它的主人，它玩耍的一块石头，这些东西在它看来肯定是界限分明的，自身存在的，不可分的，正如在我们看来一样。尽管它会察觉一种区别：必须防御许多条狗的攻击还是仅防御一条狗的攻击，但是这被密尔称为物理的区别。特别重要的是，关于我们以“一”这个词表达的那种共性，譬如在它遭到一条更大的狗咬和它追踪一只猫这两种情况的共性，它是不是有一种意识，即使是极其模糊的意识，我认为这是难以想象的。我由此推论，正像洛克 [6] 认为的那样，单位这个观念不是通过外在的每个客体和内在的每个观念提供给理智，而是由于使我们与动物区别开来的这种更高的精神力量才被我们认识的。这样，动物和我们一样可以感到的不可分性和分界性这样的事物属性，就不可能是我们概念中本质的东西。

§32.然而人们仍然可以猜到某种联系。语言从“一”引申出“一体的”，这时语言就表明这种联系。某种东西本身的区别比起它周围环境的区别变得越不重要，它的内在联系越是超过它与周围环境的联系，就越适合于把这种东西理解为特殊的对象。因此“一体的”指一种性质，这种性质使人们在理解中把某种东西与周围环境分开，并且考虑这种东西本身。如果“uni”这个法文词意谓“平的”、“平坦的”，那么对这个词也应这样解释。在谈论一个国家的政治统一（单位），一件艺术作品的整体（单位）时，人们也以类似的方式使用“einheit”（单位）这个词。 [7] 但是在这种意义上，“ein-heit”与其说属于“一”，不如说属于“一体的”或“统一的”。因为，如果人们说地球有一个卫星，那么人们并不是要以此把这个卫星解释为一个界限分明的、自身存在的、不可分割的卫星；实际上，人们这样说是要表达出有别于与金星、火星或木星一起出现的那个东西。就分界性和不可分性来说，木星的卫星也许可以与我们的卫星相比，在这种意义上，它们也是统一的。

§33.不可分性被一些著作家提高成为不可分性。科普（g.köpp） [8] 把每个被认为是不可分解的和自身存在的，感官可感觉或不是感官可感觉的东西称为个别的东西，把可数的个别的东西称为一，这里“一”显然是在“单位”的意义上使用的。鲍曼以我们可以把外在事物任意看作多为依据论证他的观点：外在事物不表现为严格的单位，这时，他也把不可分解性冒充为严格单位的一种标志。通过把内在联系提高成为绝对的，人们显然想获得一种不依赖于任意理解的单位的标志。这种努力失败了，因为在这样的情况下几乎留不下任何可称之为单位的可数的东西。因此，随着人们不是提出不可分解性作标志，而是提出被认为不可分解的东西作标志，人们立即又开始后退。结果人们又回到动摇不定的理解。那么把事物看作与实际上不同究竟会得到什么好处吗？恰恰相反！从错误的假定能够产生错误的推论。但是如果人们不想从不可分解性推出任何东西，它还有什么用处呢？如果人们能够放弃概念的严格性而无损于任何东西，甚至必须要放弃它，那么这种严格性还有什么用处呢？但是也许人们只是不应该考虑可分解性。好像由于没有思维，竟能够达到某种东西！但是有一些情况，在这些情况下，人们根本不可能避免思考可分解性，在这些情况下，一个推理甚至基于单位的复合构成，譬如在下面这个习题：一天有24小时，3天有多少小时？

* * *

[1] 《算术和代数课本》，第5页。

[2] 出现一些似乎与此矛盾的用法；但是如果更仔细地考虑，人们就会发现，应该补充一个概念词，或者不把“一”用作数词，应该断定的是单位性而不是单一性。

[3] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第2页。

[4] 同上书，第2卷，第669页。

[5] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第669页。

[6] 同上书，第1卷，第409页。

[7] 关于“单位”这个词的历史，参见欧克恩的《哲学术语历史》（eucken,geschichte der philosophischen terminologie.s.122-123,s.136，s.220）。

[8] 科普：《小学算术》（schularithmetik,eisenbach,1867,s.5,u.6）。

单位是否彼此相等？

§34.因此各种解释“一”这种性质的企图都没有成功，而且我们大概必须放弃这样的观点：在把事物表示为单位时，必须有进一步的规定。我们又回到我们的问题：如果“单位”只是事物的另一个名字，如果所有事物都是单位或者可以被理解为单位，那么为什么称事物为单位呢？施罗德 [9] 提出归于计数物体的相等作为理由。首先看不出为什么“事物”和“对象”不能同样清楚地表示这一点。然后还有这样的问题，为什么把相等归于计数对象？是只把相等归于计数对象，还是对象真是相等的？无论如何绝没有两个对象是完全相等的。另一方面，人们也许几乎总能找出两个对象一致的方面。因此，如果我们不愿违背真而把超出适合事物的相等归于事物，我们就又回到任意的理解。实际上，许多著作家毫无保留地把单位称为相等的。霍布斯 [10] 说：“绝对地说，在数学中，数自身假设了那些它们借以形成的相等的单位。”休谟 [11] 认为量和数的组成部分是完全类似的。托迈 [12] 称一个集合的个体为单位，他说：“单位彼此是相等的。”人们可以同样有理由或者更正确地说：“集合的个体彼此是不同的。”那么这种所谓的相等对于数来说应该意谓什么呢？借以区别事物的性质，对于事物的数来说是某种无关紧要和陌生的东西。因此人们要避开它们。但是以这种方式无法做到这一点。如果人们像托迈要求的那样，“从一个实物集的个体的独特性进行抽象”，或者“在考虑分离的事物时不看借以区别事物的标志”，那么正像利普希兹认为的那样，没有留下“被考虑事物的数这个概念”，相反，人们得到一个普遍概念，考虑的那些事物就处于这个概念之下。这些事物并不因此丧失任何具有特殊性的东西。例如，如果我在考虑一只白猫和一只黑猫时不看它们借以相互区别的性质，那么我就可能得到“猫”这个概念。即使我现在把这两只猫置于这个概念之下，譬如把它们称为单位，这只白猫依然还是白的，这只黑猫依然还是黑的。即便是我不考虑颜色或决心不从颜色差异进行任何推论，这两只猫也不会变得没有颜色，它们依然像以前那样是不同的。通过抽象得到的“猫”这个概念，尽管不再含有那些特殊性，但是正因为如此它才仅仅是一。

§35.以纯概念的处理方式不能使不同的事物相等；但是如果能够做到这一点，人们就不会再有一些事物，而是只有一个事物；因为正像笛卡尔 [13] 所说，事物的数——或更恰当地说，复数——是由事物的区别产生的。e.施罗德 [14] 正确地断言：“只有在存在着相互间可以得到清晰的区别（譬如在空间和时间上分离开并且相互间界限分明）的对象的地方，才能以理性的方式提出计数事物的要求。”实际上，过于相似，譬如一个栅栏的栏杆的过于相似，有时使计数变得很难。在这种意义上，w. s.杰芬斯 [15] 特别尖锐地指出：“数只是表示差异的另一个名字。严格的同一就是单位，随着差异产生多。”他还说（s.157）：“人们常说，单位就是单位，只要它们彼此是完全相等的；但是，尽管它们在一些方面可能是完全相等的，它们至少在一点上必然是不同的；否则多这个概念就不能应用于它们。如果三枚硬币完全相等，以致它们在相同的时间占据相同的空间，那么它们就不会是三枚硬币，而是一枚硬币。”

§36.但是不久就表明，关于单位是不同的这样一种观点遇到了新的困难。杰芬斯解释说：“一个单位（unit）是思维的任何一个对象，这个对象能够与在同一个问题中被看作是单位的其他每一个对象区别开。”这里，单位通过自身被解释，“能够与……其他每一个对象区别开”这个补充说明不含有任何进一步的规定，因为它是自明的。我们称这个对象为另一个对象，恰恰只是因为我们从一开始就能够区别它。杰芬斯继续说 [16] ：“当我写下5这个符号时，我实际是意谓

1+1+1+1+1，

而且完全清楚，这些单位各个相互不同。如果需要，我可以如下标志它们：

。”

如果它们是不同的，那么肯定需要以不同的方式表示它们；否则就会产生最严重的混淆。如果出现一的这个不同的位置其实应该意谓一种差异，那么一定会把这当作没有例外的规则，因为否则人们就会无法知道，1+1应该意谓2还是意谓1。在这种情况下，人们一定会抛弃1+1这个等式并且会陷入绝不能第二次表示相同事物的窘境。这显然不行。但是如果人们想给予不同事物以不同的符号，那么就看不出人们为什么在这些符号中还留有一种共同的成分，人们为什么不愿意抛弃

，

而写 a+b+c+d+e。

现在确实已经失去相等，而且对一定的相似性的说明也毫无用处。就这样，一在我们手中化为乌有；我们得到带有其一切特殊性的对象。

1′,1′,1……

这些符号生动地表达了下面这种窘境：我们必须有相等；因此必须有1；我们必须有差异；因此必须有小撇，不过遗憾的是，这些小撇又扬弃了相等。

§37.在其他著作家那里，我们遇到相同的困难。洛克 [17] 说：“通过重复一个单位这个观念并且把这个观念加到另一个单位上，这样我们就构成一个以‘二 ’这个词表示的集合观念。而且，谁能这样做并能继续做下去，在他关于一个数的最后一个集合观念上总是再加一，并且能给它一个名字，谁就能够计数。”莱布尼兹 [18] 把数定义为1加1加1，或定义为单位。黑塞（hesse） [19] 说：“如果人们关于代数中以符号1表达的这个单位能够形成一个表象，……那么人们也能考虑第二个有同等权利的单位以及其他这一类单位。第二个单位与第一个单位结合成为一个整体，产生了2这个数。”

这里应该注意“单位”和“一”这两个词的意谓的相互关系。莱布尼兹把单位理解为一个概念，一加一加一加一处于这个概念之下，正像他还说的那样：“一的抽象是单位。”洛克和黑塞似乎用单位和一意谓相同的东西。其实莱布尼兹也正是这样做的；因为当他把处于单位这个概念之下的个别对象都称为一时，他用这个词表示的不是个别对象，而是个别对象处其之下的概念。

§38.然而为了不使混乱蔓延，最好在单位和一之间保持严格的区别。人们说“一这个数”（“die zahl eins”）并且以这里的定冠词意谓科学研究的一个确定的唯一的对象。没有不同的数一，而是只有一个。我们以1得到一个专名，作为一个专名，它不能有复数，就像“腓特烈大帝”或“金这个化学元素”一样。人们写1没有笔画区别，这不是偶然的，也不是一种不精确的标记方式。对于

3-2＝1

这个等式,st.杰芬斯会重写为譬如： 。

但是，

的结果会是什么呢？无论如何不是1′。由此可见，根据他的观点，不仅会有不同的一，而且会有不同的二，如此等等；因为1′+1不能由 替代。人们由此清晰地看出，数不是事物的累积。如果想用不同的事物取代总是相同的一，那么即使是用十分相似的符号，也会取消算术；这些符号甚至不可能是毫无错误地相同的。然而人们不能假定，算术最根本需要的是一种有错误的书写。因此不可能把1看作是表示不同对象譬如冰岛、毕宿五、梭伦等等的符号。当人们考虑一个方程式有三个根，即2、5和4这种情况时，这种荒谬就变得最为明显。如果现在按照杰芬斯写出

表示3，在这种情况下，如果把1′、1′、 理解为单位，因而按照杰芬斯把它们理解为这里出现的思维的对象，那么在这里就会是1′意谓2，1′意谓5， 意谓4。那么写下 2+5+4

表示1′+1′+ ，难道不是更明白吗？ 复数仅对于概念词才是可能的。因此，如果人们谈到“（一些）单位（einheiten ）”，那么使用这个词就不能与“一”这个专名有相同的意谓，而是用它作为概念词。如果“单位”意谓“被计数的对象”，那么就不能把数定义为（一些）单位。如果人们把“单位”理解为包含一并且只包含一的概念，那么复数就没有意义，而且也不可能随莱布尼兹把数定义为单位或定义为1加1加1。如果像在《本生和教堂墓地》中那样使用“加” [20] ，那么1加1加1就不是3，而是1，就像金子加金子加金子绝不是不同于金子的东西。因此，必须把

1+1+1＝3

中的加法符号理解为与“加”不同的东西，“加”帮助人们表达一种汇集，一种“集合的观念”。 §39.因此我们面临着下面的困难：

如果我们想通过不同对象的结合而形成数，我们就得到一种包含着这样一些对象的聚集，这些对象恰恰带有使它们相互区别的性质；而且这并不是数。另一方面，如果我们想通过把相同的东西结合在一起而建立数，那么这总是汇合成为一，我们绝达不到多。

如果我们用1表示每个被计数对象，这就是错误的，因为不同的东西得到了相同的符号。如果我们为1加上区别的笔画，它对于算术就成了无法应用的。

“单位”这个词非常适合于掩盖这个困难；而且这是人们不喜欢“对象”和“事物”这些词而更喜欢它的——甚至还是无意识的——原因。人们首先把被计数事物称为单位，这里差异保持其合法地位；然后，联结、汇集、结合、添加或像人们愿意使用的其他说法，转变为算术加法这个概念，而“单位”这个概念词不知不觉地变成“一”这个专名。这样人们就有了相等。如果我在u这个字母后面添加一个n，并在n后面添加一个d，那么谁都很容易看出，这不是3这个数。但是如果我把u、n和d置于“单位”这个概念之下，然后不说“u和n和d”，而说“一个单位和一个单位再和一个单位”或“1和1和1”，那么人们以此很容易相信得到了3。困难通过“单位”这个词十分巧妙地隐蔽起来，以致知道这困难存在的人确实寥寥无几。

这里，密尔其实有权批评对语言的一种高超运用；因为这里的语言运用不是一种思维过程的外在现象，而只是这样一种过程的假象。这里人们实际上有一种印象，好像如果不同的东西仅仅由于被称为单位就变成相等的，那么毫无思想的词就被赋予了某种神秘的力量。

* * *

[1] 《算术和代数课本》，第5页。

[2] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第242页。

[3] 艾本达，第2卷，第568页。

[4] 《分析函数基础理论》，第1页。

[5] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第103页。

[6] 《算术和代数课本》，第3页。

[7] 《科学原理》（the principles of science,3d.ed.s.156）。

[8] 《科学原理》，第162页。

[9] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，410-411页。

[10] 同上书，第1卷，第3页。

[11] 《四个种》（vier species，s.2）。

[12] 德文“und”有“和”和“加”的意思。《本生和教堂墓地》中的“和”与“1加1加1”中的“加” 都是“und”，德文无区别，而中文要有不同的译法。——译者

克服这个困难的尝试

§40.现在我们考察几种解释，这些解释表现出人们试图克服这个困难，尽管人们在进行这些解释时并没有始终清楚地意识到这一目的。

人们可以首先借助时间和空间的性质。就其自身考虑，一个空间点与另一个空间点，一条直线与另一条直线，或者一个平面与另一个平面，是根本不能区别的，全等的立体、面积或线段相互之间是根本不能区别的。它们只有作为一种总体直觉的组成部分共同存在时，才能得到区别。因此在这里，似乎相等与可区别性结合起来，类似的情况也适合于时间。霍布斯 [21] 大概是由此认为，几乎不能想象，单位的相等竟不是通过连续统的划分而形成的。托迈 [22] 说：“如果人们想象空间中个体或单位的一个集合，并且连续数这些个体或单位，对此时间又是必要的，那么在抽象过程中，依然要留下这些单位在空间中的不同位置及在时间中不同的相继次序作为单位的区别标志。”

对于这样一种理解方式首先产生了以下异议：如果这样，可计数的东西就会仅限于空间的东西和时间的东西。莱布尼兹 [23] 就已经批驳了经院学家下面这种现点：数是由仅仅对连续统的划分而形成的，不能用于非物体的东西。鲍曼 [24] 强调不依赖于数和时间的性质。即使没有时间，单位这个概念也是可以想象的。杰芬斯 [25] 说：“三枚硬币就是三枚硬币，无论我们是一个接一个地数它们，还是同时考虑它们。在许多情况下，时间和空间都不是差异的理由，而只有质是差异的理由。我们可以把金子的重量、惯性和硬度理解为三种性质，尽管它们在时间和空间中任何一个也不在另一个之前，任何一个也不在另一个之后。进行区别的各种方法都能成为多的来源。”我要补充说：如果被计数的对象不是实际上一个跟着一个，而仅仅是一个跟着一个被计数，那么时间就不能是进行区别的理由。因为，为了能够一个接一个地计数它们，我们必须已经有用以区别的记号。时间只是计数的一种心理要求，与数这个概念却没有任何关系。如果人们允许以空间或时间点来表现非空间和非时间的对象，那么这对计数的解释也许能够有好处；但是从根本上说，这里预先假设了数概念可以应用于非空间和非时间的东西。

§41.但是，如果除了空间和时间记号以外，我们不考虑任何用以区别的记号，那么确实将达到把可区别性和相等结合起来的目的吗？不！我们一步也没有接近这个问题的解决。如果对象最终必须保持相互分离，那么对象之间或多或少的相似与问题就毫无关系。正像我在考虑几何学问题时不能把个别的点、线等等都称为a，我在这里同样不能都用1来表示它们；因为同在那里一样，这里也必须区别它们。只有就空间点自身而言，不考虑它们的空间关系，空间点彼此才是相等的。但是如果我把它们结合起来，我就必须依据它们在空间中的共同存在考虑它们，否则它们就会无可挽回地融合为一。点在整体上也许表现为任何一个星座式的形象或者以任何一种方式排列为一条直线，一些相等的线段也许以端点相接构成一个单一的线段，或者它们保持相互分离。以这种方式形成的图像对于同一个数可能是完全不同的。因此我们在这里可能也会有不同的五、六等等。时间点由或长或短、或同或异的间隔分离开。所有这些都是一些与数本身根本无关的关系。到处都混入了某种特殊的东西，数则因其普遍性而远远超越这些特殊的东西。甚至一个单一的时刻也有某种独特的东西，这个时刻以这种独特性譬如与另一个空间点区别开来，而在数概念中却不出现任何与此有关的东西。

§42.以一个普遍的序列概念替代空间和时间次序来寻求出路，也不能实现目的；因为序列中的位置不成为区别对象的根据，这是由于这些对象必然已经根据某些标准得到区别，才能在一个序列中依次排列。这样一种次序总是以对象之间的关系为前提，无论是空间关系、时间关系、逻辑关系或音程关系，还是其他这样一些关系，它们可以引导人们从一个对象到另一个对象，并必然与这些对象的区别联系在一起。

当汉克尔 [26] 要求1次、2次、3次考虑或提出一个物体时，似乎也是企图在被计数对象上将可区别性与相等结合起来。但是人们也立即看出，这并不是成功的尝试。因为同一个对象的这些表象或直觉若是不融合为一，必然有这样或那样的不同。我也认为，人们有理由谈论4500万德国人，而不用先4500万次考虑或提出普通的德国人；这可能是很麻烦的事情。

§43.也许是为了避免当人们随杰芬斯一起使每个符号1都意谓被计数对象中的一个时产生的这些困难，e.施罗德要以1仅描述一个对象。结果，他只解释了数符号，而没有解释数。他是这样说的 [27] ：“现在为了得到一个能够表达存在多少那样的单位 [28] 的符号，人们按顺序一次注意它们之中的一个，并且用一划‘1’（一个一）来描述它；人们把这个一一个接一个地排一行，通过+（加）这个符号把它们相互联结起来，因为若不这样，根据数的习惯标记方式会把譬如111读作一百一十一。人们以这种方式得到

1+1+1+1+1

这样的符号，人们可以通过以下说法描述这个复合构成： ‘一个自然数是诸一之和’。”

由此看出，对于施罗德来说，数是一个符号。他以“存在多少那样的单位”这几个字把符号表达的东西、即我至此一直称为数的东西，假设为已知的。他甚至把“一”这个词理解为1这个符号，而不是它的意谓。“+”这个符号对他来说首先只起没有自己的内涵的外在联结手段的作用；直到后来加法才得到解释。他本来也许可以更简要地说：人们有多少被计数的对象，就并列地写多少符号1，并且用“+”这个符号把它们结合起来。不写下任何东西，将会表示零。

§44.为了不把事物的区别记号一并收入到数中来，杰芬斯 [29] 说：

“关于数的抽象，现在将不难形成一种清晰的表象。它就在于抽象掉产生多的差异特征，同时只保留差异的存在。当我谈论三个男人时，我不必立即逐个说明能够使其中每个人与其他两个人区别开来的标记。如果他们真是三个男人而不是同一个男人，这些特征就必然存在，而且当我把它们作为多个人谈论时，我以此也陈述了必要差异的存在。因此，无名数是差异的空的形式。”

应该如何理解这一点？要么可以在把区别事物的性质结合成为一个整体之前抽象掉它们；要么可以先构造一个整体，然后抽象掉这种差异。以第一种方式我们根本不会达到对事物的区别，因而也不能确定差异的存在；杰芬斯想的似乎是第二种方式。但是我不相信，我们以这种方式会获得10000这个数，因为我们没有能力同时把握这么多差异并且确定它们的存在；因为，如果它们会相继出现，那么数就会变得没完没了。尽管我们在时间中计数；但是通过时间我们却得不到数，我们只能确定它。此外，对抽象方式进行说明并不是定义。

应该把“差异的空的形式”理解为什么呢？譬如是理解为

“a是与b不同的”

（这里a和b依然是不确定的）这样一个句子吗？这个句子会是譬如2这个数吗？

“地球有两极”

这个句子与

“北极与南极是不同的”

这个句子具有相同的意谓吗？显然不是。第二个句子可以没有第一个句子而存在，第一个句子也可以没有第二个句子而存在。因此对于1000这个数，我们就会有

这样的表达差异的句子。 杰芬斯的论述尤其不适合0和1。例如，为了从月亮达到1这个数，人们实际上应该抽象掉什么呢？通过抽象人们也许会得到下面这些概念：地球的伴星、一颗行星的伴星、自己不发光的天体、天体、物体、对象；但是在这个序列中不能出现1；因为它不是月亮可以处其之下的概念。在0的情况，人们根本就不能有抽象过程可由之出发的对象。0和1不是在2和3那种意义上的数，对此人们并不反对！数回答“多少？”这个问题。例如当人们问这颗行星有多少颗卫星时，人们可能回答说2或3，同样也可能回答说0或1，而这个问题的意义却不会变成其他样子。尽管0这个数有某种特殊的东西，1这个数也有某种特殊的东西，但是每个整数基本上都是如此；只不过数越大，越注意不到罢了。这里作出种类的区别，完全是任意的。不适合0或1的，对于数这个概念就不能是本质的。

最后，通过假定数的这种形成方式根本没有消除我们在考虑以

表示5时所遇到的困难。这种写法与杰芬斯关于构造数的抽象所说的完全一致；即上方的小撇表示存在一种差异，却没有说明它们的种类。但是正像我们看到的那样，依据杰芬斯的观点，仅这种差异的存在就足以产生不同的一、二、三，而这与算术的存在是完全不相容的。

* * *

[1] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第242页。

[2] 《分析函数的基础理论》（elementare theorie der analyt.functionen,s.1）。

[3] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第2页。

[4] 同上书，第668页。

[5] 《科学原理》（the principles of science,s.157）。

[6] 《复数系统理论》（theorie der complexen zahlensysteme,s.1）。

[7] 《算术和代数课本》（lehrbuch der arithmetik und algebra,s.5ff.）。

[8] 被计数的对象。

[9] 《科学原理》，第158页。

困难的解决

§45.现在让我们全面地看一下我们至此已经确定的东西和尚未得到回答的问题。

数不是以从事物抽象出颜色、重量、硬度的方式抽象出来的，它不是事物的这种性质意义上的性质。但是依然有一个问题：通过给出一个数，人们对什么作出一些陈述呢？

数不是物理的东西，但也不是主观的东西，不是表象。

数不是通过把一事物添加到另一事物上而形成的。即使在每次添加之后给予命名，也不会改变任何东西。

“多”、“集合”和“众多”这些表达由于不确定，因而不适合用来解释数。

关于一和单位，存在着这样一个问题：对于那种似乎混淆了一和多之间各种区别的任意理解，应该如何加以限制。

分界性、不可分性和不可分解性都不能用来作为我们以“一”这个词所表达的东西的标志。

如果把被计数的事物称作单位，那么“单位是相等的”这个无限制的断定就是错误的。单位在某些方面是相等的，这尽管正确，却没有价值。数若是变得大于1，被计数事物的差异甚至就是必然的。

因此看上去，我们必须赋予单位以两种矛盾的性质：相等和可区别性。

应该对一和单位作出区别。“一”这个词作为数学研究的一个对象的专名不能是复数。因此通过把许多一结合在一起而形成数是没有意义的。1+1=2中的加号不能意谓这样一种“结合”。

§46.为了说明这个问题，在一个表现出数的原初应用方式的判断的上下文中考虑数，将是十分有益的。在我看到同一个外界现象时，如果我能够同样真地说：“这是一片树”和“这是五棵树”，或者“这里有四个连”和“这里有500人”，那么这里发生变化的既不是个别的东西，也不是整体，即集合，而是我用的称谓。然而这仅仅表明是以一个概念替代了另一个概念。由此使我们想到下面这个事实作为对上一段第一个问题的回答：即数的给出包含着对一个概念的表达，这一点也许在0这个数的情况最清楚。如果我说“金星有0个卫星”，那么根本就不存在对之可作出某种陈述的卫星或卫星的集合；但是由此却赋予“金星的卫星”这个概念某种性质，即它不包含任何东西。如果我说：“皇帝的御车由四匹马拉”，我就把四这个数赋予“拉皇帝御车的马”这个概念。

人们可能会反对说，譬如像“德国臣民”这样的一个概念，尽管它的特征保持不变，但是如果在一个给出数的表达中说出了它的一种每年都要发生变化的性质，它就会得到这样一种性质。针对这一点，人们可以说，对象也可以改变它们的性质，这并不阻碍人们承认它们是同一的。但是这里对原因还可以进行更确切的说明。实际上，“德国臣民”这个概念含有时间这个变化因素，或者用数学方式表达，它是一个时间函数。对于“a是一个德国臣民”，人们可以说：“a属于德国”，而且这恰恰涉及现在时刻。因此这个概念本身已经有某种流动的东西。与此相反，适合“柏林时间1883年初的德国臣民”这个概念的永远是相同的数。

§47.数的给出表达了一些独立于我们理解的真实的东西，这种说法只能使那些认为概念是某种与表象相等的主观的东西的人感到奇怪。但是这种观点是错误的。例如，如果我们使物体这个概念下属于重物的概念，或者使鲸鱼这个概念下属于哺乳动物的概念，那么我们就以此判定了某种客观的东西。如果这些概念是主观的，那么一个概念下属于另一个概念这种概念之间的关系也就像表象之间的关系那样是主观的东西。乍一看，

“所有鲸鱼都是哺乳动物”

这个句子当然好像是关于动物的，而不是关于概念的；但是，如果人们问，所说的究竟是哪个动物，人们就不能指出任何唯一的动物。假定眼前有一条鲸鱼，那么这个句子对它依然没有断定任何东西。若是不加上“它是一条鲸鱼”这个句子，就不能从上面那个句子推论出，眼前这个动物是一个哺乳动物。因为这个句子不包含任何与此有关的东西。实际上，若是不以任何方式表示或称谓一个对象，就不可能谈论它。但是“鲸鱼”这个词并不称谓任何个别动物。如果人们回答说，这里说的绝不是一个个别的确定的对象，而可能是一个不确定的对象，那么我就认为，“不确定的对象”不过是“概念”的另一个表达，而且是一个很差的、充满矛盾的表达。尽管只有通过观察个别的动物才能证实我们这个句子，但是这对于它的内容不证明任何东西。它论及什么，这个问题是不是真的，或者说，我们出于什么理由把它看作真的，都是无所谓的。这里如果概念是某种客观的东西，那么关于它的表达也就可以包含某种事实的东西。 §48.前面在几个例子中形成一种假象：不同的数属于同一个事物。应该这样解释这种假象；那里是把一些对象当作数的承载者。只要我们指定真正的承载者，即概念的合法地位，就会表明数是相互排斥的，如同颜色在其范围相互排斥一样。

现在我们还看到，人们是如何想通过事物的抽象来获得数的。由此得到的是概念，然后在这概念上发现了数。因此实际上抽象常常出现在构造一个有关数的判断之前。这是一种混淆，就好像人们想说：用桁架加木板墙和谷草顶建造一座住宅，而且烟囱不密封，这样就得到易燃危险性这个概念。

概念的聚集力远远胜过综合统觉的结合力。以这种结合力不可能把德国的臣民结合成为一个整体；但是人们肯定可以使德国的臣民处于“德国臣民”这个概念之下并且计数他们。

现在，数的广泛可应用性也变得可以解释了。无论是对于外在现象还是对于内在现象，无论是对于时空的东西还是对于非时空的东西，如何能够作出相同的判定，实际上是莫明其妙的。这种情况在给出数时也绝不出现。数被赋予的仅仅是那些把外在和内在的东西、时空和非时空的东西置于其下的概念。

§49.我们在斯宾诺莎的著作中发现了对我们这个观点的一个证明。他说 [30] ：“我回答说：仅考虑到一事物的存在，而不考虑它的本质，就把它称为一或单一的；因为只有把事物归于共同的尺度下之后我们才能借助于数想到事物。例如，一个人手里拿着一枚古罗马时代的银币和一枚帝俄时代的金币，如果他不能给予这枚古罗马时代的银币和这枚帝俄时代的金币相同的名字，即硬币或钱币，他就不会想到二这个数。如果他能给它们以相同的名字，即硬币或钱币，他就可以肯定他有两枚硬币或钱币；因为他用钱币这个名字不仅表示这枚古罗马时代的银币，也表示这枚帝俄时代的金币。”当他继续说“由此可以看出，把一个事物称为一或单一的，必须首先要想到另一个与它（正像所说的那样）一致的事物”时，当他认为人们不能在真正的意义上把上帝叫作一或单一的（因为我们对于它的本质不能建立任何抽象的概念）时，他错误地以为，只有通过直接对许多事物进行抽象才能获得概念。正相反，人们从一些标记出发也可以达到概念；而在这种情况，就可能没有任何东西在概念下。如果不出现这种情况，就绝不能否定存在，因而对存在的肯定也会失去其内容。

§50.施罗德 [31] 强调说，如果能够谈论一事物的频繁性，那么这事物的名字必然总是一个属名，一个普遍的概念词（notio communis）；“只要人们完整地考虑一个对象——包括所有它的性质和关系，那么这个对象就会是世界上唯一的，再不会有与它相同的东西。这个对象的名字后来将带有一个专名（nomen proprium）的特征，而且这个对象不能被看作是重复出现的。但这不是仅适合于具体的对象，而是普遍地适合每个事物，尽管其表象也是通过抽象而形成的，假如只有这种表象包含着足以使有关事物成为一个完全确定事物的因素……。后者”（成为被计数的对象）“对于一事物只有在以下范围才是可能的：人们不考虑或者抽象掉它的一些使自身与所有其他事物相区别的特有特征和关系，通过这样一种方法，这个事物的名字才成为一个可应用于许多事物的概念。”

§51.在这段说明中，正确的东西被似是而非和使人误入歧途的表达掩盖起来，因此需要进行清理和筛选。首先，把一个普遍的概念词叫作一事物的名字是不合适的。由此形成一种假象，好像数是一事物的性质。一个普遍的概念词恰恰表达一个概念。只有带定冠词或指示代词，它才能被看作是一事物的专名，但是因而它再不能被看作概念词。一事物的名字是一个专名。一个对象不会重复出现，而是许多对象处于一个概念之下。一个概念不是仅通过对处于它之下的事物的抽象而获得的，在批评斯宾诺莎时就已经说明了这一点。这里我要补充说，一个概念不会由于以下原因而不再是概念：处于它之下的只有唯一一个事物，因而这个事物完全是由它确定的。1这个数恰恰属于一个这样的概念（譬如地球的伴星），它与2和3是同样意义上的数。对于一个概念人们总是要问，是否有某种东西处于它之下，可能是什么东西处于它之下。对于专名，这样的问题是毫无意义的。人们不应该受到这样的欺骗：语言把一个专名，譬如mond，作为一个概念词使用，以及反过来，将一个概念词作为专名使用 [32] ；尽管如此，区别依然存在。只要一个词在使用时带不定冠词或以复数形式不带冠词，它就是概念词。

§52.在德语语言使用中可以发现对把数赋予概念这种看法的进一步证明，人们说十人（zehn mann），四马克（vier mark），三桶（酒）（drei fass）。这里，单数的用法可能是表明，考虑的是概念，不是事物。这种表达方式的优越性，尤其在0这个数表现出来。可是在其他地方，语言把数赋予对象，而不赋予概念：人们说“包数”，就像人们说“包重”一样。因此人们表面上在谈论对象，而实际上是想断定一个概念的某种东西。这种语言用法令人产生误解。“四（匹）纯种马”这个表达给人一种假象，好像正如“纯种”进一步确定了“马”这个概念一样，“四（匹）”进一步确定了“纯种马”这个概念。然而只有“纯种”是一个这样的标志；我们通过“四（匹）”这个词断定了一个概念的某种东西。

§53.我当然不是把由一个概念断定的性质理解为构成概念的标志。这些标志是处于概念之下的事物的性质，而不是概念的性质。因此“直角的”不是“直角三角形”这个概念的性质；但是，“不存在直角的、直线的、等边的三角形”这个句子表达了“直角的、直线的、等边的三角形”这个概念的一种性质；零这个数被赋予这个概念。

在这一方面，存在与数有相似性。确实对存在的肯定不过是对零这个数的否定。因为存在是概念的性质，所以对上帝存在的本体论证明没有达到它的目的。但是，存在不是“上帝”这个概念的特征，唯一性也同样不是“上帝”这个概念的特征。唯一性不能用来定义这个概念，正像人们在盖房子时也不能把房子的坚固性、宽敞性、居住性和石头、灰浆、方木料一起使用。然而，人们不能从某种东西是一个概念的性质普遍地推论出：从这个概念，即从它的标记无法得出这种东西。在有些情况下这是可能的，正像有时可以从建筑石料的种类推论一座建筑物的耐用性一样。因此，若是声称绝不能从一个概念的标记推论出唯一性或存在，则会有些过分；只是这绝不能像人们把一个概念的标记作为一种性质赋予一个处于其下的对象那样直接完成。

否认存在和唯一性曾经可以是概念的标记，这也是错误的。只不过它们不是人们想依照语言赋予这些性质的那些概念的标记。例如，如果把所有其下只有一个对象的概念汇集在一个概念之下，那么唯一性就是这个概念的标记。例如，“地球卫星”这个概念将处于它之下，而不是所谓的天体将会处于它之下。因此人们能够使一个概念处于一个更高的概念，也可以说是一个二阶概念之下。但是不能把这种关系与下属关系混淆起来。

§54.现在可以对单位做出令人满意的解释。施罗德在上面提到的他那本教科书第7页上说：“每个属名或概念都被称为是以给定方式构造起来的数的名称，并且构成其单位的本质。”

实际上，把一个概念称为与属于它的数有关的单位，难道不是最适宜的吗？这样我们就能够为关于单位的这个断定——它脱离周围环境并且是不可分的——赢得一种意义。因为被赋予数的概念一般以明确的方式划清处于其下的东西。“数（zahl）这个词的字母”这个概念划清了z和a，划清了a和h，等等。“数这个词的音节”这个概念把这个词当作一个整体并且在下面的意义上当作不可分的东西加以强调：部分不再处于“数这个词的音节”这个概念之下。并非所有概念都具有这种性质。例如，我们可以用各种各样的方法把处于“红”这个概念之下的东西分开，而不使这些部分不再处于它之下。任何有穷数都不属于这样的概念。因此关于单位的分界性和不可分性的句子可以如下表述：

与一个有穷数有关的单位只能是这样一个概念，它把处于它之下的东西明确地分离开，而且不允许任何任意的划分。

但是人们看到，不可分性在这里有一种特殊的意谓。

现在我们很容易回答应该如何化解单位的相等和不可区分性这个问题。这里“单位”这个词是在双重意义上使用的。在上面解释的这个词的意义上，单位是相等的，在“木星有四颗卫星”这个句子中，单位是“木星的卫星”。处于这个概念之下的，不仅有i，也有ii，也有iii，还有iv。因而人们可以说：i与之相关的单位和ii与之相关的单位是相等的，如此等等。这里我们得到相等。但是如果人们断定单位的不可区分性，那么人们以此是意谓被计数事物的不可区分性。

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[1] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第169页。

[2] 《算术和代数课本》，第6页。

[3] 德文“mond”不加定冠词，意为“卫星”，加上定冠词“der mond”，意为“月亮”。——译者