1. 分类应当是什么
当我们无论何时考虑由无限数目的物体组成的集合时，通常的逻辑规则还能应用吗？乍看起来，这是一个尚未被询问过的问题，可是它却引导我们去考查，专门研究无限的数学家何时会突然遇到某些表面上的矛盾。这些矛盾是出自逻辑规则被误用的事实呢，还是出自它们在它们的适用领域之外、即在仅由有限数目的物体形成的集合之外不再有效的事实呢？我认为，就这个课题讲几句话，给我的读者提供一个关于这个问题所引起的争论的观念，并不是没有意义的。
形式逻辑无非是研究对所有分类都是共同的那些性质；它告诉我们，是同一个团的成员的两个士兵正是由于这个事实而属于同一个旅，从而属于同一个师；三段论法的整个理论被归结为这一点。可是，这种逻辑规则是有效的必要条件是什么呢？它就是，所采用的分类是不可改变的。我们了解到两个士兵是同一个团的成员，我们想要得出结论说，他们是同一个旅的成员；我们有权利这样做，倘若在进行我们的推理所消磨的时间内，两人之一没有从一个团调到另一个团的话。
所揭示出的悖论完全来源于忘记了这个十分简单的条件：分类依赖的基础并非不可改变，它并不能够如此；预防办法就是着手宣布它是不可改变的；但是，这种预防办法是不充分的。有必要提出它事实上是不可改变的，但有一些场合，在其中这是不可能的。
请容许我再次提及罗素（russell）先生引用的例子。毕竟，他提到这个例子是要驳倒我。他想证明，困难并不是来自实无限的引入，因为即使在只考虑有限数时也能够遇到它们。我以后将返回到这一点，但这不是现在要考虑的课题，我之所以选中这个例子，是因为它是有趣的，它使我刚才指出的事实显得更为重要。
用具有不到一百个法语单词组成的语句不能定义的最小整数是什么呢？而且，这个数存在吗？
是的；因为用一百个法语单词，我们只能构造有限数目的语句，由于在法语字典中，单词的数目是有限的。在这些语句中，将存在一些没有意义的或不定义任何整数的语句。但是，这些语句中的每一个至多能够定义一个单个的整数。因此，能够以这种方式定义的整数的数目是有限的；所以，肯定存在着一些整数不能这样来定义；在这些整数当中，肯定有一个比所有其他整数都小。
否；因为要是这个整数存在，它的存在便意味着矛盾，由于它可以用不到一百个法语单词的语句来定义；就是说，可以用断言它不能被定义的那个语句来定义。
这种推理停留在把整数分为两个范畴的分类上：一个范畴能用不到一百个法语单词的语句来定义，另一个范畴则不能。在询问这个问题时，我们暗中宣布，这种分类是不可改变的，我们只有在它明确地建立起来之后才能开始我们的推理。可是，这是不可能的。只有当我们审查了所有由不到一百个单词组成的语句时，只有当我们排除掉那些没有意义的语句时，只有当我们明确地确定了具有意义的语句的意义时，分类才能够是决定性的。但是，在这些语句中，存在着一些只有在分类固定之后才能够具有意义的语句；它们是涉及到分类本身的语句。总而言之，数的分类只有在语句的选择完成之后才能够固定下来，而这种选择也只有在分类被确定之后才能够完成，以至于无论分类还是选择永远也不能终止下来。
当涉及无限的集合时，甚至会更频繁地遇到这些困难。让我们设想，需要对这些集合之一的元素进行分类，分类的原则依赖于被分类的元素与整个集合的某种关系。这样的分类在任何时候能够被认为是确定的吗？不存在实无限，当我们说无限的集合时，我们理解的是我们能够把新元素不停地添加到其中的集合（类似于为等待新订户，永远没完没了的订购单）。因为分类不能彻底地完成，除非在订购单结束之时；每当新元素添加进集合中，这个集合都要被修正；因此，有可能修正这个集合和已被分类的元素的关系；由于这些元素被放置在这个或那个抽屉内与这种关系一致，因而能够发生下述情况：一旦这种关系被修正，这些元素将不再处于合适的抽屉内，而且必须移动它们。只要引入新元素，就不得不担心，这项工作可能全都得重新开始；因为没有新元素被引入的事从来也不会发生；因此分类将永远也不会被固定。
我们由此在适用于无限集合的元素的两种分类之间作出区分：断言的（predicative）分类，它不会由于新元素的引入而扰动；非断言的（non-predicative）分类，在这种分类中，新元素的引入必然要引起不断的修正。
例如，让我们假定，我们按照整数的大小将它分为两族。我们不考虑一个数与其他整数集的关系，就能够分辨出这个数比10大还是比10小。大概，在头100个数被确定之后，我们就知道，在它们之中哪些小于10、哪些大于10。然后，当我们引入101这个数时，或者引入任何一个接着它的数时，在头100个整数内，小于10的那些数将依然小于10，大于10的那些数将依然大于10；分类是断言的。
相反地，让我们设想，我们希望把空间中的点进行分类，我们在能够用有限数目的单词来定义的点和不能用有限数目单词来定义的点之间作出区分。在可能的语句中，将存在着一些涉及到全部集合，也就是涉及到空间或空间某些部分的语句。当我们在空间中引入新点后，这些语句将改变意义，它们将不再定义同一个点；或者，它们将失去一切意义；要不然，它们将获得意义，虽然它们起先没有任何意义。于是，不能定义的点将变得能够定义，另外一些能够被定义的点将不能被定义了。它们将必须从一个范畴变到另一个范畴。分类将不是断言的。
有一些好心人，他们相信，人们可以推理的唯一对象是那些能够用有限数目的单词定义的对象。我更加乐于认为他们是好心人，因为我自己马上要为他们的见解辩护。因此，可以认为前面的例子是拙劣的选择，但是很容易修正它。
为了对整数或空间中的点进行分类，我将考虑定义每一个整数或每一个点的语句。由于会发生同一个数或同一个点能够用许多语句来定义的情况，我将按字母顺序排列这些语句，并将在这些语句中选择第一个。以此作为条件，这个语句将以元音或辅音结束，分类能够按照这个标准作出。但是，这种分类不可能是断言的；通过引入新整数或新点，没有意义的语句可以获得意义。于是，对于定义已经引入的整数或点的语句一览表来说，它将必然要添加新语句，到这时还没有意义的语句恰恰获得了意义，而且定义的正好是同一个点。能够发生这样的情况：这些新语句占据按字母顺序排列的第一个位置，它们以元音结束，而原先的语句则以辅音结束。于是，原来位于第一个范畴的整数和点将不得不转移到另一个范畴。
另一方面，如果我们按照空间中的点的坐标的大小来对这些点进行分类，如果我们一致同意分类所有横坐标小于10的点，那么新点的引入将不会改变分类中的任何东西；已经引入的满足该条件的点在引入新点之后也将满足该条件。分类将是断言的。
我们刚才就分类所说的东西直接适用于定义。实际上，每一个定义就是一种分类。它把满足定义的对象与不满足定义的对象分开，并且它按两种不同的类排列它们。如果像经院哲学所作的那样，通过近缘的类和不同的种继续做下去，那么它显然依赖由类到种的划分。像所有的定义一样，定义可以是断言的，或不可以是断言的。
但是，在这里遇到了一个困难。让我们再考虑原先的例子。整数属于类a 还是属于类b，取决于它们小于10.5 还是大于10.5。我定义了某些整数α，β，γ……，我把它们分配在这两类a和b之中。我定义并引入新的整数。我说过，分配未被修正，从而分类是断言的。可是，为了不修正数α在分类中的位置，不改变分类方案是不充分的；数α依然保持相同也是必要的；也就是说，它的定义是断言的。因此，从某种观点来看，我们不应当说，分类以绝对的方式是断言的，但是相对于定义方法而言，它却是断言的。
2. 基数
当定义基数时，我们不应忘记原先的考虑。如果我们考虑两个集合，那么以对于第一个集合的每一个对象，都有第二个集合的一个并且是唯一的一个对象与之相对应的方式（反之亦然），我们能够尝试在这两个集合之间建立起对应规律。如果这是可能的，我们便说两个集合有相同的基数。
但是，对应规律又必须是断言的。如果我们处理两个无限的集合，那么将永远不可能想象这两个集合会被穷尽。如果我们假定，我们在第一个集合中取了一定数目的对象，那么对应规律将使我们能够定义第二个集合的相应对象。如果我们接着引入新的对象，那么新对象的引入必须以下述方式改变对应规律的意义：第二个集合的对象a′在引入新对象前对应于第一个集合物的对象a，在新对象引入之后，a′就不再与a对应了。在这种情况下，对应规律将不是断言的。
这就是我借助于两个相反的例子想要解释的东西。我正在考虑整数的集合和偶数的集合。数2n可以与每一个整数n对应。当我引入新整数时，与n对应的将总是同一个数2n。对应规律是断言的；例如，为了证明有理数的基数等于整数的基础，或空间的点的基数等于线上的点的基数，康托尔（cantor）所考虑的东西都是如此。
另一方面，让我们设想一下，我们正在把整数集与能够用有限数目的单词来定义的空间的点集加以比较，我在它们之间建立起下述对应。我将列举所有可能的语句。我将按照它们中的单词数目排列它们，按字母顺序安置具有相同单词数的语句。我将除去所有没有意义的或没有定义任何点的语句，或者该语句虽然定义了点，但是这个点已用先前的一个语句定义过。对于每一个点来说，我都使定义它的语句和在修正一览表中描述这个命题位置的数目对应起来。
当我引入新点时，可能会发生一些没有意义的语句将获得意义；我们将不得不在起初从中除去它们的一览表中使它们恢复原来的位置；所有其他语句的顺序数将被改变。对应关系将被全部打乱；我们的对应规律不是断言的。
在比较基数时，如果我们不注意这个条件，那么便会导致奇异的悖论。因此，有必要通过说明作为这个定义基础的对应规律必须是断言的，来修正基数的定义。
每一个对应规律都以二重分类为基础。我们希望比较的两个集合的对象必须被分类；而两个分类必须是平行的。例如，如果第一个集合的对象被分类，类本身又细分为阶，阶又细分为族等等，对于第二个集合的对象必须遵循同样的过程。第一个分类的每一个类必须与第二个分类的一个类并且是唯一的一个类相对应，第一个分类的每一个阶必须与第二个分类的一个阶并且是唯一的一个阶相对应，如此等等，直到个别对象本身。
于是，我们看到，要使对应规律是断言的条件必须是什么。有必要使对应规律所依据的两个分类本身是断言的。
3. 罗素先生的论文
罗素先生在《美国数学杂志》第×××卷上发表了一篇论文，该文的题目是“以类型理论为基础的数理逻辑”，它是以完全类似于前面的考虑为基础的。在逻辑学家中唤起对一些最有名的悖论的注意之后，他寻找它们的来源，并发现这恰恰在于一种循环论证。悖论之所以发生，是因为集合被认为包含着这样的对象，在这些对象的定义中，集合的概念本身是固有的。非断言的定义已被使用罗素先生说，在“所有”（all）和“任何”（any）这两个单词之间存在着混乱，这两个词在法语中可用tous 和quelconque 来表述。
他于是转而想象他称之为类型谱系（hierachy of types）的东西。让我们设想一个命题对于一定类的任何个体都为真。所谓任何个体，我们必须首先理解这个类的所有个体，它们能够在没有使用命题本身概念的情况下被定义。我将称它们为任何第一阶的个体；当我断言该命题对所有这些个体为真时，我将断言一个第一阶的命题。于是，任何第二阶的个体将是这样一个个体，其定义能够包含这个第一阶的命题的概念。如果我断言所有第二阶个体的命题，我将具有一个第二阶的命题。第三阶的个体将是其定义能够包含这个第二阶命题的概念的个体，如此等等。
让我举爱皮梅尼特（epirnenides）的例子。第一个阶中的说谎者将总是在说谎，除非当他说“我是第一个阶中的说谎者”时；第二个阶中的说谎者将总是在说谎，即使在他说“我是第一个阶中的说谎者”时也是如此，可是当他说“我是第二个阶中的说谎者”时，他就不再是在说谎了。如此等等。于是，当爱皮梅尼特告诉我们：“我是说谎者”，我们应该问他：“哪一个阶的？”只有在他回答了这个合理的问题之后，他的断言才有意义。
让我们接着举一个更科学的例子，并且考虑整数的定义。如果一种特性是零的特性，并且如果它不是n+1的特性，它就不可能是n的特性，那么它就被说成是递归的；我们说，具有递归特性的所有数形成一个递归类。因此，按照定义，一个整数是具有递归特性的一个数，也就是说，它属于所有的递归类。
从这个定义出发，我们能够得出两个整数的和是整数的结论吗？看来似乎是这样；这是因为，如果n是已知的整数，那么致使n＋x是整数的这样的数x形成递归类。如果n+x不是整数，那么数x因而也不会是整数。但是，我们已经讲过的这个递归类的定义不是断言的，因为在这个定义（它告诉我们n+x必须是整数）中，出现了预先假定所有递归类概念的整数概念。
从而产生了利用下述迂回方法的必要性：让我们把所有在没有引入整数概念的情况下能够被定义的那些类看作是一阶递归类，把属于所有一阶递归类的数看作是一阶整数。接着，让我们把在出现需要时通过引入一阶整数概念、而不引入更高阶整数概念就能够被定义的类看作是二阶递归类。让我们把所有属于二阶递归类的数叫作二阶整数，如此等等。然后，我们能够证明的不是两个整数的和是整数，而是两个k阶整数的和是k-1阶的整数。
我想，这些例子将足以传达罗素先生要求的类型谱系。可是，这时产生了作者没有提出见解的各种问题。
1.在这个谱系中，毫无困难地出现一阶命题、二阶命题等等，一般地是n阶命题，n是任何有限整数。可以同样地考虑α阶（α是超限序数）的命题吗？这正是柯尼希（kőnig）先生所思考的理论，该理论在本质上与罗素先生的理论没有什么区别。他使用特殊的记号系统，在这个系统中，他用a（nv）表示一阶对象，用a（nv）2 表示二阶对象，等等，nv是述语“不变的”（ne varietur）词首的大写字母。就他来说，他毫不犹豫地引入a（nv）α——其中α是超限的——可是却没有充分解释他由此了解到什么。
2.如果我们对第一个问题回答“是”，那就必须解释由ω阶对象了解了什么，ω是寻常无限，即第一超限序数；或者必须解释由α阶对象了解了什么，α是任何超限序数。
3.另一方面，如果我们对第一个问题回答“否”，那么将怎样有可能把有限数和无限数的区别建立在类型理论的基础上呢？因为如果不假定已经作出这种区别，那么这个理论就失去了意义。
4.更一般地，我们对第一个问题要么回答“是”，要么就是回答“否”，如果我们不假定序数理论已经建立起来，那么类型理论就是不可理解的。这时，将怎样有可能把序数理论建立在类型理论的基础上呢？
4. 可约性公理
罗素先生引入了一个新公理，他把这个公理叫作可约性公理。由于我没有把握已完全理解了他的思想，因此我将直接引用他的话：“我们假定，每一个函项对于它的所有值来说等价于同一自变数的某个断言函项。”为了理解这个断言，必须提到在这篇论文开头所给出的定义。什么是函项？什么是断言函项？如果命题是就给定对象α断言的，那么这就是特称命题；如果它是就不定对象x断言的，那么它就是x的命题函项。该命题将是类型谱系中的某一阶，无论x可能是什么，这个阶将不相同，因为它依赖于x的阶。当x是k阶，如果该函项是k＋1阶，那么它将被宣称是断言函项。
即使在这些定义之后，该公理的意义还不是很清楚的，举几个例子也许不会是多余的。罗素先生没有给出任何例子，我很犹豫是否给出我自己的任何例子，因为我怕误述了他的思想，我不敢保证已完全把握了他的思想。但是，即使没有把握它，但也有一件我不能怀疑的事情，这就是其中包含着一个新公理。借助于这个公理，人们期望能够证明数学归纳法原理；但我也希望不要完全否认这种可能性，即我怀疑这个公理可能是同一原理的另一种形式。
于是，我竟情不自禁地想起了所有宣称依靠他的一个推论并把这个推论看作是自明的真理而来证明欧几里得公设的人。他们得到了什么呢？不管这个真理是多么自明的，它将比公设本身更为自明吗？
因此，就公设数目而论，我们一无所获。但我们至少在质的方面有所收获吗？
在什么方面新公理表明自身比归纳法原理更为可取呢？
第一，它可以用更简单、更清楚的术语来陈述吗？这是可能的，因为罗素先生给我们的东西无疑可以被改进；但是不一定很有希望。
第二，如果人们从归纳法原理出发，可以证明可约性公理，那么可约性公理比归纳法原理更为普遍吗？
第三，相反地，可约性公理看上去没有归纳法原理普遍吗？所以尽管归纳法原理包含在可约性公理之中，但我们没有立即察觉到前者包含在该公理中。
第四，这个公理的使用更密切地与我们心智的天然倾向一致吗？能够从心理学上证明它吗？
我把我自己限定在这些问题上；我缺乏解决它们的手段，因为我未能完全理解这个公理的意义。
由于罗素先生给的资料十分有限，我不能期望完全把握其意义，即使如此，我至少可以作一些推测。例如，在这里有像整数的定义这样的命题；有限整数是一个作为所有递归类的元的数。这个命题本身没有意义，只有指定所涉及的递归类的阶时，它才会有意义。但是，幸运的是，这种情况发生了；何况每一个二阶整数更有理由是一阶整数，因为它属于头两阶的所有递归类，从而属于一阶的所有递归类；每一个k阶整数同样也更有理由是k－1阶的整数。于是，导致我们可以定义越来越多的有限类的系列，一阶整数、二阶整数……n阶整数，它们的每一个都包含在前一个中。我将把同时属于所有那些类的每一个数称为“ω阶整数”；ω阶整数的这种定义有意义，而且能够认为它等价于首次针对还没有任何意义的整数提出的定义。这就是像罗素先生所理解的可约性公理的正确应用吗？我提供这个例子的信心是不足的。
不过，让我们接受它，让我们再次考虑要证明的关于两个整数之和的定理。我们已经确定，两个k阶整数之和是k－1阶整数，我们希望得出结论：如果x和n是两个ω阶整数，那么n＋x之和也是ω阶整数。事实上，不管k可能多么大，为此只要确定n＋x是k阶整数就足够了。因为如果，n 和x是ω阶整数，那么它们将更有理由是k＋1阶整数；因此，借助于已经确立的定理，n＋x是k阶整数……
证 毕
罗素先生的公理能够以这种方式运用吗？我倒感到，这并非严格如此，罗素先生可能给出完全不同的推理形式，但是基础依然是相同的。
我不想在这里讨论证明方法的有效性。
我将暂且把我自己限定在下述观察内。随着n 阶对象概念的引入，我们已被导致引入ω阶对象的概念，就整数而论，在定义这个新概念时，我们认为我们获得了成功。但是，这不会总是成功的；例如，对爱皮梅尼特来说，这根本不会是有效的。下述情况已保证获得成功。在研究中的分类不是断言的，新元素的添加必须修正原先被引入的和被分类的元素的分类。无论如何，这种修正只能在一个方向进行；也许必须使一些对象从a 类变换到b类（即从整数类变换到非整数类），但是永远也不能使它们从b类变换到a 类。在时而在一个方向、时而在另一个方向必须作出修正的情况下，为了定义ω阶对象，一个新约定该是必要的。
其次，ω阶整数的定义不同于k阶整数的定义，其中k是有限的。k阶整数是通过递归从k－1阶整数的概念推论出k 阶整数的概念而定义的。ω阶整数通过极限来定义，也就是使这个新概念与无数原先的概念，即与所有有限阶整数的概念相关来定义。因而，对于并不知道有限数是什么的人来说，此时这两个定义可能是无法理解的；他们预先假定有限数和无限数之间的区别。因此，这个区别不能建立在这些定义的基础上。
5. 策默罗先生的论文
正是在完全不同的方向上，策默罗（zermelo）先生寻求我们已经指出的困难的解决办法。他力求假定一个先验的公理系统，该系统容许他在不面临矛盾的情况下证明所有的数学真理有许多估计公理作用的途径；它们能够被视为任意的规定，这些规定无非是基本概念的伪装的定义。因此希尔伯特先生在几何学的开头引入“物”（things），他把点、直线和平面称为物，不管是忘却还是似乎是片刻忘却这些词的共同意义，他都针对这些物拟定了定义它们的各种关系。
为使这成为合理的，就必须证明，由此引入的公理是不矛盾的，而就几何学而言，希尔伯特先生完全取得了成功，因为他设想分析已经建立起来了，因为他能够在这个证明中利用它。策默罗先生没有证明他的公理是摆脱了矛盾的，而且他不能这样做，因为要这样做，他就应当利用其他已经确立的真理作为基础。但是，谈到已经确立起来的真理和已经完成了的科学——他假定到当时为止还不存在；他排除任何东西，他希望他的公理是完全自身充分的。
因此，公设能够把它们的价值仅仅归于某种类似于任意规定的东西；它们必须是自明的。正因为自明不能被证明，所以要证明这种自明，我们从而必须力图深入到创造这种自明感的心理学机制。而这就是产生困难的地方；策默罗先生承认某些公理，而排斥另一些乍看起来似乎正像他保留的公理一样自明的公理。如果他完全保留它们，他就会陷入矛盾；因此，对他来说，有必要作出选择。但是，我们可能会感到奇怪，他选择的根据是什么，这使得我们必须要谨慎小心。
就这样，他以反对康托尔的定义开始：集（set）是任何与其他不同的、任何被认为是形成一个整体的对象的集合。因此，我没有权利谈论满足这个条件或那个条件的所有对象的集。这些对象没有形成集（set或menge） [1] ，但是有必要用某种东西代替我们排斥的定义。策默罗先生把他自己限制在这样一个陈述内：让我们考虑任何类型对象的域（domain，bereich） [2] ；在两个这样的对象x和y之间可以存在x∈y的形式关系，于是我们将说，x是y的元素以及y是集（set）或menge。
显然，这不是定义。任何一个不知道menge是什么的人，当他得知用符号∈表示它时，他将不会更好地认识它，因为他不知道∈是什么。如果符号∈后来用被视为任意规定的公理来定义，这样事情就过得去了。但是，我们刚才已看到，这种观点是站不住脚的。因此，我们必须预先了解menge是什么，我们必须具有它的直觉观念。正是这种直觉，使我们能够理解∈是什么；没有这一点，∈只不过是缺乏意义的、不能宣称有任何自明性质的符号。但是，如果这种直觉不是我们轻蔑地排斥的廉托尔的定义，那么它能够是什么呢？
让我们略过这个困难，我们将在以后试图阐明它，让我们列举一个策默罗先生所设想的公理；它们总共有七个：
1.具有相同元素的两个集（menge）是等价的。
2.存在着不包含任何元素的集（menge），这就是空集（nullmenge）；如果存在对象a，那么便存在menge（a），这个对象是该menge的唯一元素；如果存在两个对象a和b，那么便存在menge （a，b），这两个对象是该menge的仅有的一些元素。
3.menge m中的所有满足条件x的元素的集形成m 的子集（subset，untermenge） [3] 。
4.对于每一个menge t，相应地存在着由t的所有子集（untermenge）形成的另一个mengeut。
5.让我们考虑menge t，其元素是那些mengen [4] 本身；存在着mengest，其元素是t的元素的元素。例如，如果t有三个元素a，b，c，它们本身是mengen；如果a有两个元素a和a′，b有两个元素b和b′，c有两个元素c和c′，st 将有六个元素a，b，c，a′，b′，c′。
6.如果存在着一个menge t，其元素是那些mengen本身，那么有可能在这些基本mengen中的每一个中选择的一个元素，而且如此选择的元素的集形成st的一个untermenge。
7.至少存在一个无限menge。
在讨论这些公理之前，我们必须回答一个问题：在叙述它们时，为什么保留德语词汇menge而不用法语词汇ensemble［集，set］？这正是因为我没有把握，词menge 在这些公理中保持它的直观意义，没有这种直观意义，就很难排斥康托尔的定义；现在，法语词汇ensemble 使我们太强烈地想起这种直观意义，以至于当意义改变时，我们不能方便地利用它。
我不想过多地强调第七个公理；尽管如此，我必须就它说几句话，以便唤起对策默罗先生用来陈述该公理的十分首创性的方法的注意。他没有使他自己满足于我已经给出的陈述。他说：存在一个menge m，该集在不包含作为一个元素menge（a）的情况下也不能包含元素a，即在该menge 中，元素a是唯一的元素。因此，如果m容纳元素a，那么它将容纳一系列其他元素，也就是说，它将容纳a是唯一元素的menge，在该menge中，唯一的元素是仅有一个元素a的menge，如此等等。可以清楚地看到，这些元素的数目必然是无限的。乍看起来，这个弯路似乎是很奇怪的和人为的，实际确是这样；可是，策默罗先生想避免使用无限一词，因为他认为他的公理先于有限和无限的区分。
让我们考虑前六个公理；它们能够被视为明显的，一旦我们赋予menge这个词以它的直观意义，并且仅仅考虑有限数目的对象的话。但是，它们不过是作者明确反对的另一个公理：
8.任何种类的对象形成一个menge。
因此，我们必须问一个问题：无论何时涉及到无限的集合，为什么公理8不再具有自明性而头六个公理依然是自明的呢？
为了解决这个问题，我们要返回到公理的陈述，如果这样的话，我们将经历我们第一次的惊奇。我们将注意到，所有这些公理都毫无例外地告诉我们，只有一种东西，即按照某些规律形成的某些集合才能构成menge，以至于这些公理对我们来说只不过是作为预定扩大menge这个词的意义的一些法则，作为该词的一些纯粹的定义。这对于我们反对的第八个公理来说是正确的，正像对于我们接受的头七条公理来说是正确的一样。
可是，我们不久便被警告说，这头一个印象是错误的；词的类似的定义不会把我们引向矛盾；只有在我们具有断言某些集合不是mengen的其他公理的时候，才不得不形成矛盾；而我们却没有这样的集合。但是，如果我们排斥第八个公理，那就会避免矛盾。策默罗先生就是这样明确地说的。
因此，情况必定是，他没有把他的公理看作是词的简单定义，他赋予menge这个词以直觉意义，这种意义在他所有陈述之前就存在着，尽管该意义与通常的意义有某种差别。当探讨作者在他的论证中对它的用法时，就不可能不注意到这一点。menge是我们能够推论的某种东西；它在一定程度是某种固定的、不可改变的东西。为了确定一个集即menge，确定无论什么集合，总是要进行分类，总是要把属于这个集的对象与不是它的部分的对象分离开来。如果相应的分类不是断言的，那么我们将说，这个集不是一个menge；如果这种分类是断言的，或者如果它就像它曾经是的那样是可能加以推论的，那么它就是一个menge。
如果我们排斥第八个公理，正是因为无论任何对象都毫无疑问地形成集合，但却是永远不封闭的集合；其顺序能够在任何时刻通过添加意想不到的元素而被推翻。它是一个非断言的集合，相反地，当我们说，例如对于每一个menge t，总是相应地存在着另一个用这种或那种方式定义的menge ut 或st，我们宣称，这个定义是断言的，或者我们有权像它曾经是的那样去行动。
这里是说在策默罗先生的下述理论中起基本作用的区分的地方了，策默罗理论说：“这样一个问题或陈述e可以称之为确定的，即关于这个域的基本关系的有效性和无效性能够毫无任意性地由公理和普遍有效的逻辑规律区分开来。”“确定的”（definii） [5] 这个词在这里似乎合理地与“断言的”一词同义。但是，策默罗先生对它所作的使用表明，同义并不是完全的。因此让我们设想，例如，这个问题e如下：menge m的某一元素与同一menge的所有其他元素具有某种关系吗？我们同意说我们必须回答是的所有元素形成一个类k吗？至于我，我赞同罗素先生的观点，也认为这样一个问题不是断言的；因为m的其他元素是无限的，因为可以不断地引入新的元素，因为在引入的新元素中可能存在其定义包含类k的概念的某些元素，也就是说，包含着具有特性e的元素集的概念。对于策默罗先生来说，在我没有精确认识在确定的问题和不是确定的问题之间存在着严格分界的情况下，这个问题可能是确定的。对他来说，情况似乎是，为了知道一个元素相对于m的所有其他元素是否具有特性e，只要检验它相对于它们中的每一个是否具有特性e就足够了。如果该问题相对于它的每一个元素都是确定的，那么根据这一事实，它相对于所有这些元素也是如此。
正是在这里，在我们的观点中出现了分歧。策默罗先生不容许他自己考虑所有满足某一条件的对象的集，因为在他看来，似乎这个集永远不是封闭的；引入新对象总是可能的。另一方面，在谈到是某一menge m的一部分而且也满足某一条件的对象的集时，他毫不踌躇。对他来说，情况似乎是，人们在不具有集的所有元素的同时是不可能具有menge的。在这些元素中，他将选择满足给定条件的元素，他将能够十分沉着地作出这一选择，而不担心被新的、未曾料到的元素的引入所扰乱，因为他手头已经拥有所有这些元素。由于预先假定了这个menge m，他筑起了一道围墙，不让来自外部的入侵者闯入。但是，他没有询问，是否存在着他把其圈进他的围墙内的内部入侵者呢？如果menge m具有无限数目的元素，那么这并不意味着这些元素能够被想象为预先同时存在着，而是意味着新元素有可能不断地产生；它们将在墙内产生而不是在墙外产生；这就是一切。当我说所有的整数时，我意味着所有已经被发明出来的整数和所有将有一天能够被发明出来的整数。当我说空间中的所有点时，我意味着所有其坐标能够用有理数、或用代数数、或用积分、或用任何其他能够被发明出来的方法描述的点。正是这个“能够”，就是无限。但是，有可能发明出将能够用许多方法来定义的一些东西，如果我们把我们不久前所做的归诸我们的问题e和我们的类k，那么每当m的新元素被定义，问题e会再次产生；因为在我们能够定义的元素中，将存在着一些其定义依赖这个类k的元素。以至于没有可能避免循环论证。
这就是策默罗先生的公理为什么不可能使我感到满意的原因。在我看来，它们不仅不是明显的，而且当有人问我它们是否摆脱了矛盾时，我将不知道回答什么。作者认为，他通过摒弃任何超越于闭menge的限制的思辨，正在避免最大基数的悖论。他认为他仅仅通过询问那些是确定的问题，正在避免理查德（richard）的悖论；按照他附加于这一表述的意义，这排除关于能够用有限数目的词来定义的对象的一切考虑。但是，尽管他谨慎地关上了他的羊圈，我不敢担保，他没有放进想要吃羊的狼。只有他证明他免除了矛盾，我才会感到安心；我只是非常清楚地知道，他不能这样做，因为这有必要引用归纳法原理，他对归纳法原理并不怀疑，但他后来提议对此进行证明。他应当忽略了它；这可能以逻辑错误为代价，但是我们至少会确信它。
6. 无限的作用
关于不能够用有限数目的词来定义的对象的推理是可能的吗？甚至表达它们和了解我们正在谈论的东西以及不说无意义的空话是可能的吗？或者，相反地，它们必须被看作是不可思议的吗？至于我，我毫不犹豫地回答，它们只不过是虚无而已。
我们在任何时候遇到的所有对象要么是用有限数目的词来定义的，要么仅仅是不完全地被确定的，依然与许多其他对象不可区分；只有在我们把它们和与它们相混的其他对象区分开来后，我们才能够恰当地进行推理；也就是说，只有当我们成功地用有限数目的词来定义它们时。
如果我们考虑一个集，并且我们希望定义其中的不同元素，那么这个定义能够自然地被分为两部分；该定义的第一部分对该集的所有元素都共同适用，它将引导我们把它们与这个集不相容的元素区别开来；这将是该集的定义；第二部分将引导我们把该集的不同元素彼此区别开来。
这两部分中的每一个将由有限数目的词构成。如果我们表达其定义是已知的一个集的所有元素，那么我们希望表达满足该定义第一部分的所有对象，我们将借助于由我们可以希望的任何有限数目的词组成的语句成功地定义它们。只有该定义的头半部已知，你然后才能够通过选择你喜欢的下半部来完成它；但是，你必须完成它。如果我就集的所有对象陈述了一个命题，那么我意味着，要是一个对象满足该定义的第一部分，那么就这个对象而论，该命题将依然为真，不管你描述第二部分的方式如何。但是，如果你像你可以希望地那样能够陈述它，那你陈述它就是必要的；否则，该对象就可能是不可思议的，该命题就会没有意义。
对这种观点提出几点反对意见并不是不可能的，实际上已经这样做了。由有限数目的词构成的语句总是能够编上号码，因为例如可以按照字母顺序把它们分类。如果所有可想象的对象必须用这样的语句来定义，那么也可以给它们编号。因此，没有比现有的整数更可信的对象了；如果我们考虑空间，例如，如果我们从其中排除不能够用有限数目的词定义的、绝对虚无的点，那么依然存在的点并不比现有的整数更多些。康托尔证明了对立面。
这仅仅是错觉而已。要通过用来定义空间中的点的语句来描述空间的点，要按照形成这些语句的字母把这些语句和相应的点进行分类，这就是要构造一种不是断言的分类方法，这种分类方法要承担我在本章开头所提到的所有的不便、所有不合逻辑的推论和所有的悖论。康托尔究竟意指什么，他实际上究竟证明了什么？在整数和能用有限数目的词来定义的空间的点中，不可能发现满足下述条件的对应规律：
1.这个规律能够用有限数目的词来陈述。
2.给定任何整数，可以在空间中找到对应的点，这个点将被完全确定，毫无歧义；这个点的定义由两部分组成，即整数的定义和对应规律的陈述，它们能够被归结为有限数目的词，因为这个整数能够用有限数目的词来定义，而对应规律能够用有限数目的词来陈述。
3.给定空间中的点p，我假定用有限数目的词定义该点（我自己没有摒弃使用这个定义与对应规律本身的关联，这在康托尔的证明中是必不可少的），那么将存在一个整数，该整数将毫无歧义地用对应规律的陈述和点p的定义来确定。
4.对应规律必须是断言的，也就是说，如果使点p对应于一个整数，那么当在空间中引入新点时，必须仍然使这个点p对应于同一个整数。那就是康托尔所证明的东西，这依然保持为真。我们注意到包含在这个简短命题中的复杂意义：空间中点的基数比整数的基数大。
于是，我们不得不作出什么结论呢？每一个数学定理必须能够加以验证。当我陈述这个定理时，我宣称，我将试图对它进行的所有验证都会成功；即使这些证明之一需要超过一个人的能力的艰辛工作，我断言，如果许多代人——即使需要一百代人——认为着手进行这种验证是恰当的，它将依然会成功。该定理没有其他意义，如果我们在它的陈述中提到无限的数目，那么这将仍为真。但是，由于验证仅能够适用于有限的数目，所以由此可得，每一个关于无限数的定理，或者特别是所谓的无限集，或超限基数，或超限序数等等，只能是陈述有限数目的命题的简明方式。如果它不是这样，这个定理将不是可验证的，而且如果它是不可验证的，它将是无意义的。
由此可得，不可能存在任何关于无限数的明显的公理；无限数的每一个特性无非是有限数的特性的翻译。正是后者，它可以是明显的，而且也许有必要通过把前者与后者进行比较和通过表明翻译是严格的来证明前者。
7.小结
导致某些逻辑学家的悖论是由这样的事实引起的：他们不能避免某些循环论证。当他们考虑有限的集合时，就发生这种情况，但是当他们对处理无限集合提出要求时，这种情况会更为经常得多地发生。在第一种情况下，他们能够容易地逃出他们落入的陷阱；或者，更严格地讲，他们自己设置了他们选好要落入的陷阱，他们甚至被迫十分小心地不错过这个陷阱；简而言之，在这种情况下，悖论只不过是游戏而已。由无限概念产生出来的悖论是十分不同的；逻辑学家在没有故意设置它的情况下落入其中是经常发生的，即使预先告诫了，他们还是感到不安。
由于不止一个充分的理由，作出解决这些困难的尝试是有趣的，但是这些尝试并不完全令人满意。策默罗先生想构造一个无缺陷的公理系统；可是，这些公理仅仅能够被视为任意的规定，因为有必要证明这些规定不是互相矛盾的，而且进行一次全面大扫除后再没有留下任何作为这样的证明的基础的东西。因此，必须使这些公理是自明的。现在，它们通过什么机制被构造出来？这些被采纳的公理对有限的集合为真；它们不能被推广到所有无限的集合，这种推广只有对它们之中或多或少任意地选择的某个数目才能进行。而且，在我看来，正如我在上面所说的，没有一个关于无限集合的命题能够在直觉上是明显的。
罗素先生比较清楚地认识到要克服的困难的本性。无论如何，他没有完全克服他，因为他的类型谱系假定，序数理论已被阐明。
至于我，我可以提出，我们受下述法则的指导：
1.永远不考虑任何除了能够用有限数目的词定义的对象。
2.永远不忽略这样的事实：每一个关于无限的命题必须是关于有限的命题的翻译和精确陈述。
3.避免非断言的分类和定义。
迄今提到的所有研究工作者都有共同的特征。他们打算把数学教给还不了解在无限和有限之间存在区别的学生；他们没有很快教给学生这一区别由什么组成；他们在开始不涉及这种区分的情况下教给学生关于无限所能了解的一切。再者，在他们使学生漫游的遥远领域，他们向学生指明隐藏有限数的小角落。
对我来说，这似乎是心理上的虚伪；人类的心智自然不会以这种方式进行，尽管我们可以使我们自己摆脱困境而没有过多的自相矛盾的灾难，可是这种方法却不能不与健全的心理学相对立。
罗素先生无疑将告诉我，它并不是心理学问题，而是逻辑和认识论问题；而我将被导致回答，不存在独立于心理学的逻辑和认识论；表明这种信念也许将结束这场讨论，因为它将使不可弥补的观点分歧变得明显起来。
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[1] menge，德语词汇，相当于set（集）。——中译者注
[2] domain是英语词汇，bereich是德语词汇。——中译者注
[3] subset是英语词汇，untermenge是德语词汇。——中译者注
[4] mengen是menge的复数。——中译者注
[5] definit的德语词。——中译者注
