<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十三

末部三

借根方比例【带纵平方　　带纵立方三乘方四乘方五乘方附】

带纵平方

借根方比例开带纵平方其以长方之积用长阔之较或和而求长阔之数皆与常法同但不立和纵较纵之名惟有多根少根之号而毎根之数或爲长方之阔或爲长方之长错综其名有十二种推究其实总不出和较之两端如云一平方多防根与几真数等或几根多一平方与几真数等或一平方与几真数少几根等或几根与几真数少一平方等此四者根皆较纵而其毎根之数皆长方之阔也如云一平方少几根与几真数等或一平方少几眞数与几根等或一平方与几真数多几根等或一平方与几根多几眞数等此四者根亦皆较纵而其每根之数则皆长方之长也如云一平方多几真数与几根等或几眞数多一平方与几根等或几真数与几根少一平方等或一平方与几根少几眞数等此四者根皆和纵而其毎根之数或爲长方之长或爲长方之阔也要之所谓一平方者即一正方而多几根少几根即变正方而爲长方其眞数比平方多根者其毎根爲阔眞数比平方少根者其每根爲长二者皆较纵惟眞数比根少平方者则爲和纵也至于开之之法皆以眞数爲长方积以根数爲纵【即以根数作眞数用如三根即作三眞数五根即作五真数之类解见设如】依面部带纵平方法开之有较纵者先求和有和纵者先求较其根爲长方之阔者以和较相减折半而得每根之数【用半和半较立法者则相减即得根数不用折半】其根爲长方之长者以和较相加折半而得每根之数也【用半和半较立法者则相加即得根数不用折半】俱详设如设如有一平方多二根与二十四尺相等问每一根之数几何

法以二十四尺爲长方积二根爲纵多二尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百尺开平方得十尺爲和减较二尺余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较二尺得六尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积二十四尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁六尺爲长戊丁二尺爲纵多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根与二十四尺相等也若以积计之则积之多于平方者爲戊己丙丁之二根若以边计之则长多于阔者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲纵多也此法错综其名则爲四种一平方多二根与二十四尺相等一也如二根多一平方亦必与二十四尺相等又一也若于一平方多二根与二十四尺各减去二根则爲一平方与二十四尺少二根相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根余甲乙己戊一平方故爲一平方与二十四尺少二根相等也】又如一平方多二根与二十四尺各减去一平方则爲二根与二十四尺少一平方相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊一平方余戊己丙丁二根故爲二根与二十四尺少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比一正方多根数故知其爲较纵而每根之数爲阔也

设如有一平方少四根与四十五尺相等问每一根之数几何

法以四十五尺爲长方积四根爲纵多四尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百九十六尺开平方得十四尺爲和加较四尺得十八尺折半得九尺爲一根之数即长方之长减较四尺得五尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积四十五尺甲乙九尺爲一根爲长甲丁五尺爲阔甲戊与甲乙等丁戊四尺爲纵甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根于甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四根则余甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根与四十五尺相等也若以积计之则积之少于平方者爲丁丙己戊之四根若以边计之则阔少于长者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲纵多也此法错综其名亦爲四种一平方少四根与四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必与四根相等又一也若于一平方少四根与四十五尺各加四根则爲一平方与四十五尺多四根相等此又其一也【甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成甲乙己戊一平方故爲一平方与四十五尺多四根相等也】如一平方亦必与四根多四十五尺相等此又其一也此四者名虽不同合而观之总爲真数比一正方少根数故知其爲较纵而其每根之数爲长也

设如有一平方多三十六尺与十三根相等问每一根之数几何

法以三十六尺爲长方积十三根爲和十三尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余二十五尺开平方得五尺爲较与和十三尺相减余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较五尺得九尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积三十六尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁九尺爲长甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺与十三根相等也若以积计之则积三十六尺与一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以边计之则长九尺与阔四尺相加得甲戊之十三尺故将十三根作十三尺爲和也此法错综其名亦爲四种一平方多三十六尺与十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必与十三根相等又一也若于一平方多三十六尺与十三根各减去三十六尺则爲一平方与十三根少三十六尺相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁三十六尺余丁丙己戊一平方故云一平方与十三根少三十六尺相等也】又如一平方多三十六尺与十三根各减去一平方则爲三十六尺与十三根少一平方相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去丁丙己戊一平方余甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺与十三根少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比根数少一正方故知其爲和而其毎根之数爲阔也

设如有一平方多三十二尺与十二根相等问每一根之数几何

法以三十二尺爲长方积十二根爲和十二尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余十六尺开平方得四尺爲较加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之数即长方之长减较四尺余四尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积三十二尺甲乙八尺爲一根爲长甲丁四尺爲阔甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺与十二根相等也若以积计之则积三十二尺与一平方相加共得甲乙己戊十二根若以边计之则长八尺与阔四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞数比根数少一正方故知其爲和而其每根之数爲长也

带纵立方　【三乘方　四乘方　五乘方附】

借根方比例开带纵立方与常法不同常法先知各边之和或较既开得一边之数以和较加减之即得各边之数此法止有根方多少之号而无和纵较纵之名惟求每根之数而不问余边其立法之本意葢欲借根方以求他数既得一根之数则所求之数已得而方之形体有所不计且其与根方相等之积数或爲长方体扁方体形或非长方体扁方体形【或于长方扁方之内少几数或于长方扁方之外多几数则不能成长方扁方体形也】皆不可知故不可以带纵之常法求也【其积数或原爲几根几方之总数而非一长方或一扁方之全数则止可以逐方逐根计之若作一长方或一扁方算则其各边必有奇零不尽而转与所设之根数不合矣】今类其法分爲九种如一立方多几根与几真数等一也一立方少几根与几眞数等二也一立方多几平方与几真数等三也一立方少几平方与几眞数等四也一立方多几平方多几根与几眞数等五也一立方少几平方少几根与几真数等六也一立方多几平方少几根与几眞数等七也一立方少几平方多几根与几真数等八也又几平方少一立方与几眞数等九也其开之之法除第九种外余俱依立方法定初商复视所带根方爲多号者其商数须取略小于应得之数所带根方数爲少号者其商数须取略大于应得之数俱以初商数自乘再乘爲立方积以初商自乘数与几平方相乘爲所带平方之共积以初商数与几根相乘爲所带根数之共积多号者与立方积相加少号者与立方积相减然后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商自乘数三因之爲立方廉以初商数倍之与几平方相乘爲所带平方之共廉多号者与立方廉相加少号者与立方廉相减又加减所带之根数【多根者加少根者减】爲次商廉法以廉法除次商积得次商即合初商自乘再乘爲立方积仍如所带几根几平方加减之而后减原积并与初商同至于第九种之法则将立方与真数俱用平方数除之得一平方少几分立方之一与几眞数等依平方法定初商其商数须取略大于应得之数乃以初商数自乘爲平方积又以初商数再乘爲立方积以平方数除之得数爲少几分立方之一以减平方积而后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商数倍之爲平方廉又以初商自乘数三因之爲立方廉以平方数除之得数以减平方廉余爲次商廉法以廉法除次商积得次商其减积之法与初商同以上九种如法开之即得每根之数也要之所谓一立方者即一正方体而多平方多根少平方少根即变正方体而爲长方体扁方体或爲磬折长方体扁方体其积数中有立方则用再乘有平方则用自乘有根则用商数多则相加少则相减九种之中无异术也即推之多乘方莫不皆然总以其累乘之数爲主而以所带根方之积数加减之与立方无二理也爰将立方九种之法各设一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各设二例以附其后焉

设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等问毎一根之数几何

法列原积一千八百二十四尺按立方法作记于四尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺八因之得八十尺爲多八根之共积与一立方积相加得一千零八十尺书于原积之下相减余七百四十四尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉加根数八共三百零八尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺八因之得九十六尺爲八根之共积与立方积相加共得一千八百二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及八根之共数以边计之则所得毎根之数即正方体之毎一边因正方体之外多八根故成一磬折体而非正方体亦非长方体也

设如有一立方少九根与一千六百二十尺相等问毎一根之数几何

法列原积一千六百二十尺按立方法作记于空尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺九因之得九十尺爲少九根之共积与立方积相减余九百一十尺书于原积之下相减余七百一十尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉内减去根数九余二百九十一尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺九因之得一百零八尺爲少九根之共积与立方积相减余一千六百二十尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少九根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边因正方体内少九根之数故成磬折体而非正方体亦非扁方体也

设如有一立方多四平方与二千三百零四尺相等问每一根之数几何

法列原积二千三百零四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其二千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相准即定初商爲十尺书于原积二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲多四平方之共积与立方积相加得一千四百尺书于原积之下相减余九百零四尺爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺爲四平方廉与一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺爲多四平方之共积与立方积相加共得二千三百零四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及四平方之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多四平方故成长方体而非正方体也

设如有一立方少八平方与七千九百三十五尺相等问每一根之数几何

法列原积七千九百三十五尺按立方法作记于五尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖应商十尺而所带平方爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺爲少八平方之共积与立方积相减余四千八百尺书于原积之下相减余三千一百三十五尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺爲八平方廉与一立方廉相减余八百八十尺爲次商廉法以除次商积足三倍即定次商爲三尺书于原积五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一万二千一百六十七尺爲一立方积又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺爲少八平方之共积与一立方积相减余七千九百三十五尺书于原积之下相减恰尽是开得二十三尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少八平方之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少八平方故成扁方体而非正方体也

设如有一立方多十三平方多三十根与二万七千一百四十四尺相等问毎一根之数几何

法列原积二万七千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其二万七千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相合应商三十尺而所带平方与根皆爲多号故取略小之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺爲多十三平方之共积又以初商之二十尺三十乘之得六百尺爲多三十根之共积三积【立方平方与根之三数】相加得一万三千八百尺书于原积之下相减余一万三千三百四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉与立方廉相加得一千七百二十尺又加根数三十共一千七百五十尺爲次商廉法以除次商积足七倍因取略小之数爲六尺书于原积四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一万七千五百七十六尺爲一立方积又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺爲多十三平方之共积又以二十六尺三十乘之得七百八十尺爲多三十根之共积三积相加共二万七千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十六尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体及十三平方与三十根之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多十三平方又多三十根恰成长方体而非正方体亦非磬折体也【将所多之十三平方内十平方附于正方体之一面又以三平方加于正方体之又一面即成磬折体而缺三十根之数如以三十根补其缺即成长方体其寛即一根爲二十六尺其长即一根多十尺爲三十六尺其高即一根多三尺爲二十九尺也此因所多之平方及根数适足长方体形故爲长方体若平方与根数不能补足者仍爲磬折体也】

设如有一立方少七平方少八根与七千零八十四尺相等问每一根之数几何

法列原积七千零八十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖而所带平方与根皆爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺爲少七平方之共积又以初商之二十尺八因之得一百六十尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得二千九百六十尺以减立方积余五千零四十尺书于原积之下相减余二千零四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺爲七平方廉与立方廉相减余九百二十尺又减去根数八余九百一十二尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一万零六百四十八尺爲一立方积又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺爲少七平方之共积又以二十二尺八因之得一百七十六尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得三千五百六十四尺以减立方积余七千零八十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少七平方又少八根之数以边计之则所得每根之数即正方体之毎一边亦即平方之每一边因正方体之内少七平方又少八根故成磬折体而非正方体也

设如有一立方多一平方少二十根与三万三千一百五十二尺相等问每一根之数几何

法列原积三万三千一百五十二尺按立方法作记于二尺上定单位三千尺上定十位其三万三千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相准即定初商爲三十尺书于原积三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二万七千尺爲一立方积又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方积又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共积于立方积内加多一平方积得二万七千九百尺又减去少二十根之共积余二万七千三百尺书于原积之下相减余五千八百五十二尺爲次商积而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉与立方廉相加得二千七百六十尺又减去根数二十余二千七百四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三万二千七百六十八尺爲一立方积又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方积又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共积于一立方积内加多一平方积得三万三千七百九十二尺又减去少二十根之共积得三万三千一百五十二尺书于原积之下相减恰尽是开得三十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体多一平方复少二十根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多一平方又少二十根故成磬折体而非正方体也

设如有一立方少三平方多二根与一万二千一百四十四尺相等问每一根之数几何

法列原积一万二千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其一万二千尺爲初商积与二十自乘再乘之数相凖即定初商爲二十尺书于原积二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共积又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共积于立方积内减去少三平方之共积余六千八百尺又加入多二根之共积得六千八百四十尺书于原积之下相减余五千三百零四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉与立方廉相减余一千零八十尺又加入根数二得一千零八十二尺爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于原积四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共积又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共积于立方积内减去三平方之共积余一万二千零九十六尺又加入多二根之共积得一万二千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少三平方复多二根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少三平方又多二根故成磬折体而非正方体也

设如有四十平方少一立方与五千六百二十五尺相等问每一根之数几何

法以四十平方少一立方与五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分立方之一与一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分爲归除所得之积按平方法作记于空尺上定单位一百尺上定十位其一百尺爲初商积与十尺自乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积再乘得一千尺爲一立方积以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之积与一平方积相减余七十五尺书于所得积之下相减余六十五尺六十二寸五十分爲次商积而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉与平方廉相减余十二尺五寸爲次商廉法以除次商积足五倍即定次商爲五尺书于所得积空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方积再乘得三千三百七十五尺爲一立方积以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之积与一平方积相减余一百四十尺六十二寸五十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与四十相乘得九千尺爲四十平方积内减去一立方积余五千六百二十五尺与原积相合是开得一十五尺爲每一根之数也此法以积计之爲四十平方少一正方体之数以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因四十平方内少十五平方之一正方体【每边爲十五尺故十五平方爲一正方体也】余二十五平方爲长方体【其寛即一根爲十五尺其高亦十五尺其长爲二十五尺也】而非正方体也

设如有五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺相等问每一根之数几何

法以五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一与五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲归除所得之积按平方法作记于八尺上定单位五百尺上定十位其五百尺爲初商积与二十自乘之数相准即定初商爲二十尺书于所得积五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方积再乘得八千尺爲一立方积以五百除之得十六尺爲少五百分立方之一之积与平方积相减余三百八十四尺书于所得积之下相减余一百六十四尺三十五寸二十分爲次商积而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉以五百除之得二尺四寸爲五百分立方之一之廉与平方廉相减得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于所得积八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺爲一平方积再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积以五百除之得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之积与平方积相减余五百四十八尺三十五寸二十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与五百相乘得二十八万八千尺爲五百平方积内减去一立方积余二十七万四千一百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也此法以积计之爲五百平方少一正方体以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因五百平方内少二十四平方之一正方体【每边爲二十四尺故二十四平方即一正方体也】余四百七十六平方爲长方体【其寛即一根爲二十四尺其高亦爲二十四尺其长爲四百七十六尺也】而非正方体也

设如有一三乘方多二平方与二万一千零二十四尺相等问每一根之数几何

法列原积二万一千零二十四尺按三乘方法作记于四尺上定单位二万尺上定十位其二万尺爲初商积与十尺乘三次之数相准即定初商爲十尺书于原积二万尺之上而以初商十尺乘三次之一万尺爲一三乘方积又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得一万零二百尺书于原积之下相减余一万零八百二十四尺爲次商积而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺爲多二平方之廉与三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得二万一千零二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及平方两次开之将原积二万一千零二十四尺爲长方积以多二平方作二尺爲纵多折半得一尺爲半较自乘仍得一尺与积相加得二万一千零二十五尺开平方得一百四十五尺爲半和内减半较一尺【凡多平方者即减半较如少平方者则加半较】余一百四十四尺爲正方积复开平方得十二尺即每一根之数也葢三乘方多平方与方根自乘爲阔加多平方数爲长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也

设如有一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺相等问每一根之数几何

法以一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺俱以一千除之得一平方少一千分三乘方之一与一百二十三尺二十六寸四十分相等乃列一百二十三尺二十六寸四十分爲归除所得之积按平方法作记于三尺上定单位一百尺上定十位其一百尺爲初商积与十尺自乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积又以初商之十尺乘三次得一万尺爲一三乘方积以一千除之得一十尺爲千分三乘方之一之积与一平方积相减余九十尺书于所得积之下相减余三十三尺二十六寸四十分爲次商积而以初商之十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以一千除之得四尺爲千分三乘方之一之廉与平方廉相减余一十六尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于所得积三尺之上合初商共十二尺自乘得一百四十四尺爲一平方积又以十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积以一千除之得二十尺零七十三寸六十分与一平方积相减余一百二十三尺二十六寸四十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与一千相乘得一十四万四千尺爲一千平方积内减去一三乘方积余一十二万三千二百六十四尺与原积相合是开得一十二尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及平方两次开之将原积一十二万三千二百六十四尺爲长方积以一千平方作一千尺爲和折半得五百尺爲半和自乘得二十五万尺与积相减余十二万六千七百三十六尺开平方得三百五十六尺爲半较与半和相减余一百四十四尺爲正方积复开平方得一十二尺即每一根之数也葢平方少三乘方与方根自乘爲阔与平方数相减爲长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也

设如有一四乘方多二立方与七百九十九万零二百七十二尺相等问每一根之数几何

法列原积七百九十九万零二百七十二尺按四乘方法作记于二尺上定单位九十万尺上定十位其七百九十万尺爲初商积与二十乘四次之数相准即定初商爲二十尺书于原积九十万尺之上而以初商二十尺乘四次之三百二十万尺爲一四乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺二因之得一万六千尺爲多二立方之共积与四乘方积相加得三百二十一万六千尺书于原积之下相减余四百七十七万四千二百七十二尺爲次商积而以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺又二因之得二千四百尺爲多二立方之廉与四乘方廉相加得八十万零二千四百尺爲次商廉法以除次商积足五倍因取略小之数爲四尺书于原积二尺之上合初商共二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺爲一四乘方积又以二十四尺自乘再乘之一万三千八百二十四尺二因之得二万七千六百四十八尺爲多二立方之共积与四乘方积相加得七百九十九万零二百七十二尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺爲每一根之数也葢四乘方多立方之数不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也

设如有二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺相等问每一根之数几何法以二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺俱以二千除之得一立方少二千分四乘方之一与九千八百四十二尺六百八十八寸相等乃列九千八百四十二尺六百八十八寸爲归除所得之积按立方法作记于二尺上定单位九千尺上定十位其九千尺爲初商积与二十自乘再乘之数相准即定初商爲二十尺书于所得积九千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商之二十尺乘四次得三百二十万尺爲一四乘方积以二千除之得一千六百尺爲二千分四乘方之一之积与一立方积相减余六千四百尺书于所得积之下相减余三千四百四十二尺六百八十八寸爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺爲一四乘方廉以二千除之得四百尺爲二千分四乘方之一之廉与立方廉相减余八百尺爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于所得积二尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积又以二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺爲一四乘方积以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸与一立方积相减余九千八百四十二尺六百八十八寸书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与二千相乘得二千七百六十四万八千尺爲二千立方积内减去一四乘方积余一千九百六十八万五千三百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也葢立方少四乘方之数亦不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也

设如有一五乘方多四立方与一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺相等问每一根之数几何

法列原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺按五乘方法作记于六尺上定单位三百万尺上定十位其一亿一千三百万尺爲初商积与二十乘五次之数相准即定初商爲二十尺书于原积三百万尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百万尺爲一五乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三万二千尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得六千四百零三万二千尺书于原积之下相减余四千九百三十九万零四百九十六尺爲次商积而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十万尺爲一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺爲四立方之廉与五乘方廉相加得一千九百二十万零四千八百尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一亿一千三百三十七万九千九百零四尺爲一五乘方积又以二十二尺自乘再乘之一万零六百四十八尺四因之得四万二千五百九十二尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及立方开之将原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺爲长方积以多四立方作四尺爲纵多折半得二尺自乘得四尺与积相加得一亿一千三百四十二万二千五百尺开平方得一万零六百五十尺爲半和内减半较二尺【因立方爲多号故减半较若立方爲少号即加半较】得一万零六百四十八尺爲立方积开立方得二十二尺即每一根之数也葢五乘方多立方与方根自乘再乘爲阔加多立方数爲长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也

设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺相等问每一根之数几何法以一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺俱以一万除之得一立方少一万分五乘方之一与一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲归除所得之积按立方法作记于三尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺乘五次得一百万尺爲一五乘方积以一万除之得一百尺爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余九百尺书于所得积之下相减余二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十万尺爲一五乘方廉以一万除之得六十尺爲一万分五乘方之一之廉与立方廉相减余二百四十尺爲次商廉法以除次商积足一倍即定次商爲一尺书于所得积三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方积又以十一尺乘五次得一百七十七万一千五百六十一尺爲一五乘方积以一万除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余一千一百五十三尺八百四十三寸九百分书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与一万相乘得一千三百三十一万尺爲一万立方积内减去一五乘方积余一千一百五十三万八千四百三十九尺与原积相合是开得一十一尺爲每一根之数也

又法用带纵平方及立方开之将原积一千一百五十三万八千四百三十九尺爲长方积以一万立方作一万尺爲和折半得五千尺爲半和自乘得二千五百万尺与积相减余一千三百四十六万一千五百六十一尺开平方得三千六百六十九尺爲半较与半和相减余一千三百三十一尺爲立方积开立方得一十一尺即每一根之数也葢立方少五乘方与方根自乘再乘爲阔与立方数相减爲长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也

御制数理精蕴下编卷三十三