钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十七

体部五

各等面体

各等面体

设如四面体每边一尺二寸求积几何

法以每边一尺二寸为?每边折半得六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半得六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余为每一面之面积又以毎边一尺二寸为?每一面之中垂线取其三分之二得六寸九分二厘八豪二丝零二防有余为勾求得股九寸七分九厘七豪九丝五忽九微有余为四面体自尖至底中心之立垂线或以毎一面之中垂线一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为?每一面之中垂线取其三分之一得三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾亦得股九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底之中之立垂线以此立垂线与每一面之面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也如圗甲乙丙丁四面体其棱六角四平铺之则面亦四各成一等边三角形试以乙丙丁之一面为底以乙丙一边为?丁丙一边折半得戊丙为勾求得乙戊股与甲戊等即每一面之中垂线与丁丙一边相乗折半得乙丙丁底面积又以甲丙一边为?己丙中垂线之三分之二为勾求得甲己股为自尖至底中心之立垂线或以甲戊每一面之中垂线为?己戊中垂线之三分之一为勾亦得甲己股为自尖至底中心之立垂线乃以甲己立垂线与乙丙丁底面积相乗三归之即得甲乙丙丁四面体之积也又求自尖至底中心之立垂线防法以毎边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即自尖至底中心之立垂线也此法葢因甲丙为?戊丙为勾求得甲戊股则甲戊自乗方为甲丙自乗方之四分之三【见等边三角形求中垂线法】又甲戊为?己戊为勾求得甲己股则甲己自乗方为甲戊自乗方之九分之八【己戊为甲戊三分之一则甲戊自乗方为九分己戊自乗方为一分甲己自乗方为八分】甲戊自乗方既为甲丙自乗方四分之三今命甲戊自乗方为甲丙自乗方十二分之九而甲己自乗方又为甲戊自乗方九分之八则甲己自乗方必为甲丙自乗方十二分之八即三分之二故以一边自乗三归二因得甲己自乗方积而开方得甲己为立垂线之髙数也

又用知一边求髙数之定率比例求自尖至底中心之立垂线以定率之四面体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之立垂线八一六四九六五八为二率今所设之四面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即四面体自尖至底中心之立垂线也

又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余即四面体之积也葢四面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而四面体之每一边一○○○所得之四面体积为一一七八五一一二九故以子丑寅卯四面体之每边一尺自乗再乗之辰巳午未正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余之比也

又用体积相等边线不同之定率比例以定率之四面体之每边二○三九六四八九○为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之四面体之毎边一尺二寸为三率求得四率五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为与四面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百厘有余即四面体之积也葢四面体之每边为二○三九六四八九○正方体之每边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯四面体之毎边二○三九六四八九○与辰巳午未正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛正方体之每边五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余之比既得一边自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲乙丙丁四面体之积为相等也

如有四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之四面体积一一七八五一一二九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体之每边与正方体之每边相等四面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也

又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之毎边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体积与正方体积相等四面体之每边与正方体之每边不同故以四面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也

设如八面体每边一尺二寸求积几何

法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也如图甲乙丙丁戊己八面体其棱十二角六平铺之则面为八各成一等边三角形自体正中对四角平分截之则成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方体甲丙为二尖方体之共髙即甲乙丙丁正方形之对角斜线故以戊乙一边自乗得戊乙己丁正方面积为二尖方体之共底又以戊乙己丁正方面积倍之开平方即如甲乙为勾乙丙为股各自乗相并开方得甲丙?为八面体之对角斜线即二尖方体之共髙以此共髙与戊乙己丁二尖方体之底面积相乗三归之得二尖方体积即八面体之总积也

又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率今所设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也葢八面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而八面体之每一边一○○○所得之八面体积为四七一四○四五二一故以子丑寅卯辰已八面体之每边一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯辰己八面体积四七一四○四五二一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余之比也

又用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为与八面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得八百一十四寸五百八十六分八百五十六厘有余即八面体之积也葢八面体之每边为一二八四八九八二九正方体之毎边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯辰己八面体之每边一二八四八九八二九与午未申酉正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每边九寸三分三厘九豪二丝六忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己八面体之积为相等也

如有八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体之每边与正方体之每边相等八面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也

又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体积与正方体积相等八面体之每边与正方体之每边不同故以八面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也

设如十二面体每边一尺二寸求积几何

法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七豪八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八豪二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为?每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也如图甲乙丙丁戊十二面体其棱三十角二十平铺之则面十二各成一等边五角形先求得己庚辛壬癸五等边形之子已类分角线又求得子丑自中心至每边之垂线复求得己庚辛壬癸五等边形之面积次以辛壬一边为大分己辛两角相对斜线为全分故辛壬与己辛之比同于理分中末线之大分与全分之比而得两角相对之斜线又自十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之寅卯等线亦为乙丙两角相对斜线【与己辛等】之一半而为十等边形之一边故寅卯与辰寅之比又同于理分中末线之大分与全分之比而得十二面体之中心至每边正中之斜线乃以辰寅斜线为?每面中心至每邉之子丑垂线为勾求得辰子股即十二面体中心至每面中心之立垂线以此辰子立垂线与己庚辛壬癸一面积相乗三归之得辰巳庚辛壬癸一五角尖体积十二因之即得甲乙丙丁戊十二面体之总积也又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也盖十二面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而十二面体之每一邉一○○○所得之十二面体积为七六六三一一八九○三故以子丑寅邜辰十二面体之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰十二面体积七六六三一一八九○三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余之比也

又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之十二面体之每邉五○七二二三○七为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸为三率求得四率二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为与十二面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八厘有余即十二面体之积也葢十二面体之每邉为五○七二二二○七正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰十二面体之每邉五○七二二二○七与巳午未申正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方体之每邉二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余之比既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方体积即与甲乙丙丁戊十二面体之积为相等也

如有十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每邉之数则用邉线相等体积不同之定率比例以定率之十二面体积七六六三一一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体之每邉与正方体之每邉相等十二面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率十二面体之每邉五○七二二二○七为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘开立方得二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为三率求得四率一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体积与正方体积相等十二面体之每邉与正方体之每邉不同故以十二面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也

设如二十面体每邉一尺二寸求积几何

法以二十面体分作二十三角尖体算之将每邉一尺二寸求得三等邉形之分角线为六寸九分二厘八豪二丝零二微有余自中心至每邉之垂线为三寸四分六厘四豪一丝零一微有余面积为六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每邉一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以此斜线为?每一面中心至邉之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余为二十面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得一百八十八寸四百九十八分四百一十五厘有余为一三角尖体积二十因之得三尺七百六十九寸九百六十八分三百厘有余即二十面体之总积也如圗甲乙丙丁戊二十面体其棱三十角十二平铺之则面二十各成一等邉三角形先求得己丙丁三等邉形之己庚类分角线又求得庚辛自中心至每邉之垂线复求得巳丙丁三等邉形之面积次自二十面体之正中截之则成十等邉之面形而其所截之处皆正当每邉之一半故其所截之壬癸等线亦为乙丙每邉之一半而为十等邉形之一邉故壬癸与子壬之比同于理分中末线之大分与全分之比而得二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以子壬斜线为?每面中心至每邉之庚辛垂线为勾求得子庚股即二十面体中心至每面中心之立垂线以此子庚立垂线与己丙丁一面积相乗三归之得子己丙丁一三角尖体积二十因之即得甲乙丙丁戊二十面体之总积也

又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而二十面体之每一邉一○○○所得之二十面体积为二一八一六九四九六九故以子丑寅邜辰巳二十面体之毎邉一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰巳二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余之比也

又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之二十面体之每邉七七一○二五三四为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得三尺七百六十九寸九百六十八分四百四十九厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每邉为七七一○二五三四正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰巳二十面体之每邉七七一○二五三四与午未申酉正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每邉一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己二十面体之积为相等也

如有二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也此法葢因二十面体之每边与正方体之毎边相等二十面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也

又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八厘开立方得一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为三率求得四率一尺二寸即二十面体之每一邉也此法葢因二十面体积与正方体积相等二十面体之毎邉与正方体之每邉不同故以二十面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也

御制数理精蕴下编二十七