元 刘瑾 撰
气求黄钟法第一【以律吕新书证辨第一第九第十章及彭氏律法第七章参定】
后汉志曰气之法为室三重户闭涂衅必周密【长乐陈氏曰三室各有门为门之位外以子中以午内复以子杨子所谓九闭之中也】布缇缦【缯无文也】室中以木为案每律各一案内庳外髙从其方位加律其上以葭莩灰抑其内端【长乐陈氏曰室中上圆下方依辰位埋律管使其端与地齐而以薄纱覆之中秋白露降采葭莩为灰加管端 彭氏曰律管各当其辰斜埋地下入地处庳出地处髙故云内庳外髙黄钟则埋于子位上头向南】按歴而之气至者灰去气所动者灰散人及风所动者灰聚
蔡氏曰律吕散亡其器不可复见然古人所以制作之意则犹可攷也太史公曰细若气微若声圣人因神而存之虽妙必効言黄钟始于声气之元也班固所谓黄帝使伶伦取竹断两节间吹之以为黄钟又曰天地之风气正而十二律定【汉前志曰黄帝使伶伦自大夏之西昆仑之隂取竹之解谷生其窍厚均者断两节间而吹之以为黄钟之宫制十二筩以听鳯之鸣其雄鸣为六雌鸣亦六比黄钟之宫而皆可以生之是为律本至治之世天地之气合以生风天地之风气正十二律定】刘昭所谓伏羲纪阳气之初以为律法又曰吹以攷声列以气【汉后志曰伏羲作易纪阳气之初以为律法建日冬至之声以黄钟为宫太簇为商姑洗为角林钟为征南吕为羽应钟为变宫蕤宾为变征此声气之元五音之正也又曰截管为律吹以攷声列以气道之本也】皆以声之清浊气之先后求黄钟者也是古人制作之意也夫律长则声浊而气先至极长则不成声而气不应律短则声清而气后至极短则不成声而气不应此其大凡也今欲求声气之中而莫适为凖则莫若且多截竹以拟黄钟之管或极其短或极其长长短之内每差一分而为一管皆即以其长权为九分而度其围径如黄钟之法焉如是而更迭以吹则中声可得浅深以列则中气可验苟声和气应则黄钟之为黄钟者信矣黄钟者信则十一律与度量权衡者得矣后世不知出此而唯尺之求【又曰隋志载十五等尺一周尺及王莽时刘歆铜斛尺后汉建武铜尺晋荀朂所造晋前尺祖冲之所传铜尺长短近同按荀朂尺出于汲之律与刘歆之斛最为近古葢去古未逺古之律度量衡犹在也自董卓之乱而乐律散亾故魏杜夔之律围径差小而尺因以长荀朂虽改定新尺然其乐声髙急不知当时律之围径又果何如也后周以玉斗生律玉斗之容受则近古矣然当时以斗制律围径不及三分其尺遂长于荀朂尺一寸五分八厘意者后世尺度之差皆由律围径之误也今司马公所传此尺者出于王莽之法钱葢丁度所奏髙若讷所定者也后之君子有能验声气之元以求古之律吕者于此当有考而不可忽也二晋田父玉尺及梁法尺实比晋前尺一尺七厘三梁表尺实比晋前尺一尺二分二厘一毫有竒按此即祖暅所筭造铜圭影表者也四汉官尺及晋时始平掘地所得古铜尺实比晋前尺一尺三分七毫五魏杜夔尺实比晋前尺一尺四分七厘六晋后尺江左所用实比晋前尺一尺六分二厘七后魏前尺实比晋前尺一尺二寸七厘八后魏中尺实比晋前尺一尺二寸一分一厘九后魏后尺实比晋前尺一尺二寸八分一厘十东魏尺实比晋前尺一尺五寸八毫十一蔡邕铜龠尺及后周玉尺实比晋前尺一尺一寸五分八厘按铜龠玉斗二者当是古之嘉量后周防斗造尺但以容受乘除求之耳然皆惑于三分之径故其尺律遂长唐之度量权衡与玉斗相符即此尺尔十二宋氏尺及钱乐之浑天仪尺后周铁尺实比晋前尺一尺六分四厘按隋平陈以后即用此尺即本朝和岘所用影表尺也范蜀公以为即今大府帛尺误矣十三万寳常所造律吕水尺实比晋前尺一尺一寸八分六厘十四杂尺及刘晖浑天仪土圭尺实比晋前尺一尺五分十五梁朝俗间尺实比晋前尺一尺七分一厘按前十五等尺其间多无所取证所以存而不削者要见诸代之不同多由于累黍及围径之误也】晋氏而下则多求之金石梁隋以来又参之秬黍【隋志曰晋泰始十年中书考古器揆校今杜夔尺长四分半所校古法有七器一曰姑洗玉律二曰小吕玉律三曰西京铜望臬四曰金错望臬五曰铜斛六曰古钱七曰建武铜尺后魏律歴志公孙崇永平中更造新尺以一黍之长累为寸法刘芳受诏修乐以秬黍中者一黍之广即为一分而元匡以一黍之广度黍二缝以取一分三家纷竞久不能决大和十九年遂用刘芳典修金石后周武帝保定中诏卢景宣等累黍造尺纵横不定后因修仓掘地得古玉斗据斗造律度量衡】下至王朴刚果自用専恃累黍而金石亦不复攷矣【又曰唐张文收铸铜斛铭云大唐贞观十年岁次元枵月旅应钟依新令累黍尺定律校龠成兹嘉量与古玉斗相符故唐乐器虽无法而声不失于古自王朴以黍定尺以尺生律声与器始皆失之矣】夫金石真伪固难尽信若秬黍则嵗有凶丰地有肥瘠种有长短大小圆妥不同尤不可恃况古人谓秬黍中者实其龠则是先得黄钟而后度之以黍不足则易之以大有余则易之以小约九十黍之长中容千二百之实以见周径之广以生度量权衡之数而已非律生于黍也百世之下欲求百世之前之律者其亦求之于声气之元而毋必之于秬黍则得之矣【又曰律者阳气之动阳气之始必声和气应然后可以见天地之心今不此之先而乃区区于黍之纵横古钱之大小其亦难矣然非精于歴数则气节亦未易正也】
欧阳颖伯曰候冬至验诸管之中有气应灰飞之律者即黄钟九寸之真数今岁得之则来年又从而验之以两冬至相距三百六旬有六日内应者为可凖不必拘于当时太史筭歴所定冬至之时可也【彭氏曰欲求黄钟的实者须依蔡元定说多截竹管以拟黄钟或短或长每差纎微各为一管悉以此诸管埋地中俟冬至时验之若诸管之中有气应者即知此管合于造化自然也葢律之大要莫先气故太史论律谓气始于冬至周而复生神生于无形成于有形然后数形而成声】
求黄钟从长法第二【以新书本原第一章定】
古法黄钟长九寸今据此冬至气应之管分作九寸【蔡氏曰天地之数始于一终于十其一三五七九为阳九者阳之成也其二四六八十为隂十者隂之成也黄钟者阳声之始阳气之动也故其数九分寸之数具于声气之元不可得而见及断竹为管吹之声和之气应而后数始形焉故约其长得九寸】寸作十分分作十作十毫毫作十丝丝作十忽此乃元气距地浅深长短自然之度是为黄钟律管从长之数【欧阳颖伯曰一二三四五皆生数也六七八九十皆成数也天九与地十则隂阳成数之极者也以九乘十以十乘九皆为九十此黄钟之长以九为寸数以十为分数也总而计之为九十分者用隂阳之极也阳之极则隂生焉隂之极则阳生焉是以冬至一阳生于积隂之下而黄钟之律应则理也气也数也出于一而不可以异观矣】既得从长之数如此于是凖此分厘毫丝之度用九章筭经羃【音覔】积周径法互相推筭以求黄钟律管阔狭之的筭法详具后章
求黄钟积实面羃法第三【以新书本原第一章及彭氏律法第六章参定】
【此圎内空者黄钟管内面羃也互算得九方分】
古法黄钟积实八百一十分今据前气应之管其长九十分之分为凖以度之凡一分管长知空围中当积九立方分十分管长空围中当积九十立方分九十分管长则空围中当积八百一十立方分是为黄钟之积实也【凡论黄钟管内积分者宜取方分而汉志止言积实八百一十分者省文耳】既得积实之数如此知管面深一分则空围中的容九方分无疑是又黄钟之面羃也【羃者覆笾豆巾也有方目可纪故筭管面平方忽丝毫厘分者皆取象于羃】即蔡氏所谓审其围得九分【蔡氏又曰空围中广九分】积其实得八百一十分者是也【面羃九方分者九数也积实八百一十分者九九数也皆阳数也】既得面羃之数如此乃以平方羃法推之知一分有百【从长一分该十厘故平方面有百厘余仿此有图见后】厘有百毫毫有百丝丝有百忽积而计之一平方分通有面羃一万万忽九平方分通有面羃九万万忽由是可以起筭黄钟之围径矣苐歴代诸儒议论不一不可不先知也并附其说如左
蔡氏曰按十二律围径自先汉以前传记并无明文惟班志曰黄钟八百一十分繇此之义起十二律之周径然其说乃是以律之长自乗而因之以十葢配合为说尔未可以为据也【又曰汉志以黄钟长九寸九九八十一又以十因之为八百一十应歴一统八十一章之数此倚数配合为说而已其云起律之周径者葢空围九分长九寸积八百一十分则其周径可以数起矣】惟审度章云一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以千二百黍实其龠谨权衡章则以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也又汉斛铭文云律嘉量方尺【斛面内平方一尺也】圆其外【循其方外四角而规圆之其径一尺四寸有竒】庣【音条】旁九厘五毫【庣过也谓圆外四旁略加开广也】羃百六十二寸【方尺羃百寸圎其外每旁约十五寸四旁共六十寸庣旁约二寸方圎皆在积羃之数】深尺积一千六百二十寸【斛面平方平圎一寸面羃一百六十二寸斛深立方立圎十寸故积一千六百二十寸】容十斗嘉量之法合龠为合十合为升十升为斗十斗为石一石积一千六百二十寸为分者一百六十二万【斛内立方立圎积分之数也下放此】一斗积一百六十二寸为分者十六万二千一升积十六寸二分为分者一万六千二百一合积一寸六分二厘为分者一千六百二十则黄钟之龠为八百一十分明矣空围八百一十分则长累九十黍广容一千二百黍矣葢十其广之分以为长十一其长之分以为广自然之数也自孟康以律之长十之一为围之谬其后韦昭之徒遂皆有径三分之说而隋志始着以为定论【又曰郑康成月令注云凡律空围九分蔡邕铜龠铭亦云空围九分葢空围中广九分也东都之乱乐律散亡邕之时未乱当亲见之又晓解律书而于月令章句云径三分何也孟康韦昭之时汉斛虽在而律不存矣康昭等不通律吕故康注汉志云黄钟径三分围九分林钟长六寸围六分太簇长八寸围八分昭注周语云黄钟径三分围九分皆无足怪者隋氏之失制律管俱径三分岂康昭等有以啓之欤又曰汉魏而下造律竟不能成而度之长短量之容受权衡之轻重皆戾于古大率皆由径三分之说误之也】然累九十黍径三分止容黍八百有竒终与一千二百黍之法两不相通而律竟不成唐因声制乐虽近于古而律亦非是本朝承袭皆不能觉独胡安定以为九分者方分也以破径三分之法然所定之律不本于声气之元一取之秬黍故其广量权衡皆与古不合【胡瑗取羊头山黍用三等筛子筛之取中等者横累一百黍为尺】又不知变律之法但见仲吕反生不及黄钟之数乃迁就林钟以下诸律围径以就黄钟清声以夷则南吕为径三分围九分无射为径二分八厘围八分四厘应钟为径二分六厘五毫围七分九厘五毫夫律以空围之同故其长短之异可以定声之髙下而其所以为广狭长短者莫不有自然之数非人之所能为也今其律之空围不同如此则亦不成律矣遂使十二律之声皆不当位反不如和岘旧乐之为条理亦可惜也房庻以径三分周围九分累黍容受不能相通遂废一黍为一分之法而増益班志八字以就其说范蜀公乃从而信之过矣
彭氏曰予得蔡氏律吕新书又得九章筭经载祖冲之筭圎径术极为精宻乃若西山推求声气之元欲多截竹管测实为冠絶古今然布筭又与祖氏未合窃以为依蔡氏之法加之以祖氏之筭术何黄钟不可定之有
又曰东汉蔡邕始创为径三分之说试依所言径三分以祖冲之宻率乗除止得面羃七分七厘竒乃少一分九十二厘竒【平方羃法方一分计百厘也】积实止得六百三十六分竒乃少一百七十三分竒如此则黄钟之管无乃大狭谓曰不然请以图证之凡论黄钟空围内羃积分者宜取方分今姑以九方分平置如此□则是九方分纵横信有三分径矣若以九方分宛转为圎则须得三分有余径方可容之故必如此□使圎径积阔则圎内始可容九方分不然则止从三分方径取圎如此□则圎内所容方分少而方分之四角犹有余分者皆溢出圎外而无所容矣其面羃既差则其积实愈差由此观之黄钟径止三分则面羃无九方分积亦无八百一十分以之造律未为得也晋孟康注汉律歴志曰律孔径三分参天数也围九分终天数也韦昭注国语唐魏征作隋志及后周王朴宋房庻和岘阮逸范镇等并从此说按此诸儒言径三分与蔡邕同其说已差至于言围九分用径一围三之法尤误盖径一围三虽是古率然古人大约以此筭圎田耳若以密率推之径一则围三有竒假如径七则围当有二十二若依孟氏所言径三分则围长当九分四厘二毫八丝强不但止于九分也若依九分围长之数则径当止有二分八厘六毫三丝六忽强又不及三分也谓曰不信请以图证之今且以此○圎形取径取得圎内径长如此□又以此○圎长分折为三如此□三折之中取一折以比圎形内径□或通以三折比之圎内之径必短而三折者必长以此观之知围三径一乃大约之法长短自有差殊圎田或可用此至于律管则空积忽微以之造律未为得也
宋胡瑗不主诸儒径三围九之说驳之曰后世儒者执守孤法但制尺求律便为坚证因谓围九分者取空围长九分耳以是围九分之误遂有径三分之说若从径三围九之说则黄钟之管止容九百黍积止六百七分半如此则黄钟之声无从而正大要空围中容九方分乃是围长十分三厘八毫径三分四厘六毫也按胡氏此言围径数虽与诸儒异然亦用径一围三之率殊不知此率未密故若依所言三分四厘六毫径当得围长十分八厘七毫四丝二忽强不但止于十分三厘八毫也若依十分三厘八毫围长之数则径止得三分三厘竒又不及三分四厘六毫也谓曰不信亦当以前图证之大槩胡氏知诸儒径三分之短不知自说径三分四厘六毫者又失于长兼又不知径七围二十有二密率止以径一围三约率言故所言径围分数皆有参差不齐圎田或可用此至于律管则空积忽微以之造律未为得也宋蔡元定说径围分数与胡氏同辨己见前蔡氏又曰筭法置八百一十分分作九重每重得九分圎田术三分益一得一十二以开方法除之得三分四厘六毫强为实径之数不尽二毫八丝四忽今求圎积之数以径三分四厘六毫自相乗得十一分九厘七毫一丝六忽加以开方不尽之数二毫八丝四忽得一十二分以管长九十分乗之得一千八十分为方积之数四分取三为圎积得八百一十分今姑依其说以九方分平置如此□又以三分益一以三方分割置于九方分之外如此□共积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽的如蔡氏说依古率十二方分通计十二亿忽开方亦得此数但依此径以密率相乗则空围内面羃不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七丝十四忽竒空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二丝六百忽竒如此则黄钟之管无乃太大谓曰不信亦当以图证之假如设此□为十二方分就此十二方分之中取径则方内径如此□乃就方内之径圎之如此□细考之则方内之圎所占者不止四分三圎外之方所当退者又不及四分一以此知三分益一四分退一乃虚加实退筭家大约之法至于律管则空积忽微以之造律未为得也盖律之大要莫先气以求从长又在善筭以求周径今具筭法于后
求黄钟围长法第四【以彭氏律法八章定】
【此圎者黄钟管之周围也又名围长互算得十分六厘三毫六丝八忽强】
算法从长平方立方图
一分从长十厘当万忽 平方百厘当万万忽约一亿忽 立方千厘当万亿忽
一厘从长十毫当千忽 平方百毫当百万忽 立方千毫当十万万忽约十亿忽
一毫从长十丝当百忽 平方百丝当万忽 立方千丝当百万忽
一丝从长十忽 平方百忽 立方千忽
彭氏曰筭经少广章开圎唐李氏注依密率八十八乗之七而一开方除之即周此置积求周法也又方田章圎田术李氏注密率以七乗周二十二而一即径以二十二乗径七而一即周此置周求径置径求周法也此密率本祖氏冲之所作比之古率极为精密今以黄钟面羃开方求周径一依此术既得黄钟面羃九方分该九万万忽约之为九亿忽依密律筭圎周法置九亿忽以八十八乗之得七百九十二亿忽乃以七归之得一百一十三亿一千四百二十八万五千七百一十四忽七分忽之二是为实数以此实数开方求圎周置此实数在地借一筭子歩约至亿下约得至万而止是名下法【谓亿之面万以此记方面从长数】乃于实数之上商置一十万名上商【记方面从长就以此除地上实数】乃于实数之下下法直上置一十亿名方法
□
□
忽
十
丌百
□千
万 下法丨
上商 □十
百
千
川亿
十 方法
实丨百
方法一十亿合商一【呼一一如一为一百亿】乃命上商除实数一百亿犹存实数一十三亿一千四百二十八万五千七百一十四忽七分忽之二第二重开之方法十亿倍之得二十亿一退得二亿下法万一退得千乃于上商十万位下续商置六千又于方法之下下法直上置六百万名廉法
□
□
忽
十
丌百
丄 □千 下法
□ 万
上商 □十
百防法丅
千
川亿
实 十
方法二亿合商六得十二亿【呼二六一十二也】廉法六百万亦从上商六得三千六百万【呼六六三十六也】乃命上商除实数十二亿三千六百万犹存实数七千八百二十八万五千七百一十四忽七分忽之二第三重开之倍廉法六百万得一千二百万并入方法二亿内共得二亿一千二百万一退得二千一百二十万下法千再退百乃命上商六千位下续商置三百又于下法直上置三万亦名廉法
□
□
□忽
一十
□ 丌百 下法丨
丄 □千
□ □万 廉法□
上商一 二十 二
□百 丨
实□千 方法□
方法二千一百二十万合商三得六千【呼二三得六也】三百【又呼一三如三也】六十万【又呼二三如六也】廉法三万亦从上商三得九万【呼三三如九也】乃命上商除实数六千三百六十九万犹存实数一千四百五十九万五千七百一十四忽七分忽之二第四重开之倍廉法得六万并入方法二千一百二十万内共得二千一百二十六万一退得二百一十二万六千下法再退得十乃于上商三百位下续商置六十又于下法之上置六百亦名廉法
□
忽
丄 一十 下法一
□ 丌百防法丅
丨 □千 丄
囗 万
上商 □十
百 方法
实千
方法二百一十二万六千合商六得一千二百七十五万六千【呼二六一十二又呼一六如六又呼二六一十二又呼六六三十六共得此数】廉法六百亦从上商六得三千六百【呼六六三十六也】乃命上商除实数一千二百七十五万九千六百忽犹存实数一百八十三万六千一百一十四忽七分忽之二第五次开之又倍廉法六百得一千二百并入方法二百一十二万六千中共得二百一十二万七千二百一退得二十一万二千七百二十下法再退得一乃于上商六十位下续商置八又于下法之上置八亦名廉法
□
忽忽廉法下法丨
丄十十 □
□百丨百 丌
丄千丄千 □
囗 □万
上商一 □十 方法□
实丨百
方法二十一万二千七百二十合商八得一百七十□万一千七百六十【以八呼上方法而得此数也】廉法八亦从上商八得六十四【呼八八六十四也】乃命上商除实数一百七十□万一千八百二十四忽犹存实数一十三万四千二百九十□忽七分忽之二在地又须第六重开之乃以一忽作万万分【毎一忽从计一万分毎一忽平方计一万万方】约之为一亿分则在地不尽实数共积得一十三万四千二百九十□亿二千八百五十七万一千四百二十六分竒【以一忽作一亿分筭故通前七分忽之二以七归之共得此数】前开方已得毎一面从计一十□万六千三百六十八忽乃倍前廉法八得一十六忽并入前方法内共得二十一万二千七百三十六忽以亿法通之【前所余实数既以一忽作一亿分筭故此方法忽数亦以亿法通之】计得二十一万二千七百三十六亿分一退得二万一千二百七十三亿六十万分前下法一升为万再退得千前上商十□万六千三百六十八升为十□亿六千三百六十八万乃于前上商八忽位下续商置六千又于下法之上置六百万亦名廉法
丅分
□十
百
丄 千下法
丌万
丄 □十
川 百廉法丅
丄 □千 丄
□亿 川
上商 □十 □
百
□千
川万 方法
实十
方法二万一千二百七十三亿六千万分合商六得一十二万七千六百四十一亿六千万分【以六呼上文方法而得此数也】廉法六百万分亦从上商六得三千六百万分【呼六六三十六也】乃命上商除实数一十二万七千六百四十一亿九千六百万分犹存实数六千六百四十八亿三千二百五十七万一千四百二十六分第七重开之倍廉法六百万得一千二百万并入前方法内共得二万一千二百七十三亿七千二百万一退得二千一百二十七亿三千七百二十万下法再退得百乃于上商六千位下续商置三百分又于下法之上置三万亦名廉法
丅分
□十
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丄 一 千
丌万廉法川
丄 □十
川 百 丌
丄 千
□ 亿 丌
上商 □十 □
丅百 丨
实丄千 方法□
方法二千一百二十七亿三千七百二十万合商三得六千三百八十二亿一千一百六十万分【以三呼上文方法而得此数也】廉法三万亦从上商三得九万分【呼三三如九也】乃命上商除实数六千三百八十二亿一千一百六十九万分犹存实数二百六十六亿二千八十八万一千四百二十六分第八重开之倍廉法三万得六万并入前方法内共得二千一百二十七亿三千七百二十六万一退得二百一十二亿七千三百七十二万六千下法再退得十乃于上商三百分下续商置一十分又于下法之上置一百分亦名廉法
丄分
□十 下法
川 百廉法丨
丄 千 丄
万
丄 十 □
川百 川
丄 □千 □
□ 丅亿
上商一 丄十
实百 方法
方法二百一十二亿七千三百七十二万六千分廉法一百分皆以上商一命之共计除实数二百一十二亿七千三百七十二万六千一百分犹存实数五十三亿四千七百一十五万五千三百二十六分第九重开之倍廉法一百得二百并入前方法内共得二百一十二亿七千三百七十二万六千二百一退得二十一亿二千七百三十七万二千六百二十下法再退得一乃于上商一十位下续商置二又于下
法之上置二名隅法
丅分隅法下法丨
□十□
川 川百丅
丄 □千□
万丌
丄 十
□ □百□
□□千 □
□□亿 丨
上商一 实□十 方法二十
方法二十一亿二千七百三十七万二千六百二十分合商二得四十二亿五千四百七十四万五千二百四十分【以二呼上文方法而得此数也】隅法二亦从上商二得四分【呼二二如四也】乃命上商除实数四十二亿五千四百七十四万五千二百四十四分犹存实数一十 亿九千二百四十一万八十二分计一十忽竒开不尽弃之
已上黄钟靣幂九方分该九亿忽开方得一十万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分即圎周数以一万忽为从分法除之得一十分不尽六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一千忽为从厘法除之得六厘不尽三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一百忽为从毫法除之得三毫不尽六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一十忽为从丝法除之得六丝余八忽万分忽之六千三百一十二分黄钟律圎周的计一十分六厘三毫六丝八忽万分忽之六千三百一十二分
求黄钟径长法第五【以彭氏律法八章定】
【圎内直者黄钟管内径长也互算得三分三厘八毫四丝四忽强】
彭氏曰置前黄钟圎周数一十□万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分在地今具数如左
□分
□十
□百
丄千
□忽
丄十
□百
丄千
□万
一十
据前在地之数依算经密率置周求径法以七乗之【其以七相乗布筭之法防移増减筭位无常今不可以具图晓筭法者当自知之后不具图者仿此】得七十四万四千五百八十忽万分忽之四千一百八十四分今具所得之数如左
□分
十
□百
□千
□忽
十
□百
□千
□万
□十
乃据上文以七乗之所得之数却以二十二而一除之【即筭法二归二除也葢于二十二分中取其一分以为径长之数】得三万三千八百四十四忽不尽一十二忽万分忽之四千一百八十四分今具所得之数及不尽之数如左
分 【此上一层三万三千八百四十四忽者即以二归二】□十 【除所得全忽之数也下一层一十二忽四千一百八】丨百 【十四分者乃不尽之余数不可归除作全忽之数又】□千 【须别归除之作忽外零数详见下文】
忽忽
□十□十
百
千
□万
通分内子【即以前不尽之数通而计之也】得一十二万四千一百八十四分以二十二而一除之得五千六百四十四分余二十二分分之一十六【余分少六数于筭法二十二分之数不足故不能满一分止当得七厘有竒】今以余分姑作一分通计五千六百四十五分今具图说如左
丅分 【此上一层五千六百四十四者即以二归二除已前】十 【不尽之数而得此忽外全分之数也下一层一十六】
分 【分者又归除分外不尽之余数不可归除作全分之】
□十 【数者也若归除之止得七厘强不满一分然此数所】
丅百 【少者微尘耳筭法不容不然今故举成数言姑作五】
□千 【千六百四十五分计之】
乃合前后归除所得全忽全分之数通计之共得三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分乃黄钟管径长之数也其图如左
分
□十
丅百
□千
忽
□十
百
千
川万
已上以七乗黄钟圎周之数以二十二除之得三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分如上文所具即圎径数也乃以一万忽为从分法除之得三分不尽三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分以一千忽为从厘法除之得三厘不尽八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分以一百忽为从毫法除之得八毫不尽四十四忽万分忽之五千六百四十五分以一十忽为从丝法除之得四丝余四忽万分忽之五千六百四十五分黄钟律圎径的计三分三厘八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五分
复以半周半径求黄钟羃积元数法第六【以彭氏律法八章定】
彭氏曰既得黄钟周径数乃以半周半径求面羃九方分其法置所得圎周数一十□万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分半之得五万三千一百八十四忽万分忽之三千一百五十六分通分内子计五亿三千一百八十四万三千一百五十六分各具图如左
圎周数半周数半周通分内子数分 丅分丅分
十 □十□十
□百 丨百丨百
丄千 千千
忽 忽 万
丄十 十 十
川百 丨百 丨百
丄千 千 千
万 万 □亿
十
另置所得圎径数三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分半之得一万六千九百二十二忽万分忽之二千八百二十二分半通分内子计一亿六千九百二十二万二千八百二十二分半各具图如左
圎径数半径数半径通分内子数
半半
分 □分□分
□十 十□十
丅百 □百□百
□千 □千□千
□忽 □忽 □万
□十 □十 □十
百 百 百
千 丄千 丄千
川万 丨万 丨亿
乃置所得半径内子分数列于上一位另置所得半周内子分数列于下一位乗之得八亿九千九百九十九万九千九百九十九亿八千五百六十二万七千八百一十分各具图如左
半径【置半径内】 半周【置半周内】 乗所得此数【下一位与子分数于 子分数于 上数此上一位 此下一位 相乗】
□分
□十
百
□千
□万
□十
□百
□半千
分 □分 亿
□十 □十 □十
百 丨百 百
□千 千 □千
万 万 万
□十 十 □十
百 丨百 百
丄千 千 □千
丨亿 亿 亿
已上半周半径相乗所得数即面羃数乃以亿分当一忽为法除之得八亿九千九百九十九万九千九百九十九忽亿分忽之八千五百六十二万七千八百一十分此介乎有形无形之间虽微尘不足以喻之筭法不容不然故云一忽弱【盖前以面羃九亿忽开方求圎周有不尽之数故此面羃元数九亿忽内有此一弱忽】具图如左
□分
一十
□百
□千
万
丄十
百
千
忽
□十
百
□千
万
□十
百
□千
亿
通前一忽弱姑以成数计之通作一忽筭加入所少之数一千四百三十七万二千一百九十分在前数内凑得面羃元法九亿平方忽乃以百忽当一丝为法除之得九百万平方丝既得九百万丝又以百丝当一毫为法除之得九万平方毫既得九万毫又当以百毫当一厘为法除之得九百平方厘既得九百厘又以百厘为一分除之得九平方分是为黄钟面羃元数既得面羃九平方分乃以九十分管长乗之一分管长面羃容九平方分则十分管长当积九十立方分九十分管长当积八百一十立方分是为黄钟积实元数
复以羃积求黄钟从长元数法第七
彭氏曰既得黄钟元积八百一十立方分知空围内积九立方分则其管当深长一分空围内积九十立方分则其管当深长九分空围内积八百一十立方分则其管当深长九十分是为黄钟从长元数则黄钟筭法至此而成矣合而论之的计从长九十分为九寸积实八百一十分面羃九方分圎周十分六厘三毫六丝八忽万分忽之六千三百一十二分圆径三分三厘八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五分盖以从长羃积周径五法参较推算而各得其数如此皆出于自然无不符合则算法于此而成而黄钟之所以为黄钟者信矣于是可以造律矣
造黄钟律管法第八【以彭氏律法六章及新书本原第二章参定】
如上章算法既成之后或以竹或以铜别为黄钟之管依前冬至气应管长如前分作九十分乃取其分为凖计三分三厘八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径乃取子糓秬黍【汉书师古注曰子糓犹言糓子秬即黒黍也】或大者或中者或小者各以一黍凖一分累九十黍以审其管之长而实千二百黍于中以审其管之广必其所累之黍与其所实之黍大小一同而所累之数与所实之数各无余欠则与古人造律之法无不合矣如此则围长面羃与夫空围内积实自然无不谐防特径数自八毫以下非可细分而算法不容不然故其制造之际非有上工如离娄之明公输之巧师旷之聪弗能为已制造黄钟既成其从长羃积周径皆如前法则黄钟之体由是立矣度量权衡可于此而受法十一律可于此而相生又所以为黄钟之妙用也今先具度量权衡之法于下又可以交相审验黄钟律管之长阔焉
审度第九【以新书本原第十一章定】
度者分寸尺丈引所以度长短也生于黄钟之长以前黄钟管长所累秬黍九十枚度之一黍为一分【凡黍实于管中则十三黍三分黍之一而满一分积九十分长则容千有二百黍矣其长与广必相符也】十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引数始于一终于十者天地之全数也律未成之前有是数而未见律成而后数始得以形焉度之成在律之后度之数在律之前故律之长短围径以度之寸分之数而定焉
嘉量第十【以新书本原第十二章定】
量者龠合升斗斛所以量多少也生于黄钟之容以其管内所容秬黍一千二百实其龠以井水凖其槩【孟康曰井水清清则平也】以度数审其容【一龠积八百一十分】合龠为合【两龠也积一千六百二十分】十合为升【二十龠也积一万六千二百分】十升为斗【百合二百龠也积十六万二千分】十斗为斛【二千龠千合百升也积一百六十二万分】
谨权衡第十一【以新书本原第十三章定】
权衡者铢两斤钧石所以权轻重也生于黄钟之重以其管内所容秬黍一千二百实其龠百黍一铢一龠十二铢二十四铢为一两【两龠也】十六两为斤【三十二龠三百八十四铢也】三十斤为钧【九百六十龠一万一千五百二十铢四百八十两也】四钧为石【三千八百四十龠四万六千八十铢一万九千二百两也】
胡安定曰黄钟管长九十黍之广积九寸度之所由起也容千二百黍积八百一十分量之所由起也重十有二铢权衡之所由起也既度量权衡皆出于黄钟之龠则黄钟之龠围径容受可取四者之法交相酧验使不失其实也【欧阳永叔曰声无形而乐有器古之作乐者知器之必有弊而声不可以言传惧夫器失而声遂亾也乃多为法以识之故求声者以律而识律者以黍自一黍之广积而为分寸一黍之多积而为龠合一黍之重积而为铢两使皆起于黄钟然后律度量权衡相用为表里使得律者可以制度量衡而度量衡亦可以制律用其长短多少轻重以相参考四者既同而声必至声至而乐可作 蔡九峯曰黄钟之长九寸以之审度而度长短则九十分黄钟之长一为一分以之审量而量多少则其管容子谷秬黍中者一千二百以为龠而两龠为合以之平衡而权轻重则所容千二百黍其重十二铢两龠则二十四铢为两此黄钟所以为万事根本也】
黄钟律寸九分十分法第十二【以新书本原第二章及彭氏律法第八章参定】
律寸九分十分图
如上章度量权衡之法皆生扵黄钟之管则黄钟之管围径容受可以参校审验而无差矣乃取所造黄钟之管分为九寸寸作九分分作九厘厘作九毫毫作九丝作九忽以为十一律相生之法【凢律吕相生寸分厘毫丝忽之法并以九为度】其分数以下虽别以九纪数然只是此律也故蔡氏曰径围之分以十为法者天地之全数也相生之分厘毫丝以九为法者因三分损益而立也全数者即十而取九相生者约十而为九即十而取九者体之所以立约十而为九者用之所以行【盖地之数极于十十者隂数也造化之体所以立也天之数极扵九九者阳数也造化之用所以行也】体者所以定中声用者所以生十一律也
彭氏曰诸家言黄钟周径数各有差互而黄钟管又有九分寸有十分寸九分寸则通一管为八十一分十分寸则通一管为九十分管与寸虽无异而分则有阔狭不同不知先儒论黄钟周径分数者指言何分故今先以十分之分算出黄钟周径的数既如前章所载矣因复用八十一分之分度之得圆周九分五厘一毫五丝四忽强径长三分□□五毫一丝四忽强亦不止如先儒所言径三分围九分也
黄钟律本三歴十二辰法第十三【以新书本原第二章证辨第三章参定】
子 一 黄钟之律
辰起于子数起于一子之一为黄钟之律者乃声气之元而具十二辰之全体者也故置一而以三歴十二辰则各得黄钟之一体以为分寸厘毫丝之法与数也至亥而得十七万七千一百四十七是为黄钟之实凡分寸厘毫丝之法与数皆以此数乗除而得之详具下文
丑 三【三其子之一也】 黄钟丝法
其法以三为一丝以此丝法三归黄钟十七万七千一百四十七之数则得五万九千□□四十九为丝数【其丝法与丝数自然相符余仿此】
寅 九【三其丑之三也】 黄钟寸数
其寸数共九以黄钟十七万七千一百四十七之数九归之则得一万九千六百八十三为寸法【其寸数又与寸法自相符余仿此】
卯 二十七【三其寅之九也】 黄钟毫法
其法以二十七为一毫以此毫法归除黄钟十七万七千一百四十七之数则得六千五百六十一为毫数
辰 八十一【三其卯之二十七也】 黄钟分数
其分数共八十一以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之则得二千一百八十七为分法
已 二百四十三【三其辰之八十一也】 黄钟厘法
其法以二百四十三为一厘以此厘法归除黄钟十七万七千一百四十七之数则得七百二十九为厘数
午 七百二十九【三其已之二百四十三也】 黄钟厘数
其厘数共七百二十九以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之则得二百四十三为厘法
未 二千一百八十七【三其午之七百二十九也】 黄钟分法其法以二千一百八十七为一分以此分法归除黄钟十七万七千一百四十七之数则得八十一为分数
申 六千五百六十一【三其未之二千一百八十七也】 黄钟毫数其毫数共六千五百六十一以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之则得二十七为毫法
酉 一万九千六百八十三【三其申之六千五百六十一也】黄钟寸法其法以一万九千六百八十三为一寸以此寸法除黄钟十七万七千一百四十七之数则得九为寸数
戌 五万九千□□四十九【三其酉之一万九千六百八十三也】黄钟丝数其丝数共五万九千□□四十九以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之则得三为丝法
亥 十七万七千一百四十七【三其戌之五万九千四十九也】黄钟之实置子之一而以三歴十二辰至亥而得此数是为黄钟之实所以统体十二辰之全数盖与子之一相为首尾故凡黄钟寸分厘毫丝之法与数皆以此数乗除而得之若由此数而三分损益之又所以逓生十一律也详见下章
蔡氏曰黄钟九寸以三分为损益故以三歴十二辰得一十七万七千一百四十七为黄钟之实其十二辰所得之数在子寅辰午申戌六阳辰为黄钟寸分厘毫丝之数在亥酉未己卯丑六阴辰为黄钟寸分厘毫丝之法其寸分厘毫丝之法皆用九数故九丝为毫九毫为厘九厘为分九分为寸九寸为黄钟由是三分损益以生十一律焉
又曰按淮南子谓置一而十一三之积十七万七千一百四十七为黄钟大数即律书所谓置一而九三之以为寸法者其术一也【彭氏曰史记律书曰置一而九三之以为法实如法得长一寸凡得九寸命曰黄钟之律按汉志太极元气函三为一三者天地人也一即天也二则兼天与地三则参天地与人故元气之动始于子一而即巳具三三之于丑得三三之于寅得九三之于卯得二十七三之于辰得八十一三之于巳得二百四十三三之于午得七百二十九三之于未得二千一百八十七三之于中得六千五百六十一三之于酉得一万九千六百八十三三之于戌得五万九千四十九三之于亥得十七万七千一百四十七此元气运行于十二辰用三施化其自然之数有如此也黄钟居子位其忽数亦始于一凡十一次三之得十七万七千一百四十七忽与亥数合此即是黄钟一律从长忽数所谓实也既得实数乃置一忽之数凡九次三之得万九千六百八十三忽与酉数合以此求黄钟从长寸数此即所谓置一而九三之以为法也以法除实每万九千六百八十三得一寸凡九次除之而实数尽适得九寸此即所谓实如法得长一寸凡得九寸命曰黄钟之律也】夫置一而九三之既为寸法则七三之为分法五三之为厘法三三之为毫法一三之为丝法从可知矣律书独举寸法者盖已于生钟分内黙具律寸分厘毫丝之法而又于此律数之下指其大者以明凡例也一三之而得三三三之而得二十七五三之而得二百四十三七三之而得二千一百八十七九三之而得一万九千六百八十三故一万九千六百八十三以九分之则为二千一百八十七二千一百八十七以九分之则为二百四十三二百四十三以九分之则为二十七二十七以九分之则为三三者丝法也九其三得二十七则毫法也九其二十七得二百四十三则厘法也九其二百四十三得二千一百八十七则分法也九其二千一百八十七得一万九千六百八十三则寸法也一寸九分一分九厘一厘九毫一毫九丝以之生十一律以之生五声二变上下乗除参同契合无所不通盖数之自然也顾自淮南太史公之后即无识其意者如京房之六十律虽亦用此十七万七千一百四十七之数然乃谓不盈寸者十之所得为分又不盈分者十之所得为小分以其余为强弱不知黄钟九寸以三损益数不出九苟不盈分者十之则其竒零无时而能尽虽泛以强弱该之而卒无以见强弱之为几何则其数之精微固有不可得而纪者矣至于杜佑胡瑗范蜀公等则又不复知有此数而以意强为之法故通典则自南吕而下各自为法固不可以见分厘毫丝之实故范则止用八百一十分乃是以积实生量之数为律之长而其因乗之法亦用十数故其余算亦皆弃而不録盖非有意于弃之实其重分累析至于无数之可纪故有所不得而録耳夫自丝以下虽非目力之所能分然既有其数而或一算之差则法于此而遂变不以约十为九之法分之则有终不可得而齐者故淮南太史公之书其论此也已详特房等有不察耳【司马祯史记索隠注黄钟八寸十分一云律九九八十一故云八寸十分一汉书云长九寸者九分之寸也此则古人论律以九分为寸之明验也】
