欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

第一百十二卷目錄

算法部彙考四

漢徐岳數術記遺〈數術〉

宋謝察微算經〈大數　小數　度　量　衡　畝　九章名義　用字例義〉

夢溪筆談〈筭法〉

曆法典第一百十二卷

算法部彙考四

漢徐岳數術記遺

數術

余以天門金虎，呼吸精泉。

按《星經》云：昴者，西方白虎之宿。太白者，金之精也。太白入昴，金虎相薄，法有兵亂。周宣王時，有人採薪於郊間，歌曰：「金虎入門，呼長精，吸元泉。」 時人莫能知其義。老君曰：「太白入昴，兵其亂。」 徐氏名岳，東萊人。蓋以漢室版蕩，又譎詭見於天，將訪名山，自求多福也。

羽檄星馳，郊多走馬。

按漢徵天下兵，必露檄插羽也。《老君》曰：「天下有道，卻走馬以糞；天下無道，戎馬生於郊也。」

遂負帙游山，蹠跡志道。

蹠跡者，兩足共躡一足跡也。漢文帝，河上公蹠跡為士。

備歷丘嶽林壑，必過。乃於太山見劉會稽，博識多聞， 遍於數術。余因受業，頗稔所由。余時問曰：「數有窮乎？」 會稽曰：「吾曾游天目山中。」

會稽官號，漢中人也。按《曆志》稱「靈帝光和中，穀城守門候太山劉洪造《乾象曆》，又制月行遲疾陰陽曆，自洪始也。方於太初四分，轉精密矣。洪後為會稽太守，劉洪付乾象於東萊徐岳，又授吳中書令闞澤，澤甚重焉，為注解。」 今案：《地記》，天目山在吳興之界。

見有隱者，世莫知其名，號曰天目先生，余亦以此意 問之。先生曰：「世人言三，不能比兩，乃云捐悶與四維。」

《藝經》云：《捐悶》者，周公作也。先本位以十二時相從，其文曰：「周有文章，虎不如龍。豕者何為？來入兔宮。王孫出卜，乃造黃鐘。犬就馬廐，非類相從。羊奔蛇穴，牛入雞籠。」徐援稱捐悶乃是奇兩之術，發首即奇一後乃奇，兩者即為疑。《更調》曰：「大豬東行遁虎坑，兔子欲宿入馬廐，羊來入村狗所屯，大牛何知乘龍上，蛇往西」方、入猴鄉、雞鳴不止、夜。〈闕二字。〉其言三，不能比兩者，孔子所造也。布十干於其方，戊己在西南維。其文曰：「火為木，生甲呼丁，夫婦義重，己隨壬，貴遺則統領辛，參南丙，妻則須守乙，後火戊子，天癸就庚」四維，東萊子所造也。布十二時四維之一，其文曰：「天行星紀，石隨龍淵，風吹羊圈，天門地連，兔居蛇穴，馬到猴邊，雞飛豬鄉，鼠入虎廛摯。」亦有四維之戲，與此異焉。

數不識三，妄談知十。

三者，上中下也，「十數」 ，昴一數也。於先之意，非止十等之名，將關《大衍》之旨，事一也；

「猶川人事迷其指歸」，乃恨司方之手爽。

「司方」者，指南車也。《狐疑論》稱黃帝將見大隗於具茨之山，至襄城之野，川谷之山率多斜曲。川人曰：積數之常，乃固以之，非《指南車》之為爽，乃指謂〈闕。〉「擢，司方所指者，乃為我等之西也。然則指南豈其謬也？」乃行數里，川人又曰：「司方所指，我等之東也。」眾共論之為疑笑。於時容成子怪而問之，川人以其狀白對。容成曰：「在此望之，具茨之山，於汝住所，復在何方？」川人又曰：「在我之東。」容成曰：「汝向言在西，今更在東，何言不常也？此非山川之移，川曲之斜，人心之惑耳。」川人乃請於斜曲之中，定東西南北之術。容成曰：「當豎一木為表，以索繫之，表引索繞表畫地為規。日初出影長，則出圓規之外，向中影漸短，入規之中，候西北隅影初入規之處則記之。乃過中影漸長，出規之外，候東北隅影初出規之處又記之。取二記之所，即正東西也；折半以指表，則正南北也。」川人志之，以為知方之術。

未識剎那之賒促，安知麻姑之桑田。

按《楞伽經》云。「稱量長短者。積剎那數。以成日夜剎。」

那量者，壯夫一彈日指過頃，遙六十四剎那，二百四剎那名一恆剎那，三十恆剎那名一婆羅，三十婆羅名一摩睺羅多，三十摩睺羅多子為一日一夜，其一日一夜有六百四十八萬剎那。《神仙傳》稱：麻姑謂王方平曰：「『自接待以來，見東海為桑田，向到蓬萊，水乃淺於往者略半也，豈復將為陵陸乎』？方平乃曰：『東海行復揚塵耳』。」

不辨《積微》之為量，鉅曉百億與大千

按《楞伽經》云：「積微成一阿耨，七阿耨為一銅上塵，七銅上塵為一水上塵，七水上塵為兔毫上塵，七兔毫上塵為一羊毛上塵，七羊毛上塵為一牛毛上塵，七牛毛上塵為一嚮中由塵，七嚮中由塵成一蟣，七蟣成一蝨，七蝨成一麥橫，七麥橫成一指節，二十四指節為一肘，四肘為一弓，去肘五百弓為阿蘭惹。」據若摩竭國人，一拘盧舍為五里，八拘盧舍為一由旬，一由旬計之，為四十里也。及以算校之，正得一十七里。何者？計二尺為一肘，四肘為一弓，弓長八尺也，計五百弓有四千尺也。八拘盧舍則有三萬二千尺，除之得五千三百三十三步。以里法三百步除之，得一十七里，餘二百三十三步。《華嚴經》云：「四天下共一日月為一世界，有千世界，有一小鐵圍山遶之，名曰小千世界；有一小千世界，有中鐵圍山遶之，名曰中千世界；有中千世界，有大鐵圍山遶之，名曰大千世界。」此三千大千世界之中有百億須彌山，乃今校之，世有十億日月、十億須彌山。何者？置小千世界之中，有一千日月，以一千乘之，得一百萬，即中千世界中日月數也。置中千世界日月之數，以一千乘之，得即大千世界日月之數也。又云：「四天下者，須彌山南曰閻浮提山，北曰鬱丹越山，東曰」〈闕。〉「提山，西曰俱瞿耶尼山，其日月一日一夜，照四天下：山南日中，山北夜半，山東日中，山西夜半。及以成事驗之，則有疑矣。」何者？按閻浮提人在須彌山南，及至二月、八月春秋分，晝夜停，以漏刻度之，則晝夜各五十刻也。然則日初出時，東向視日之當我之東即漏刻，及其日浸當我之西五十刻，其一日一夜之中，遶三天下而來，所以至曉亦得五十刻也。胡以十萬為億，有百倍。日月四天下等事，有所未詳也。

黃帝為法，數有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，「億、 兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。」三等者，謂上、中、下也。其下數 者，十十變之。若言「十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京」也。 中數者，萬萬變之。若言「萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬 兆曰京」也。上數者，數窮則變。若言「萬萬曰億，億億曰 兆，兆兆曰京」也。

按《詩》云：「胡取禾三百億兮」 ，毛注曰：「萬萬曰億」 ，此即中數也。鄭注云：「十萬曰億」 ，此即下數也。徐《援受記》云：「億億曰兆，兆兆曰京也」 ，此即上數也。鄭注以數為多，故合而言之。

從億至載，終於《大衍》。

按《易經》「大衍之數五十，其用四十有九。」 又云：「天一地二，天三地四，天五地六、天七地八，天九地十。天數五，地數五。天數二十有五，地數三十。凡天地之數五十有五也。」

下數淺短，計事則不盡；上數宏廓，世不可用。故其傳 業惟以中數耳。余時問曰：「先生之言上數者，數窮則 變。既云終於《大衍》，大衍有限，此何得窮？」先生笑曰：「蓋 未之思耳。數之為用，言重則變，以小兼大，又加循環， 循環之理，豈有窮乎？」

小兼大者備加董氏三等術數加，更載為煩，故略焉。

余又問曰：「為算之體，皆以積為名，為復更有他法乎？」 先生曰：「《隸首注術》，乃有多種，及余遺忘記憶數事而 已。」

其一積等，　其一太乙，　其一兩儀，　其一三才， 其一五行，　其一八卦，　其一九宮，　其一運算， 其一了知，　其一成數，　其一把頭，　其一龜算， 其一珠算，　其一計算。

此等諸法，隨須更位，惟有「九宮，守一不移，位依行色， 並應無窮。」

從積以來至珠算從一至於百千已上，位更不變改。位依行色者，位依五行之色，北方水色黑，數一；南方火色赤，數二；東方木色青，數三；西方金色白，數四；中央土色黃，數五。言位依行色各一位，第一用元珠十位，第二用赤珠百位，第三用青珠千位，第四用白珠萬位，第五用黃珠千萬位。以白綖繫黃珠萬萬位曰億。以黃綖繫黃珠。自餘諸位唯兼之。故曰「並應無窮」 也。

余慕其術，慮恐遺忘，故與好事後生記之云耳。《積算》

今之常算者也，以竹為之，長四寸以效四時，方三分以象三才，言算法是包括天地，以燭人情，數始四時，終於大衍，猶如循環，故曰「今之常算」 是也。

《太一算》：「太一之行，去來九道。」

刻板橫為九道，豎以為柱，柱上一珠，數從下始，故曰「去來九道」 也。

《兩儀》算天氣，下通地稟四時。

刻板橫為五道，豎為位，一位兩珠，色青，下珠色黃，上珠。其青珠自上而下，第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黃珠自下而上，第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三。第

四刻主四而已，故曰：「天氣下通，地稟四時也。」

《三才算》：天地和同，隨物變通

刻板橫為三道，上刻為天，中刻為地，下刻為人，豎為算位。有三珠，青珠屬天，黃珠屬地，白球屬人。又其三珠，通行三道。若天珠在天為九，在地主六，在人主三。其地珠在天為八，在地主五，在人主二；人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰：「天地和同，隨物變通」也。《况》〈闕。〉《三元》：上元甲子一七四，中元甲子二八五，下元甲子三六九，隨物變通也。

五行算以生兼，生生變無窮。

五行之法：水元生數一，火赤生數二，木青生數三，金白生數四，土黃生數五。今為五行算，色別九枚，以五行色數相配，為算之位。假令九億八千七百六十五萬四千三百二十一者，則以白算配黃為九億，以青算配黃為八千，以赤算配黃為七百，以元算配黃算為六十，以一黃算為五萬，以一白算為四千，以一青算為三百，以一赤算為二十，以元算為一也。故曰：「以生兼生，生變無窮。」

八卦算針，刺八方位闕從天。

算為之法：位用一針鋒所指，以定算位數一從離起，指正南離為一，西南坤為二，正西兌為三，西北乾為四，正北坎為五，東北艮為六，正東震為七，東南巽為八。至九位闕即在中央，豎而指天，故曰：「位闕從天」 也。

九宮算五行，參數猶如循環。

九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。「五行參數」 者，設位之法，依五行，已注於上是也。

《運籌算》，小往大來，運於指掌。

此法位別，須算籌一枚，各長五寸。至一籌上，各為五刻。「上頭一刻，近一頭刻之，其下四刻，迭相去一寸，令去下頭亦一寸。」 入手取四指三間，間有三節：「初食指上節間為一位，第二節間為十位，第三節間為百位，至中指上節間為千位，中節間為萬位，下節間為十萬位。無名指上節間為百萬位，中為千萬位，下為億」 也。它皆倣此。至算刻近頭者，一刻主五；其遠頭者，一刻之別。從下而起，主一主二，主三主四。若一二三四，頭則向下於掌中，中若具五，則迴取上頭向掌中，故曰「小往大來」 也。迴游於手掌之間，故曰：「運於指掌」 也。

了知算首唯秉五，腹背兩兼。

了算之法，一位為一了字。其了有三曲：其下股之末，內主一，外主九；下次第一曲，內主二，外主八；當第二曲，內主三，外主七；其第三曲，內主四，外主六；當了字之首，則主五。故曰：「首唯秉五，腹背兩兼」 也。

成數算：春夏生養，秋收冬成。

算之法位，別須五色算一枚，其一算之象頭，各以黃色為本，以生數也。餘色為首，其五行各配土，為成數也。水元生數一，成數六；火赤生數二，成數七；木青生數三，成數八；金白生數四，成數九。若以首向東及南為生數，向西及北為成數，假令有九億八千七百六十五萬四千三百二十一者，則以白算首向北，為九億，以青算首向西為八千，以赤算首向北為七百，以元算首向西為六十，以黃算一枚豎為五萬，以白算首向東為四千，以青算首向南為三百，以赤算首向東為二十，以元算首向南為一也。故首向東向南為生數，向西向北為成數。故云「春夏生養，秋收冬成」 也。

把頭算，以身當五目視四方。

把頭之法，別須算二枚，一漫一齒者，一面刻為一，其一面為二，一面為三，其一面為四也。漫者為把，為猶即當五算。生齒者為把頭，一目當一算，故曰「以身當五目視四方」 也。

《龜算》「春夏秋成，遇冬則停。」

為算之法，位別一龜，龜之四面為十二時。以龜首指寅為一指，卯為二指，辰為三指，巳為四指，午為五指，未為六指，申為七指，酉為八指，戌為九指，亥為十龜。頭指不以為數，故去，遇冬則停也。

《珠算》：「控帶四時」，經緯三才。

刻板為三分，其上下二分以停游珠，中間一分以定算位。位各五珠，上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當其下四珠，珠各當一，至下四珠所領，故云「控帶四時。」 其珠游於三方之中，故云「經緯三才」 也。

《計數》既捨數，術宜從心計。

言《捨數術》者，謂不用算籌，宜以心計之。《或問》曰：「今有大水，不知廣狹，欲不用算籌度而知之。假令於水北度之者，在水北置三表，令南北相直，各相去一丈。人在中表之北，平直相望。北水岸令三相直，即記南表相望、相直之處。其中表人目望處，亦記之。又從中相望處，直望水南岸，三相直看南表相。」

直之處亦記之。取南表二記之處高下，以等北表點記之。還從中表前望之所北望之，北表下設三相直，之北即河北岸也。又望上記三相直之處即河北岸，中間則水廣狹也。或曰：「今有長竿一枚，不知高下，既不用籌算，云何計而知之？」 答曰：「取竿之影，任其長短，畫地記之。假令手中有三尺之物，亦豎之。取杖下之」 影長短以量竿影得矣。或問曰：「今有深坑，在上看之，可知尺數幾否？」 答曰：「以一丈極意長短，假令以一丈之杖擲著坑中，人在岸上手提之，一杖，舒手望坑中之杖遙量知其寸數，即令一人於平地捉一丈之杖，漸令卻行，以前者遙望坑中，寸量之，與望坑中數等者即得。」 或問曰：「令甲乙各驅羊一群」 ，人各問多少，而甲曰：「更得乙一口。」 即加五多於甲。問各幾何？答曰：「甲九口，乙十一口。」 或問曰：「甲乙各驅羊，行人問其多少」 ，甲曰：「我得乙一口，即與乙等。」 乙曰：「我得甲一口。則倍多於甲。」 問「各幾何？」 答曰：「甲二乙四。」 或問曰：「今有雞翁一隻，直五文，雞母一隻直四文，雞兒一文得四隻，合有錢一百文，買雞大」 小一百隻。問各幾何？答曰：「雞翁十五隻，雞母一隻，雞兒八十四隻，各大小一百隻。計數多少，略舉其例。」 或問曰：「今有雞翁一隻直四文，雞母一隻直三文，雞兒三隻直一文，合有錢一百文。還買雞大小一百隻。」 問各幾何？答曰：「雞翁八隻，雞母十四隻，雞兒七十八隻，合一百隻。」

或問鸞曰：「世人乃云算位者，算子則豎，信有之乎？」鸞 答之曰：「依如針算，則以針鋒指八卦之位，一從《離》起， 左行周帀至巽，八位既合，及其至九，無位可指，是以 在中，豎而指天，故曰有位合。算子，豎之名也。」又問鸞 曰：「昔有吳人趙達，用一等之法，頭乘尾除，其有此術 乎？」鸞答之曰：「此乃傳之失實，猶公獲夔一足，丁氏穿 井而獲一人也。何者？按乘之法，重張其位以上呼一， 置得於中，置所除之數於下，又置得於上，亦三重張 位，然則乘之與除法用不同，欲以一算上下當六重 之身，增損為眾位之實，若其神也，則藉一算之功，如 其凡也，理不可爾。」問者又曰：「若如來指為妄矣，此言 何從而至？」鸞答之曰：「此亦傳之過實」也。何者？積一算 者，葢一位用一算也。「頭乘尾除」者，欲使乘別位，乘時 以針鋒指之，除時則用針尾撝之，故有「頭乘尾除」之 名也。

宋謝察微算經

大數

一、〈大數之始也〉　　　　十。〈十箇一為十〉　　　　　　　　百。〈十箇十為百〉　《千》。〈十箇百為千〉 萬。〈十千為萬數之成也〉　十萬、　　　　　　　　　　　　　　百萬、　　　　　　　千萬 億。〈萬萬曰億〉　　　　　十億，　　　　　　　　　　　　　　百億，　　　　　　　千億， 萬億，　　　　　　　　　　《十萬》億，　　　　　　　　　　　　　《百萬》億，　　　　　　《千萬億 兆》〈萬萬億〉　　　　　　京。〈萬萬兆〉　　　　　　　　　　《垓》。〈萬萬京〉　　　《秭》。〈萬萬垓〉

小數

分。〈十釐為分〉　　　　　釐。〈十毫〉　　　　　　　　　　　毫。〈十絲〉　　　　絲：〈十忽〉　　　　忽。〈十微〉 微。〈十纖〉　　　　　　　纖。〈十沙〉　　　　　　　　　　　沙。〈十塵〉　　　　塵。〈埃渺〉

度

丈。〈十尺〉　　　　　　　尺：〈十寸〉　　　　　　　　　　　《寸》。〈十分〉　　　　分。〈十釐〉 釐　　　　　　　　　　　毫　　　　　　　　　　　　　　　絲　　　　　　　　忽。〈已上同前〉 《疋》。〈四丈今無定制〉　　　《端》：〈五丈今亦不一〉

量

石：〈十斗〉　　　　　　　斗。〈十升〉　　　　　　　　　　　升。〈十合〉　　　　合。〈十勺〉 勺。〈十抄〉　　　　　　　抄。〈十撮〉　　　　　　　　　　　撮。〈十圭〉　　　　圭。〈六粟〉 粟。〈即一粒之粟也〉　　　斛。〈古一石今五斗或二斗五升〉　　釜。〈六斗四升〉 庾。〈十六斗〉　　　　　　《秉》。〈十六斛〉

衡

斤。〈十六兩〉　　　　　　兩。〈二十四銖〉　　　　　　　　　銖。〈十絫〉　　　　《絫》。〈十黍〉 黍：〈禾方得而有準〉　　　秤。〈原十五斤今二十斤或三十斤〉　《鈞》。〈二秤〉 石：〈四鈞〉　　　　　　　引。〈二百斤〉

今兩之下，惟用錢分釐毫絲忽也。

畝

畝。〈橫一步直二百四十步即闊一丈長六十丈也〉

若以自方五尺計之，積六千尺也。

步。〈方五尺也〉　　　　　分。〈五寸〉　　　　　　　　　　　釐。〈半寸〉　　　　毫 絲　　　　　　　　　　　忽　　　　　　　　　　　　　　　里。〈三百六十步〉

計一百八十丈，約人行一千步。

頃。〈今以百畝為頃〉

「頃畝」 者，乃積稅之總也。二十四步為一分，十分為畝，畝之以下曰「釐毫絲忽。」

角。〈一畝分為四角每角六十步也〉

九章名義

一曰《方田》。〈以御田疇界域〉二曰《粟布》。〈以御交質變易〉 三曰「衰分。」〈以御貴賤廩稅〉四曰少廣。〈以御積幂方圓〉 五曰《商功》。〈以御功程積實〉六曰《均輸》。〈以御遠近勞費〉 七曰《盈朒》。〈以御隱雜互見〉八曰《方程》。〈以御雜揉正負〉 九曰「句股」，〈以御高深廣遠〉

用字例義

法。〈樣數也〉　　　　　　　　實。〈本數也〉　　　　　　　　　　　因。〈法之單位者又由也〉　　　　　《歸》。〈入己之數也〉加。〈增添也〉　　　　　　　　減。〈除少也〉　　　　　　　　　　　乘。〈法之多位也〉　　　　　　　　《歸》。〈先歸後除合名也〉 除：〈減少也〉　　　　　　　　《積》。〈乘成之數也〉　　　　　　　　　乘。〈法實合變數也〉　　　　　　　如：〈九數用此下一位也〉 身。〈本位也〉　　　　　　　　《則》。〈法也〉　　　　　　　　　　　　左：〈上邊大位也〉　　　　　　　　右。〈下邊小位也〉 縱。〈直長也〉　　　　　　　　橫。〈廣闊也〉　　　　　　　　　　　《廣》。〈橫闊也〉　　　　　　　　　　闊。〈橫廣也〉 直。〈長也〉　　　　　　　　　面。〈方面也〉　　　　　　　　　　　高。〈立起也〉　　　　　　　　　　深。〈陷下也〉 倍。〈加上本數也〉　　　　　　併。〈二數相合也〉　　　　　　　　　截：〈割斷也〉　　　　　　　　　　分。〈撥開也〉 原。〈初數也〉　　　　　　　　差。〈多少不同數也〉　　　　　　　　通。〈會同其數〉　　　　　　　　　變。〈改換其數〉 約。〈量度也〉　　　　　　　　中。〈筭盤之中〉　　　　　　　　　　進。〈移上前一位〉　　　　　　　　《逢》。〈遇有數而言逢〉 上。〈脊梁之上又位之左〉　　　下。〈脊梁之下又位之右〉　　　　　　挨。〈隨身變數也〉　　　　　　　　退。〈移下後一位〉 《句》。〈短也〉　　　　　　　　　股。〈長也〉　　　　　　　　　　　　弦。〈句股斜去日弦弧矢亦有弦也〉 斜。〈兩隅相去又不正也〉　　　隅。〈曲角也〉　　　　　　　　　　　長。〈直也〉　　　　　　　　　　　《周》。〈外圍也〉 較。〈相減餘也〉　　　　　　　廉。〈方直也〉　　　　　　　　　　　方。〈四面同數〉　　　　　　　　　徑。〈周中之弦〉 脊。〈盤中橫梁隔木〉　　　　　列位：〈各置位次〉　　　　　　　　　《折半》。〈減去一半〉　　　　　　　　還原。〈復舊數也〉 《商除》：〈心與意商量而除之也〉　相乘。〈長闊或銀貨等〉　　　　　　　自乘：〈法實數自相乘〉 再乘。〈自乘之而又乘〉　　　　遍乘。〈先以一法遍乘諸數〉　　　　　商總：〈合用商開之法 於盤中〉　　　　　　　　　　開方。〈即自乘還原也〉　　　　　　　開立。〈即自乘再乘之還原也〉 中實。〈即商總也〉　　　　　　併率。〈如一二三四五併得十五數也〉　《得令》。〈斤兩貫箇石等 類也〉　　　　　　　　　　　《得術》：〈乃法首位每下該得之名〉　　　互乘。〈如四處數目上 下斜角相乘〉　　　　　　　　相較。〈如二數以少減多餘曰較〉　　　合得。〈筭數定奪〉 維乘。〈四處顧創相乘〉　　　　若干，〈一為數始十為數終未筭難定〉　幾何？〈與若干相同〉

《夢溪筆談》

算法

審方面勢覆量高深遠近，算家謂之專術。專之文象 形，如繩木所用墨㪷也。求星辰之行步氣朔消長，謂 之綴術，謂不可以形察，但以算數綴之而已。北齊祖 暅有《綴術》二卷， 算術求積尺之法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、 圓錐、陽馬之類，物形備矣，獨未有隙積一術。古法凡 算方積之物有立方，謂六冪皆方者，其法再自乘，則 得之。「有塹堵」，謂如土牆者，兩邊殺，兩頭齊。其法：併上、 下廣，折半以為之廣，以直高乘之。又以直高為句，以 上廣減下廣，餘者為股。句股乘弦，以為斜高。「有芻童」， 謂如覆㪷者，四面皆殺。其法：倍上長，加入下長，以上 廣乘之；倍下長，加入上長，以下廣乘之。併二位法，以 高乘之。「六而二隙積」者，謂積之有隙者，如累棋層壇 及酒家積罌之類，雖似覆㪷，四面皆殺，緣有刻缺及 虛隙之處，用《芻童法》求之，常失於數少。予思而得之， 用《芻童法》為上行，下行別列下廣，以上廣減之，餘者 以高乘之，六而一，併入上行。

假令積罌最上行縱橫各二罌，最下行各十二罌，行行相次先止，以上行相次率至十二，當十一行也。以《芻童法》求之，以上行二倍之得四，併入下長十二，得十六。以上廣二乘之，得三十二。又倍下長，得二十四。以上廣二併入，共得二十六。以下廣十二乘之，得三百一十二。以十六與二相乘，所得之三十二併之，共得三百四十四，以高十一乘之，得三千七百八十四，為實。重列下廣十二，以上廣二減之，餘十，以高十一乘之，得一百一十，併入實內，共三千八百九十四。以六歸之，得六百四十九，此為罌數也。芻童求見實方之積，隙積求見合角不盡，蓋出羨積也。

履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術。凡圓田既 能折之，須使會之復圓。古法惟以中破圓法折之，其 失有及三倍者。予別為折會之術：置圓田徑，半之以 為弦，又以半徑減去所割數，餘者為股，各自乘，以股 除弦餘者，開方除，為句，倍之，為割田之直徑。以所割 之數自乘，退一位，倍之，又以圓徑除，所得加入直徑， 為割田之弧。再割亦如之。減去已割之數，則《再割》之 數也。

假令有圓田徑十步，欲割二步，以半徑為弦，五步自乘，得二十五。又以半徑減去所割二步，餘三步為股，自乘，得九，用減弦外，有十六，開平方除，得四步為句，倍之，為所割直徑。以所割之數二步自乘，為四，倍之，得為八，退上一倍，為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已是盈數，無可除，只用四尺加入直徑，為所割之弧。凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步求弧數，則當折半，乃所謂「以圓徑除之」 也。

此二類皆造微之術，古書所不到者，漫志於此。