命题xxxii 定理xxvi
如果两个相似的物体系统由数目相等的小部分构成，且对应的小部分相似且成比例，在一个系统中的每一个对在另一个系统中的每一个，处于彼此相似的位置，且具有密度相互间的给定之比，且它们彼此在成比例的时间开始相似的运动（在一个系统中的小部分彼此之间且在另一个系统中的小部分彼此之间），如果在同一个系统中小部分相互不接触，除非在反射的瞬间；亦不相互吸引或者排斥，除非加速力与对应的小部分的直径成反比且与速度的平方成正比：我说，那些系统的小部分在成比例的时间彼此继续相似的运动。
我说，相似且处于相似位置的物体在成比例的时间彼此的运动相似，当那些时间结束时，它们相互之间总在相似的位置：假如一个系统的小部分与另一个系统对应的小部分相比较。因此时间成比例，在此期间由对应的小部分画出相似图形的相似且成比例的部分。所以如果存在此类的两个系统，它们对应的小部分，由于在运动开始时的相似性，将继续相似的运动，直到它们彼此相遇。因为如果没有力的作用，由运动的定律i，它们将在直线上均匀地前进。如果它们由某一个力相互作用，且那些力与对应的小部分的直径成反比，且与速度的平方成正比，因为小部分的位置相似且力成比例，总的力，由它对应的小部分受到作用，由每个作用力（按照诸定律的系理2）合成，有相似的指向，一如它们趋向位于小部分中的相似的中心，且那些总力彼此如同每个分量，这就是，与对应的小部分的直径成反比，且与速度的平方成正比；所以使对应的小部分继续画出相似的图形。只要那些中心静止（由第i卷命题iv系理1和系理8）事情将会如此。但如果它们运动，因为移动的相似性，它们的位置在系统的小部分之间保持相似；在小部分画出的图形中引入相似的变化，所以，对应且相似的小部分的运动相似直到它们初次相撞，且所以相撞相似，反射相似。然后（由已证明的）小部分之间彼此的运动相似直到它们再次相撞，且如此继续，以至无穷。此即所证 。
系理1 因此，如果任意两个物体，它们相似且相对于系统的对应的小部分处于相似的位置，在成比例的时间它们开始相似的运动，且如果它们的大小和密度彼此如同对应的小部分的大小和密度：这些物体在成比例的时间继续相似的运动。因为对两个系统中较大的部分与对小部分，情况是一样的。
系理2 如果两个系统中所有相似且位于相似位置的部分彼此静止，且它们中的两个，它们大于其余的，且在两个系统中相互对应，沿位置相似的线开始无论何种相似的运动，它们引起系统的其余部分的相似的运动，而且其余部分之间在成比例的时间继续相似的运动；且因此画出的空间与它们的直径成比例。
命题xxxiii 定理xxvii
假定同样的情形，我说，系统的较大的部分受到的阻碍按照来自它们速度的二次比和直径的二次比以及系统的部分的密度之比的复合比。
因为阻力部分地来源于向心力或者离心力，由它们系统中的小部分相互作用，部分地来源于小部分和较大部分的相撞和反射。第一种阻力彼此如同整个引起运动的力，阻力来源于此，亦即，如同整个加速力以及对应的部分的物质的量；这就是（由假设）与速度的平方成正比且与对应的小部分的距离成反比，又与对应的部分的物质的量成正比：且因此，由于一个系统中小部分的距离比另一个系统中对应的小部分的距离如同前一系统的小部分或者部分的直径比后一系统中对应的小部分或者部分的直径，且物质的量如同部分的密度和直径的立方；阻力彼此如同速度的平方和直径的平方，以及系统的部分的密度。此即所证 。后一类阻力如同对应反射的数目和力的联合。但反射的数目彼此与对应部分的速度成正比，与它们的反射之间的空间成反比。且反射力如同对应部分的速度和大小以及密度的联合；亦即，如同部分的速度和直径的立方以及密度。且如果所有这些比联合起来，对应部分的阻力彼此如同部分的速度的平方和直径的平方以及密度的联合。此即所证 。
系理1 所以，如果那些系统是像空气那样的两种弹性流体，且它们的部分相互静止；此外两个相似物体与流体的部分的大小和密度成比例，且在那些部分中被放在相似的位置，两者沿位置相似的直线被抛射；且加速力，由它流体的小部分相互作用，与被抛射的物体的直径成反比，且与速度的平方成正比：那些物体在成比例的时间在流体中引起相似的运动，它们画出的空间相似且与它们的直径成比例。
系理2 因此在同样的流体中一个快速的抛射体所承受的阻力，差不多按照速度的二次比。因为，如果力，由它远离的小部分相互作用，按照速度的二次比被增大，阻力将精确地按照相同的二次比；且因此在一种介质中，它的部分由于它们彼此远离而没有力相互作用，阻力精确地按照速度的二次比。所以，令a，b，c为由相似且相等并按等距离规则分布的部分构成的三种介质。设介质a和b的部分以彼此如同t和v的力相互退离，介质c的部分完全隔离这种力。且如果四个相等的物体d，e，f，g在这些介质中运动，前两个物体d和e［分别］在前两种介质a和b中，且后两个物体f和g在第三种介质c中；又设物体d比物体e的速度，且物体f比物体g的速度按照力t比力v的二分之一次比：物体d的阻力比物体e的阻力，且物体f的阻力比物体g的阻力，按照速度的二次比；且所以物体d的阻力比物体f的阻力如同物体e的阻力比物体g的阻力。令物体d和f等速，如同物体e和g；且按照任意的比增大物体d和f的速度，再按照同一比的二次方减小介质b中的小部分的力，介质b任意靠近介质c的形态和条件，且因此相等且等速的物体e和g在这些介质中的阻力持续接近相等，使得它们的差在最终变得小于任意给定的差。所以，由于物体d和f的阻力彼此如同物体e和g的阻力，它们也类似地接近等量之比。所以物体d和f的阻力，当它们更迅速地运动时，接近相等；且因此，由于物体f的阻力按照速度的二次比，物体d的阻力很接近地按照相同的比。
系理3 在任意弹性流体中快速运动的一个物体的阻力几乎与如果流体的部分的离心力被隔离，且不相互退离时一样，只要流体的弹性力来源于小部分的离心力，且速度如此之大致使力没有足够的时间［发生］作用。
系理4 因此，由于相似且等速物体的阻力，在一种其远离的部分不相互退离的介质中，如同直径的平方；等速且快速运动的物体在弹性流体中的阻力也很近似地如同直径的平方。
系理5 且由于相似，相等且等速的物体，在同样密度的介质中，介质的小部分不相互退离，无论那些小部分是较多且较小，或者是较少且较大，在相等的时间与相等的物质的量相撞，所以在那些物质上施加等量的运动，且反过来（由运动的第三定律）物体受到来自流体物质的相等的反作用，这就是，受到同等的阻碍；显然在相同密度的弹性流体中，当［物体］非常快速地运动时，它们的阻力近似相等；无论那些流体由较粗糙的小部分构成，或者由非常精微的小部分构成。介质的细微性对非常快速地运动的抛射体的阻力没有大的减小。
系理6 所有这些论断在其弹性力来源于小部分的离心力的流体中如此。但如果那个力有别的来源，例如小部分以类似羊毛或者树枝的方式扩张，或者由于任意其他的原因，它使小部分之间的运动更少自由；阻力，由于介质的较小的流动性，较在以上的引理中为大。
命题xxxiv 定理xxviii
如果一个球和一个圆柱由相同的直径画出，在由相等且彼此等距地自由放置的小部分构成的稀薄介质中，沿圆柱的轴的方向以相同的速度运动：球的阻力是圆柱的阻力的一半。
因为介质在同一个物体上的作用是相同的（由诸定律的系理5），无论物体在静止的介质中运动，或者介质的小部分以同样的速度撞击处于静止的物体；我们考虑物体，一如它是静止的，且让我们来看由于介质的运动它被何种冲击推动。所以，指定abki为以c为中心，ca为半直径画出的球体，且介质的小部分以给定的速度沿平行于ac的直线碰到那个物体的表面，又设fb为这样的［平行］直线。在它上面取lb等于半直径cb，且引bd，它与球切于b。在kc和bd上落下垂线be，ld；则力，由它介质的小部分沿直线fb与球面在b倾斜地相碰，比一个力，由它同样的小部分与以轴aci围绕球画出的圆柱ongq在b垂直地相碰，如同ld比lb或者be比bc。再者，这个力沿着它的相碰的方向fb或者ac移动球的效力（efficacia），比它沿确定的方向移动球的效力，亦即，沿直线bc的方向直接推动球的效力，如同be比bc。且由比的联合，一个小部分沿直线fb倾斜地碰在球上，它沿相碰方向移动球的效力，比相同的小部分沿相同的直线垂直地碰在圆柱上，它沿相同的方向移动圆柱的效力，如同be的平方比bc的平方。所以，如果在be上，它垂直于圆柱的底面的圆nao且等于半径ac，取bh等于（bequad. ）/（cb）：则bh比be如同小部分在球上的效力比小部分在圆柱上的效力。且所以立体，它由所有的直线bh占据，比一个立体，它由所有的直线be占据，如同所有的小部分在球上的效力比所有的小部分在圆柱上的效力。但是，前一个立体是以顶点c，轴ca和通径ca画出的抛物线形体（parabolois），且后一个立体是外接抛物线形体的圆柱：习知抛物线形体是外接抛物线形体的圆柱的一半。所以介质在球上的整个力是其在圆柱上的整个力的一半。且所以，如果介质的小部分静止，且一个圆柱和一个球以相等的速度运动，球的阻力是圆柱的阻力的一半。此即所证 。
解释
由同样的方法可以比较其他图形彼此之间的阻力，且能发现那些更适于在阻力介质中继续它们的运动的图形。如以圆形的底cebh，它由中心o，半径oc画出，和高od构作一个圆锥截形cbgf，它所受到的阻碍在沿轴的方向朝着d前进时小于任意其他以相同的底和相同的高构作的圆锥截形：高度od平分于q，并延长oq至s，使得qs等于qc，则s为需求的圆锥截形的顶点。
附带地，由于角csb总为锐角，因此，如果立体adbe由椭圆形或者卵形adbe围绕轴ab旋转生成，且生成的图形被三条直线fg，gh，hi切于点f，b和i，使得gh在切点b垂直于轴，且fg，hi与同一gh包含135度的角fgb，bhi，则立体，它由图形adfghie围绕相同的轴ab旋转生成，所受的阻碍小于前一立体；只要两者都沿它们的轴ab的方向前进，且两者的端点b在前面。的确，我认为这个命题对将来造船不会没有用处。
但如果图形dnfg为此类曲线，如果从它的任意点n向轴ab上落下垂线nm，且由给定的点g引直线gr，它平行于在n与图形相切的直线，又与轴的延长截于r，作成mn比gr如同grcub. 比4br×gbq ；立体，它由这个图形围绕轴ab旋转画出，在以上所说的稀薄介质中自a向b运动，它所受到的阻碍小于以相同的长度和宽度转动画出的任何立体。
命题xxxv 问题vii
如果一种稀薄的介质由小部分构成，它们极小，静止，相等且彼此等距地放置，需求在此介质中均匀前进的一个球所遇到的阻力。
情形1 设想在相同的介质中，一个以相同的直径和高度所画的圆柱以相同的速度沿自身的轴的长度［的方向］前进。且我们假设介质的小部分，它们与球或者圆柱相碰，以最大可能的反射力弹回。又由于球的阻力（由上一命题）是圆柱的阻力的一半，且球比圆柱如同二比三，再者垂直碰到圆柱的小部分，被最大可能地反射，传送它自身速度的二倍给它们。因此，圆柱在均匀前进中画出其轴的长度的一半的时间，传送给小部分的运动比圆柱的整个运动，如同介质的密度比圆柱的密度；且球，在均匀前进中画出其整个直径的时间，传送相同的运动给小部分；又在画出其直径的三分之二的时间，传送给小部分的运动比球的整个运动，如同介质的密度比球的密度。且所以，球遇到的阻力比一个力，由它球的整个运动在球均匀前进中画出其直径的三分之二的时间能被除去或者生成，如同介质的密度比球的密度。
情形2 我们假设介质的小部分与球或者圆柱相碰而不被反射；则圆柱向与它垂直相碰的小部分，传递其单纯的速度给它们，且因此所遇到的阻力是前一种情形的一半；又球的阻力也是前一种情形的一半。
情形3 我们假设介质的小部分从球弹回的反射力既不是最大又不是零，而是某个平均的力，则球的阻力按照第一种情形的阻力和在第二种情形的阻力之间的同一个平均比。此即所求 。
系理1 因此，如果球和小部分无限坚硬，所有弹性力被隔绝，且因此所有反射力也被隔绝：球的阻力比一个力，由它在球画出其直径的三分之四的时间能除去或者生成它的整个运动，如同介质的密度比球的密度。
系理2 球的阻力，其他情况相同，按照速度的二次比。
系理3 球的阻力，其他情况相同，按照直径的二次比。
系理4 球的阻力，其他情况相同，如同介质的密度。
系理5 球的阻力按照一个比，它由来自速度的二次比和直径的二次比，以及介质的密度之比复合而成。
系理6 且球的运动以及它的阻力的能如此表示。设ab为时间，在此期间由于球的阻力的均匀持续能使球失去其全部运动。竖立ad，bc垂直于ab。且设bc为整个运动，再过点c，以ad，ab为渐近线画双曲线cf。延长ab至任意点e。竖立垂线ef交双曲线于f。补足平行四边形cbeg，并引af与bc交于h。则如果球在任意时间be，它的初始的运动bc均匀地持续，在无阻力介质中画出的空间cbeg由平行四边形的面积表示，同一物体在阻力介质中画出的空间cbef由双曲线的面积表示，则其运动在那段时间结束时由双曲线的纵标线ef表示，其运动失去的部分由fg表示。且在同一时间结束时其阻力由长度bh表示，阻力失去的部分由ch表示。所有这些由第ii卷命题v系理1和系理3是明显的。
系理7 因此，如果球在时间t由于均匀地持续的阻力r失去其全部运动m：同一个球在有阻力的介质中经时间t，在那里阻力r按照速度的二次比减小，失去其运动m的（tm）/（t+t）份，剩下（tm）/（t+t）份；且球所画出的空间比由均匀的运动m在相同的时间t所画出的空间，如同数（t+t）/t的对数 （38） （logarithmus）乘以数2.302585092994比数tt，因为双曲线bcfe的面积比矩形bcge按照这个比。
解释
在此命题中我已展示了球形抛射体在不连续的介质（medium non continuum）中的阻力和迟滞，且我显示这个阻力比一个力，由它球在以均匀持续的速度画出其直径的三分之二的时间能除去或者生成球的整个运动，如同介质的密度比球的密度，只要球和介质的小部分是高度弹性的且具有最大的反射力；但这个力，在球和介质的小部分无限坚硬且隔绝任何反射力时，减小一半。此外，在连续的介质中，如水，热油，以及水银中，在其中球不与流体所有产生阻力的小部分相碰，而只压迫最靠的小部分，且这些小部分压迫其他的小部分，它们又压迫其他的小部分，如此下去，在这种介质中阻力减小一半。球在这种极端的流体介质中遇到的阻力比一个力，由它球在以那个均匀持续的运动画出其直径的三分之八的时间能除去或者生成其整个运动，如同介质的密度比球的密度。这正是后面我们要努力表明的。
命题xxxvi 问题viii
确定从圆柱形容器底部开的一个孔中流出的水的运动。
设acdb 为一个圆柱形容器，ab为其上方的开口，底cd平行于地平线，ef为在底中间的圆孔，g为孔的中心，且圆柱的轴gh垂直于地平线。再想象一冰柱apqb，它与容器的腔有相同的宽度，且有相同的轴，又以均匀的运动持续下降，它的部分一接触到表面ab就化成液体，当它们化成水由其重力流入容器，且在它们的下降中形成瀑布或者水柱abnfem，再从孔ef中穿过，并恰好充满它。设冰下降的和在圆ab附近的水的均匀的速度是水下落且由下落画出高度ih所能获得的速度；又ih，hg位于一条直线上，且过点i引直线kl平行于地平线交冰的边缘于k和l。则水从孔ef流出的速度等于水自i下落且由下落画出高度ig所能获得的速度。且因此由伽利略的定理，ig比ih按照从孔流出的水的速度比水在圆ab的速度的二次比，这就是，按照圆ab比圆ef的二次比；因为这些圆与通过它们的水的速度成反比，水在相同的时间以相等的量恰好通过它们。这里所考虑的水的速度朝向地平线。而平行于地平线的运动，由它下落的水的部分彼此靠近，由于它不起源于重力，亦于改变起源于重力的垂直于地平线的运动，这里没有加以考虑。确实我们假设水的部分略有凝结，且由于其凝结在它们下落时由平行于地平线的运动而彼此靠近，使得它们只形成一个瀑布而不被分成几个瀑布，但起源于那种凝结的平行于地平线的运动，这里我们没有考虑。
情形1 现在想象整个容器的腔内包围下落的水abnfem，充满冰，使水通过冰如通过一个漏斗。且如果水与冰几乎不接触，或者，这是一回事，如果水接触冰且由于冰极光滑，水很自由且全然没有阻力地滑过它；水以与以前同样的速度从孔ef流出，且水柱abnfem的整个重量用于产生如同以前的向下流体，再者容器的底承受环绕的冰柱的重量。
现在在容器中的冰溶化；则水流出的速度保持与以前一样。它不小于以前，因为冰化成的水努力下落；它不大于以前，因为冰化成的水不能下落，除非对其他下落的水的阻碍等于其自身的下落。同样的力在流出的水中应产生同样的速度。
但是在容器的底部的孔，因为水的小部分在流出时的倾斜运动，［水流的速度］应稍大于以前。因为现在水的小部分不都垂直从孔通过；而且从容器侧面各处汇流并聚积于孔，以倾斜的运动通过；其路径向下弯折，它们汇合为一水流，在孔的下方较在孔中稍细，它的直径比孔的直径近似地如同5比6或者 比 ，只要我对直径的测量无误。我设法得到在中间穿孔的一块很薄的平板，圆孔的直径为八分之五吋。且流出的水流在下落中不会被加速并由于加速度变细，我将这块板安在容器的侧面而不是底部，使得水流沿平行于地平线的直线流出。然后，当容器中充满水时，我打开孔使水流出；且水流的直径，在离孔二分之一吋的距离，尽可能准确地测量，得出为四十分之二十一吋。所以此圆孔的直径比水流的直径，很近似地如同25比21。所以水流过孔，从各个方向会聚，且流出容器之后，由于会聚而变细，且由于变细而被加速直到离孔半吋远，且在那个距离按照25×25比21×21或者近似地17比12，亦即约略按照二比一的二分之一次比较水流在孔中时细小和快速。由实验证实在给定的时间通过在容器底部的圆孔流出的水量，是以上面所说的速度，不是通过那个孔，而是通过一个圆孔，其直径比那个孔的直径如同21比25，在相同的时间应流出的水量。且因此这些水通过孔向下流出的速度差不多等于一个重物在下落时通过容器中蓄积着的水的高度的一半时能获得的速度。但水在流出容器后，它由于会聚而被加速，直到它前进到离孔几乎等于孔的直径的一个距离，获得一个速度，它约按照二比一的二分之一次比大于水流出孔的速度；这个速度很接近一个重物下落，且其下落画出在容器中蓄积着的水的高度时能获得的速度。
所以，此后水流的直径由我们称为ef的较小的孔表示。再想象在约等于孔的直径的距离处引另一较高的平面vw平行于孔ef的平面且穿一较大的孔st；通过它下落的水流正好充满下方的孔ef，因此它的直径比下方的孔的直径大约如同25比21，由此水流垂直通过下方的孔；且流出的水量，按照这个孔的大小，很接近要求的问题的解。两个平面包围的空间和下落的水流，可以被认为是容器的底部，但为了使问题的解更简单和更数学化，只应用下面的一个平面代替容器的底更好，再想象水从冰上流下好像从漏斗流下，且通过在下方平面的孔ef流出容器，保持其持续的运动，且冰保持静止。所以接下来以z为中心画出直径为st的圆孔，当在容器中的所有水为流体时，瀑布通过孔流出容器。且设ef为孔的直径，下落的瀑布恰好穿过它，无论流出容器的水通过上方的孔，或者从在容器中的冰中间落下如同通过漏斗。且设上方孔的直径比下方孔的直径近似地如同25比21，又孔的平面之间的垂直距离等于较小的孔的直径ef。则水从容器中通过孔st流出，在该孔向下的速度是一个物体从高度iz的一半下落能获得的速度；两个下落的瀑布在孔ef的速度，是一个物体从整个高度ig下落获得的速度。
情形2 如果孔ef不在容器的底的中央，而开在别处；水以与前面相同的速度流出，只要孔的大小相同。因为重物经过倾斜的线比经过垂直的线下降到同样的深度所用的时间要长；但在两种情形中获得相同的下降速度，正如伽利略所证明的。
情形3 水从在容器的侧面上的孔流出的速度是相同的。因为如果孔细小，使得而ab和kl之间的间隔在感觉上消失，且水平地涌出的水流形成抛物线的图形。从这个抛物线的通径能推出，水流出的速度是一个物体在容器中蓄积着的水的高度hg或者ig下落能获得的速度。因为通过所做的一个实验，我发现如果蓄积着的水高于孔的高度为二十吋，且孔高于平行于水平面的高度也是二十吋，涌出的水流落在那个平面上，距离从孔向那个平面落下的垂线计，大约为37吋。因为在没有阻力时水流应以40吋的一个距离落在那个平面上，抛物线形水流的通径是80吋。
情形4 而且流出的水如果向上，它以相同的速度离开。因涌出的细的水流以其垂直运动上升到在容器中蓄积着的水的高度gh或者gi，除了其上升由于空气的阻力而略微受阻；且因此它以从那个高度下落能获得的速度流出。蓄积着的水的每个小部分从各个方向所受的压迫相等（由卷ii命题xix），且以相等的力退离压力被携带到各个方向，无论它通过在容器的底部的孔下降，或者通过其侧面的孔水平地流出，或者进入一管道中并由此从在管道上面的部分所开的细孔射出。且速度，水以此速度流出，是我们在本命题中所定出的，这不仅被推理导出，且由已描述的人所悉知的实验，这也是显然的。
情形5 无论孔是圆形，正方形或者三角形，或者任意［面积］等于圆形的图形，水流出的速度相同。因为水流出的速度与孔的形状无关，而由它低于平面kl的高度引起。
情形6 如果容器abdc的靠下的部分浸没在蓄积着的水中，且蓄积着的水高出容器的底的高度为gr：容器中的水通过孔ef流入蓄积着的水中的速度，是水下落且在其下落中画出高度ir所能获得的速度。因为在容器中低于蓄积着的水的表面的所有水的重量，由于蓄积着的水的承受而平衡，且因此一点也不加速容器中水的下降运动。这种情形亦可通过测量水流出的时间由实验揭示。
系理1 因此，如果水的高度ca延伸至k，使得ak比ck按照在底的任意部分所开的孔的面积比圆ab的面积的二次比：水流出的速度等于一个速度，它能由水下落且在其下落中画出高度kc获得。
系理2 且力，由它能生成涌出的水的所有运动，等于一个圆柱形水柱的重量，它的底是孔ef，且高为2gi或者2ck。因为涌出的水，在流出等于这个圆柱的时间，以其自身的重量自高度gi下落所能获得的速度涌出。
系理3 在容器abdc中所有水的总重量比一个部分的重量，它被用于水向下流出，如同圆ab和ef的和比二倍的圆ef。因为设io是ih和ig之间的比例中项；且由孔ef流出的水，在水滴自i下落能画出高度ig的时间，等于其底为圆ef且高为2ig的一个圆柱，亦即，等于其底为ab且其高是为2io的一个圆柱，因为圆ef比圆ab按照高度ih比高度ig的二分之一次比，这就是，按照比例中项io比高度ig的简单比；且在水滴自i下落能画出高度ih的一段时间，流出的水等于其底为ab且高为2ih一个圆柱；且自i下落的一水滴经h到g画出高度的差hg的一段时间，流出的水，亦即，在立体abnfem中所有的水，等于圆柱的差，亦即，等于其底为ab且高为2ho的一个圆柱。且所以在容器abdc中所有的水比在立体abnfem中所有下落的水如同hg比2ho，亦即，如同ho+og比2ho，或者ih+io比2ih。但是在立体abnfem中所有水的重量用于水流下，且因此在容器中所有水的重量比一个部分的重量，它被用于水流下：如同ih+io比2ih，且因此如同圆ef和ab的和比二倍的圆ef。
系理4 且因此在容器abdc中所有水的重量比另外一个部分的重量，它由容器的底承受，如同圆ab和ef的和比这些圆的差。
系理5 且一个部分的重量，它由容器的底承受，比另外一个部分的重量，它被用于水流下，如同圆ab和ef的差比二倍的较小的圆ef，或者如同底的面积比二倍的孔的面积。
系理6 但一个部分的重量，它只压迫底，比所有水的重量，它垂直压在底上，如同圆ab比圆ab和ef的和，或者如同圆ab比圆ab的二倍对底的超出。因为由系理4，部分的重量，它只压迫底，比在容器中所有水的重量，如同圆ab和ef的差比这些圆的和；且在容器中所有水的重量比垂直压在底上的所有水的重量，如同圆ab比圆ab和ef的差。所以，由错比，部分的重量，它只压迫底，比所有水的重量，它垂直压在底上，如同圆ab比圆ab和ef的和或者圆ab的二倍对底的超出。
系理7 如果在孔ef的中央放置一个以中心g画出的小圆pq，且它与地平线平行：水的重量，它由那个小圆pq承受，大于其底是那个小圆且高为gh的一个水圆柱的三分之一的重量。因为设abnfem为瀑布或者下落的水柱它具有如上的轴gh，并想象冻结在容器中围绕瀑布的和小圆上面的所有水，其流动性对于水的即刻和非常迅速的下落是不需要的。且设phq为小圆之上冻结的水柱，它具有顶点h和高gh。又想象这个瀑布以其全部重量下落，既不靠在phq上又不压迫它，而自由且无摩擦地滑过它；也许除了在冰的顶点，那里在瀑布刚开始下落时，是凹的。且由于环绕瀑布的水amec，bnfd冻结，相对于下落的瀑布的内表面ame，bnf是凸的，如此这个柱phq对瀑布的面也是凸的，且所以大于其底为那个小圆pq且高为gh的一个圆锥，亦即，大于所描述的同底同高的圆柱的三分之一。但那个小圆承受了这个柱的重量，亦即，大于圆锥或者三分之一那个圆柱的一个重量。
系理8 水的重量，它由很小的圆pq承受，似乎小于其底是那个小圆且高为hg的一个水圆柱的三分之二。因为保持以上的假设，想象画出一个其底为那个小圆且半轴或者高为hg的半扁球。则这个图形等于那个圆柱的三分之二且包含其重量由那个小圆承受的冻结的水柱phq。因为为了使水的运动最大地陡直，那个柱的外表面与底pq交于一个稍微尖锐的角，因为水在下落中持续被加速，且因为加速度使柱变细；又由于那个角小于直角，这个柱的下面部分位于半扁球内。它在上面部分也是尖锐的，因为否则水在扁球的顶的水平运动较其向地平线的运动无限地迅速。且小圆pq愈小，柱的顶愈尖锐；又小圆减小以至无穷，则角phq被减小以至无穷，且所以柱位于半扁球内。所以，那个柱小于半扁球，或者其底为那个小圆且高为gh的一个圆柱的三分之二。此外，小圆承受水的力等于这个柱的重量，因为周围水的重量被用于［水］向下流。
系理9 水的重量，它由很小的圆pq承受，近似地等于其底为那个小圆且高为 gh的一个水圆柱的重量。因为这个重量是前述圆锥和半扁球的重量之间的算术平均。但是，如果那个小圆不是特别的小，而被增大直至它等于孔ef；它承受垂直落在其上的所有水的重量，亦即，其底为那个小圆且高为gh的一个水圆柱的重量。
系理10 且（就我所知）重量，它由小圆承受，比其底为那个小圆且高为 gh的一个水圆柱的重量，总很接近地如同efq 比efq - pqq ，或者如出圆ef比这个圆对小圆pq的一半的超出。
引理 iv
一个圆柱，它沿其长度的方向均匀地前进，阻力不因增加或者减少其长度而改变，且因此与由同样的直径所画的圆以同样的速度沿垂直于圆的平面的直线前进时的阻力相同。
因为圆柱的侧面一点也不对抗其运动；且圆柱，当它的长度减小以至无穷时，转化为一个圆。
命题xxxvii 定理xxix
一个圆柱，它在一种被压缩的，无限的且非弹性的流体中沿自身长度的方向均匀地前进；阻力，它起源于［圆柱的］横截部分的大小，比一个力，由它圆柱的整个运动在画出四倍其长度期间能被除去或者生成，非常接近地如同介质的密度比圆柱的密度。
因为如果容器abdc的底cd与蓄积着的水的表面接触，且水从这个容器中经与地平线垂直的圆柱形管道efts流入蓄积着的水中，且小圆pq被放置在管道中央任何平行于地平线的地方，又延长ca至k，使得ak比ck按照管道的开口ef对小圆pq的超出比圆ab的二次比：显然（由命题xxxvi的情形5，情形6以及系理1）水从小圆和容器的壁之间的环形空间穿过的速度是水下落且在其下落中画出高度kc或者ig能获得的速度。
且（由命题xxxvi系理10）如果容器的宽成为无限，使短线hi消失且高度ig、hg相等；水向下流在小圆上的力比其底为那个小圆且高为 ig的一个水圆柱的重量，近似地如同efq 比efq - pqq 。因为以均匀的运动通过整个管道流下的水的力，与在放置在管道中任意部分的小圆pq上的力相同。
现在封闭管道的开口ef、st，且在各个方向受到压迫的小圆上升，在其上升中它迫使上方的水通过小圆和管道的壁之间的环形空间下落：则小圆上升的速度比水下降的速度如同圆ef和pq的差比圆pq，则小圆上升的速度比速度的和，这就是，比水下降的相对速度，以它水流过上升的小圆，如同圆ef和pq的差比圆ef， 或者如同efq -pqq 比efq 。设那个相对速度等于一个速度，由上面的证明，以这个速度水在穿过同样的环形空间期间，小圆保持不动，亦即，等于水下落且在其下落中画出高度ig能获得的速度；则水的力对小圆上升与前面一样（由诸定律的系理v），亦即，上升的小圆的阻力比其底为那个小圆且高为 ig的一个水圆柱的重量，很接近地如同efq 比efq - pqq 。但是小圆的速度比一个速度，水下落且在其下落中画出高度ig得到它，如同efq -pqq 比efq 。
设管道的宽度被增加以至无穷，那些efq -pqq 和efq 以及efq 和efq - pqq 之间的比最终成为等量之比。且所以小圆的速度现在是水下落且在其下落中画出高度ig能获得的速度，它的阻力变成等于其底是那个小圆且高度为高度ig的一半的一个水圆柱的重量，从那里圆柱应下落以获得上升的小圆的速度；且圆柱以这个速度，在下落的时间，画出四倍其自身的长度。但以这个速度沿其自身长度的方向前进的圆柱的阻力，（由引理iv）与小圆的阻力相同，且因此很接近地等于一个力，由它在圆柱画出四倍其自身长度期间，能生成其运动。
如果圆柱的长度被增加或者减小，它的运动以及时间，在此期间它画出四倍其自身的长度，按照相同的比被增加或者减小；且因此那个力，由它运动增加或者减小，在按相同的比例增大或者减小的时间能被生成或者被除去，不被改变；且因此仍等于圆柱的阻力，因为由引理iv这也保持不变。
如果圆柱的密度被增大或者减小：它的运动以及力，由这个力运动能在相同的时间被生成或者除去，按照相同的比被增大或者减小。所以，任意一个圆柱的阻力比一个力，由它在圆柱画出四倍其自身长度期间其整个运动能被生成或者除去，很接近地如同介质的密度比圆柱的密度。此即所证 。
一种流体应被压缩以致成为连续的，它应是连续的且非弹性的，使得所有来源于它的压缩的压力被瞬时地传播，且相等地作用在运动物体的所有部分，阻力不改变。的确，起源于物体的运动的压力，它被用来产生流体的部分的运动，且这产生阻力。但压力，它起源于流体的压缩，无论它多么强，如果被瞬时地传播，它不在连续流体的部分产生运动，对所有的运动不引起改变；且因此既不增大也不减小阻力。无疑流体的作用，它起源于流体的压缩，对于运动物体的尾部不会强于其头部，因此在这一命题中所描述的阻力不会被减小；且对头部的作用不会强于尾部，只要其传播比被压迫的物体的运动无限地迅速。作用无限地迅速且被瞬时地传播，只要流体是连续的且非弹性的。
系理1 圆柱，它们在无限的连续的介质中沿自身的长度［的方向］均匀地前进，阻力按照一个比，它由来自速度的二次比和直径的二次比以及介质的密度之比的复合而成。
系理2 如果管道的宽度不被以至无穷地增加，但圆柱在被密闭的静止介质中沿自身的长度［的方向］均匀地前进，且在此期间它的轴与管道的轴重合：圆柱的阻力比一个力，由它其整个运动能在圆柱画出四倍其长度期间被生成或者除去，按照一个比，它由来自efq 比efq - pqq 的一次比和efq 比efq -pqq 的二次比以及介质的密度比圆柱的密度之比复合而成。
系理3 对同样的假设，又长度l比圆柱长度的四倍按照一个比，它由来自efq 比epq - pqq 的一次比和efq 比efq -pqq 的二次比复合而成；则圆柱的阻力比一个力，由它在圆柱画出长度l期间能除去或者生成其整个运动，如同介质的密度比圆柱的密度。
解释
在这个命题中我们研究的阻力，它只起源于圆柱的横截部分的大小，忽略了可能起源于运动的倾斜的那部分的阻力。因为正如在命题xxxvi的情形1中，运动的倾斜，容器中的水以它从各个方向汇聚于孔ef，阻碍那些水从孔中流出；同样，在这个命题中，运动的倾斜，水的部分以它受到圆柱前端的压迫，它们退离压力且向各个方向扩散，迟滞它们通过圆柱的前端周围的地方向圆柱末端的迁移，使流体移动一个更大的距离且阻力被增大，且几乎按照一个比，由它从容器中流出的水被减小，亦即近似地按照25比21的二次比。同样，在那个命题的第一种情形中，通过假设在容器中所有围绕瀑布的水被冻结，且其运动为倾斜又无用的水的部分保持不运动，我们使水的部分垂直且极充满地通过孔ef；因此在这个命题中，为能除去运动的倾斜，且水的部分通过以最直接和最快速的退离，能给圆柱最便于移动的通道，使得只起源于横截部分的大小的阻力被保持，且它不能被减小，除非减小圆柱的直径。必须这样想象流体的部分，它们的运动是倾斜的，无用的且产生阻力，它们在圆柱的两端彼此静止，且依附并连结在圆柱上。设abcd为一个矩形，且ae和be为以轴ab和一条通径画出的两条抛物线弧，此通径比空间hg，它被下落的圆柱在获得其速度期间画出，如同hg比 ab。又设cf和df为另两条抛物线弧，它们以轴cd和一条通径画出，它是前一条通径的四倍；且图形围绕轴ef旋转生成一个立体，其中间的部分abdc是我们正处理的圆柱，又顶端部分abe和cdf所包含的流体的部分彼此静止且凝结成两个刚性物体，附着在圆柱的两端犹如头和尾。则沿其轴fe的长度［的方向］向着e前进的固体eacfdb的阻力很接近我们在这个命题中所描述的，亦即，它比一个力，由这个力在圆柱以那个均匀连续的运动画出长度4ac期间，圆柱的整个运动或者能被除去或者能被生成，所具有的比与流体的密度比圆柱的密度所具有的比非常接近。且由命题xxxvi系理7，阻力比这个力不可能按照小于2比3的比。
引理 v
如果一个圆柱，一个球和一个扁球，它们的宽度相同，并被如此相继放在一根圆柱形管道中，使得它们的轴与管道的轴重合：这些物体相等地阻碍流过管道的水。
因为管道和圆柱、球以及扁球之间的空间，水从那里通过，是相等的：则水相等地通过相等的空间。
这是如此来自一个假设：圆柱、球或者扁球上方的所有水被冻结，其流动性对水的非常快速的通道不再需要，正如在命题xxxvi系理vii中我所解释的。
引理 vi
对同样的假设，前述物体被流过管道的水相等地推动。
由引理v和运动的第三定律这是显然的。无论如何水和物体之间彼此相互且相等地作用。
引理 vii
如果水在管道中静止，且这些物体以相同的速度沿相反方向穿过管道，它们的阻力彼此相等。
由上一引理这是显然的，因为它们彼此之间的相对运动保持相同。
解释
对所有既凸且圆的物体，其轴与管通的轴重合，情形是相同的。一些偏差可能来源于大的或者小的摩擦；但是在这些引理中，我们假定物体极光滑，且介质没有黏性和摩擦，又流体的部分，由于其偏斜和过多的运动能扰乱、阻碍，且迟滞水从管道流过，彼此静止犹如冻结的冰，并附着在物体的头部和尾部，一如在上一命题的解释中我说明的。因随后我们考虑以给定最大的横截部分画出的圆形物体可能遇到的最小的阻力。
物体浮在流体中，当它一直向前运动，使流体在它们前面上升，在它们后面下沉，特别地如果它们的形状是钝的；且因此它们比如果头和尾都是尖的物体所受的阻力稍大。又物体在弹性流体中运动，如果它们的头和尾是钝的，流体在它前面的收缩稍大且在它后面扩张稍大；且因此比如果头和尾都是尖的物体所受的阻力稍大。但是我们在这些引理和命题中没有论及弹性流体，而是论及非弹性流体；没有论及浮在流体表面的物体，而论及深深地浸没的物体。且当物体在非弹性流体中的阻力已知，在弹性流体中这个阻力需有些增加，如空气以及在蓄积着的流体的表面，如大海和沼泽。
命题xxxviii 定理xxx
一个球，它在无限且无弹性的一种压缩流体中均匀地前进，其阻力比一个力，由它球在画出其直径的三分之八的时间能除去或者生成其整个运动，很接近地如同流体的密度比球的密度。
因为球比外接的圆柱如同二比三；且所以那个力，由它圆柱的所有运动在圆柱画出四倍直径的一个长度期间能被除去，球的所有运动在球画出这个长度的三分之二期间被除去，亦即，球自身直径的三分之八。现在圆柱的阻力比这个力，由命题xxxvii，很近似地如同流体的密度比圆柱的或者球的密度，再由引理v，vi，vii，球的阻力等于圆柱的阻力。此即所证 。
系理1 球在无限压缩的介质中的阻力按照一个比，它由来自速度的二次比及直径的二次比和介质的密度之比复合而成。
系理2 最大的速度，以它一个球由其相对的重力（vis ponderis）能在一种阻力介质中下落，是相同的球以相同的重量无阻力地下落能获得的，球在其下落中画出一个空间，此空间比球自身的直径的三分之四如同球的密度比流体的密度。因为球在其下落的时间，以在下落中获得的速度，画出一个空间，它比球自身的直径的三分之八，如同球的密度比流体的密度；且生成这个运动的重力比一个力，由这个力在以相同的速度画出球自身的直径的三分之八的时间能生成相同的运动，如同流体的密度比球的密度；且因此由本命题，重力等于阻力，所以不能加速球。
系理3 给定球的密度和在开始运动时它的速度，以及球在其中运动的静止的压缩流体的密度；由命题xxxv系理vii，在任意时刻球的速度和它的阻力，以及由它画出的空间被给定。
系理4 一个球在与它自身的密度相同的静止的压缩流体中运动，由同一系理vii，在球画出其直径的二倍之前，它自己的运动已失去一半。
命题xxxix 定理xxxi
一个球，通过被封闭且被压缩在一根圆柱形管道中的流体均匀地向前运动，它的阻力比一个力，由它球在画出其直径的三分之八的时间能生成或者除去其整个运动，很接近地按照一个比，它由来自管道的开口比这个开口对球的最大的圆的一半的超出之比，和管道的开口比这个开口对球的最大的圆的超出的二次比，以及流体的密度比球的密度之比复合而成。
由命题xxxvii系理2，这是显然的，且证明如同上一命题进行。
解释
在以上两个命题中（与在引理v中一样）我假设跑在球前面，且其流动性增大球的阻力的所有的水被冻结。如果所有那些水溶化，阻力有些增加。但在这些命题中阻力增加较小且能被忽略，因为球的凸表面几乎与冰有相同的功能。
命题xl 问题ix
一个球，在一极易流动的、压缩的介质中前进，通过现象求它的阻力。
设a为在真空中球的重量，b为它在阻力介质中的重量，d为球的直径，f为一个空间，它比 d如同球的密度比介质的密度，亦即，如同a比a-b，g为时间，在此期间球以重量b无阻力地下落，画出空间f，且h为速度，它被这个球在其下落中获得。由命题xxxviii系理2，h是最大的速度，以它球由其重量b能在介质中下降；由命题xxxviii系理1，球以那个速度h所遇到的阻力，等于它的重量b；球以其他任意速度所遇到的阻力，比重量b按照它的速度比那个最大的速度h的二次比。
这是起源于流体物质的惰性的阻力。起源于它的部分的弹性，黏性和摩擦的阻力，可如此研究。
放下球使它以自身的重量b在流体中下降；且p为下落的时间，且它以秒计，如果g以秒计。找到绝对数 （39） （numerus absolutus）n，它对应于对数 ，且设l为数（n+1）/n的对数，则在下落中获得的速度为 h，且画出的高度为[（2pf）/g]-1.3862943611f+4.605170186lf。如果流体足够深，可忽略项4.605170186lf；画出的高度很接近[（2pf）/g]-1.3862943611f。这些由第二卷命题九及其系理是显然的，由假设，球不受其他的阻力，除非它来源于物质的惰性。如果它确定受到其他的阻力，下降将会变慢，且由迟滞可以知道这个阻力的量。
如是物体在流体中下落的速度和下降能更容易地知道，我编制了下表，其第一列指示下降的时间，第二列显示在下落中获得的速度，最大的速度为100000000，第三列显示在那些时间下落画出的空间，2f为空间，它由物体以最大的速度在时间g画出，且第四列显示以最大的速度在相同的时间画出的空间。在第四列中的数为（2p）/g，并通过减去数1.3862944－4.6051702l，发现在第三列中的数，且为了得到下落画出的空间，这此数必须乘以空间f。此外加上第五列，其中包含一个物体在真空中下落，由其自身的相对重力b画出的空间。
解释
为了通过实验研究流体的阻力，我得到了一个正方形的木头容器，内部的长和宽各为一伦敦 呎的九吋，深九又二分之一吋，且我用雨水注满容器；并由蜡包着铅制成球，我记录球下降的时间，球下降的高度为112吋，1立方伦敦 呎的立体包含76罗马磅 （40） （libra romana）的雨水，这种呎的一吋的立体包含这种磅的 盎司或者 格令；以一吋的直径画出的水球在空气介质中包含132.645格令雨水，或者在真空中包含132.8格令雨水；且任意其它球如同它在真空中的重量对它在水中的重量的超出。
实验1 一个球，在空气中它的重量为 格令，且在水中为77格令，在四秒钟的时间画出的总高度为112吋。且当实验被重复，球在四秒钟的时间下落相同的路程。
此球在真空中的重量是 格令，且其重量对在水中球的重量的超出是 格令。因此得出球的直径为0.84224吋。但那个超出比在真空中球的重量，如同水的密度比球的密度，于是如同球的直径的三分之八（即2.24597吋）比空间2f，因此它［2f］为4.4256吋。在1秒钟的时间，球由其自身的总重量 格令下落，在真空中画出 吋；且由77格令的重量下落，在相同的时间，在没有阻力的水中画出95.219吋；则在时间g，它比一秒按
照空间f或者2.2128吋比95.219吋的二分之一次比，球画出2.218吋，并能获得在水中下降时的最大的速度h。所以时间g为0′.15244。且在这个时间g，球以最大的速度h画出4.4256吋的一个空间2f；因此在四秒的时间画于116.1245吋的一个空间。减去空间1.3862944f或者3.0676吋，则保留113.0569吋的一个空间，它由球在一个很宽的容器中下落，在四秒钟画出。这个空间，由于上述木头容器的狭窄，应按照来自容器的开口比这个开口对球的最大的半圆的超出的二分之一次比和相同的开口比其对球的最大圆的超出的简单比的复合比减小，亦即按照1比0.9914之比减小。这样做之后，得到112.08吋的一个空间，理论上，球在这个木头容器中下落，在四秒的时间应近似地画出这个空间。且由实验它画出112吋。
实验2 三个相等的球，每个在空气中的重量是 格令且在水中是 格令，相继落下；每一个在水中下落，在十五秒的时间在各自的下落中画出112吋的一个高度。
由计算得出，在真空中一个球的重量是 格令，这个重量对在水中球的重量的超出是 格令，球的直径为0.81296吋，这个直径的三分之八是2.16789吋，空间2f为2.3217吋；一个空间，它由重 格令的球无阻力地下落在1′的时间画出，是12.808吋；且时间g为0′.301056。所以，球以最大的速度，由这个速度球能以 格令的力在水中下落，在0′.301056的时间画出2.3217吋的一个空间，且在15′的时间画出115.678吋的一个空间。减去1.3862944f或者1.609吋的一个空间，则保留114.069吋的一个空间，因此该球在很宽的容器中下落在相同的时间应画出它。由于我们的容器的狭窄，大约0.895吋的空间应被扣除。且因此保留113.174吋的一个空间，理论上，它由球在这个容器中下落，在15′的时间应很接近地画出。且由实验它画出112吋。差异是感觉不到的。
实验3 三个相等的球，每个在空气中的重量是121格令，且在水中是1格令，相继落下；且在水中下落，在46′，47′，和50′的时间，画出112吋的高度。
按照理论，这些球应在大约40′的时间下落。它们的下落得较缓慢是否归之于在缓慢运动中起源于惰性力的阻力比起源于其他原因的阻力的较小的比例；或者是宁可归之于附着于球上的一些小泡，或者蜡由于天气的或者使球落下时手上的热而变稀，或者甚至是在水中称量球时感觉不到的误差，我不能肯定。且因此球在水中的重量应大于一格令，则实验会确实且可信。
实验4 为了研究流体的阻力，我着手至此描述的实验，这早于我得知在最近的命题中阐述的理论。此后，为检验已发现的理论，我得到了一个内部宽 吋，深十五又三分之一呎深的木头容器。然后我由蜡包着铅制成四个球，每个在空气中重 格令且在水中重 格令。再者，我让这些球落下，并用一架半秒的振动摆测量它们在水中的下落时间。球，当被称量时且在此后的下落中，是冰凉的且冰凉被保持一段时间；因为热使蜡变稀，且由于变稀减小在水中的球的重量，已变稀的蜡由于寒冷不立刻回归到原先的密度。在下落前，它们被完全地浸没在水中，使得它们的下落在开始时不被凸出水的部分的某些重量所加速。且当它们完全浸没并静止时，极细心地让它们下落，由释放它们的手不会接受某个冲击。它们相继下落，在振动 ， ，50和51次的时间，画出十五英呎又二吋的高度。但现在的天气比称量球时稍冷，因此在另一天我重复了实验，且球在振动49， ，50和53次的时间下落，第三次做时，球在振动 ，50，51和53次的时间下落。多次重复实验，我得到球大多在振动 和50次的时间下落。当下落较慢时，我怀疑由于它们碰到容器的壁而变缓慢。
现在按照理论进行计算，得出球在真空中球的重量是 格令，这个重量对在水中球的重量的超出是 格令。球的直径为0.99868吋。此直径的三分之八是2.66315吋。空间2f为2.8066吋。一个空间，它由球以 格令的重量在一秒的时间无阻力地下落画出，是9.88164吋。且时间g为0′.376843。所以球，以最大的速度，由它球能以重 格令的重力在水中下降，在0′.376843的时间画出2.8066吋的一个空间。且在1′的时间画出7.44766吋的一个空间，又在25′或者［摆］振动50次的时间画出186.1915吋的一个空间。减去1.386294f或者1.9454吋的一个空间，则保留184.2461吋的一个空间，它由球在一个很宽的容器中下落，在相同的时间画出。由于我们的容器的狭窄，这个空间按照来自容器的开口比这个开口对球的最大的半圆的超出的二分之一次比，和相同的开口比它对球的最大圆的超出的简单比的复合比减小；则得到181.86吋的一个空间，它很接近球在这个容器中在［摆］振动50次的时间由理论应画出的空间。由实验，球在［摆］振动 或者50次的时间，画出182吋的一个空间。
实验5 四个球在空气中重 格令且在水中重 格令，它们多次落下，在 ，29， 和30次，且有时在31，32，或者33次振动的时间，画出十五呎又二吋的一个高度。
由理论它们应在很接近29次振动的时间下落。
实验6 五个球在空气中重 格令，且在水中重 格令，它们多次落下，在振动15， ，16，17和18次的时间，画出十五呎又二吋的一个高度。
由理论它们应在很接近15次振动的时间下落。
实验7 四个球在空气中重 格令，且在水中重 格令，它们多次落下，在［摆］振动 ，30， ，32和33次的时间，画出十五呎又一吋半的一个高度。
由理论它们应在很接近28次振动的时间下落。
在研究诸球，它们的重量和大小相同，在下落时为何有的迅速有的迟缓的原因时，我偶然想到，当初始球被放下并开始下落时，那一侧，它碰巧较重并先下降，产生一振动运动，振动围绕它们的中心。因为由于其自身的振动，一个球传递给水的运动比它下降而没有振动时大，且由此振动失去原有的运动的一部分，球应以此运动下降；且根据振动是较大或者较小，受到较大或者较小的迟滞。此外，球总从振动中正下降的那一侧退离，且由于退离靠近容器的壁，并在某些情况撞在壁上。且这种振动在球较重时强烈，且较大的球对水的推动较大。所以，为减小球的振动，我由蜡和铅新做了球，铅嵌在球中靠近其表面的一侧，且我这样放在球，使较重的一侧尽可能在开始下降时的最低点。于是振动变得比以前小很多，且球在不相等性较小的时间下落，正如在以下的实验中。
实验8 四个球，在空气中重139格令且在水中重 格令，多次落下，在振动不多于52次，不少于50次，且大多在约51次振动的时间下落，画出182吋的一个高度。
由理论它们应在大约52次振动的时间下落。
实验9 四个球，在空气中重 格令，且在水中重 格令，多次落下，在振动不少于12次，不多于13次的时间，画出182吋的一个高度。
由理论这些球应在很接近 次振动的时间下落。
实验10 四个球，在空气中重384格令且在水中重 格令，多次落下，在 ，18， 和19次振动的时间，画出 吋的一个高度。且当它们在19次振动的时间下落时，我有时听到在到达底部之前它们撞击容器的壁。
由理论它们应在很接近 次振动的时间下落。
实验11 三个相等的球，在空气中重48格令且在水中重 ，多次落下，在振动 ，44， ，45和46次，且大多在44和45次的时间，画出很接近 吋的一个高度。
由理论它们应在大约 次振动的时间下落。
实验12 三个相等的球，在空气中重141格令且在水中 格令，数次落下，在61，62，63，64和65次振动的时间，画出182吋的一个高度。
且由理论，它们应在很接近 次振动的时间下落。
从这些实验，显然，当球缓慢下落，如在第二，第四，第五，第八，第十一和第十二个实验中，下落的时间由理论正确地显示；且当球迅速下落，如在第七，第九和第十个实验中，阻力稍大于按照速度的二次比的阻力。因为球在下落期间有些振动；且这个振动在较轻的球且较慢的下落中，由于运动微弱而迅速停止；但是在轻重且较大的球的下落中，由于运动强烈而持续较久，且不能通过包围着的水检验除非在多次振动之后。而且球，它们愈迅速，它们在后面所受水的压迫愈小；且如果速度持续增大，它们最后会在后面留下是真空的一个空间，除非流体的压力同时增大。但是流体的压力（由命题xxxii和xxxiii）应按照速度的二次比增大，使得阻力按照相同的二次比。因为这不会发生，快速的球后面所受的压迫稍小，且由于这个压力的减小，它们的阻力变得稍大于按照速度的二次比的阻力。
所以理论与物体在水中的下落相符，剩下我们检验物体在空气中的下落现象。
实验13 1710年6月，从位于伦敦 城的圣保罗教堂的屋顶，同时落下两个玻璃球，一个充满水银，另一个充满空气；且在下落中它们画出220伦敦 呎的一个高度。一块木板，其一边被悬于铁铰链上，另一边由一个木栓支撑；放在这块板上的两个球同时落下，这通过延伸至地的铁丝拔去木栓，使得木板只倚靠在铁铰链上面而向下旋转，同时一个按秒的振动摆由那条铁丝牵引下落而开始振动。球的直径和重量以及下落的时间显示在下表中。
但是，观察到的时间应被修正。因为水银球（由伽利略的理论）在四秒钟画出257伦敦 呎，故画出220呎仅需3′.42。所以木板，当木栓被拉下时，比它应当要旋转得要慢，且旋转的缓慢阻碍球在开始时的下降。因为球差不多位于木板的中心，且事实上离木板的［转］轴比离木栓更近。且因此下落的时间被延长大约一秒钟的六十分之十八，所以修正应扣除这些时间，特别对较大的球，因为它们的大小使它们在木板上的时间稍久。这样做了之后，时间，在此期间六个较大的球下落，成为8′.12，7′.42，7′.42，7′.57，8′.12，和7′.42。
所以，第五个充满空气的球，直径为五吋，重483格令，在8′.12的时间下落，画出220呎的一个高度。［体积］等于这个球的水的重量是16600格令；且［体积］等于它的空气的重量是 格令，或者 格令；且因此在真空中球的重量是 格令，又这个重量比［体积］等于球的空气的重量，如同 比 ，且因此等于2f比球的直径的三分之八，亦即，比 吋。由此得出2f为28呎11吋。球在真空中，以它自身的全部重量 格令下落，在一秒钟的时间画出 吋如上，则以483格令画出185.905吋，且相同的重量483格令也在真空中在57.58′′的时间画出空间f或者14呎 吋，并获得它能在空气中下降的最大的速度。球以这个速度，在8′.12的时间，画出245呎又 吋的一个空间。减去1.3863f或者20呎 吋，则保留225呎5吋。所以，这个空间，由理论应该在8′.12的时间被球下落画出。在实验中它画出220呎的一个空间。误差是感觉不到的。
对其余充满空气的球应用类似的计算，我编制了下表。
实验14 1719年7月，德扎尔格 先生重做此类实验，猪的一个膀胱通过凹的木球被制成球壳，湿的膀胱由于充入的空气而膨胀；且在它们干了之后被取出，并从同一座教堂的圆顶阁上的一个更高的位置，即从272呎的高度落下；且在同一时刻也下落一个铅球，它的重量约为二罗马磅。且在这期间，有人站在此教堂的最高处，在那里球落下，标记下落的整个时间，又有人站在地上标记铅球下落的和膀胱下落的时间之间的差。且时间由按半秒钟振动的摆测定。在那些站在地上的人中，某人有一只每秒振动四次的弹簧时钟；另一个人有另外一台由每秒振动四次的摆巧妙地制成的机械。站在教堂顶部的人中，也有人有一台类似的机械，且这些机械如此制造，使得它们可随意地开始或者停止。又铅球在约四又四分之一秒的时间下落。且上述的差加上这个时间，膀胱下落的整个时间被确定。时间，在此期间，五个膀胱在铅球落地后继续下落，在第一次为 ′， ′， ′， ′，和 ′，且在第二次为 ′， ′，14′，19′，和 ′。加上时间 ′，在此期间铅球下落，则总的时间，在此期间五个膀胱下落，在第一次为19′，17′， ′，22′，和 ′，且在第二次为 ′， ′， ′， ′，和21′。而在教堂顶部所标记的时间，在第一次为 ′， ′， ′， ′，和 ′，且在第二次为19′， ′， ′，24′，和 ′。但膀胱并不总是一直下落，有时飘浮不定，且在下落中来回摆动。则下落时间被这些运动延长和增加，有时为半秒，有时为一整秒。此外，第二个和第四个膀胱在第一次直线下落；且第一个和第三个膀胱在第二次也如此。第五个膀胱是皱的且由于其皱它稍被迟滞。膀胱的直径我从很细的线环绕它们两次测得的周长导出。且在下表中我把理论与实验相比较，假定空气的密度比雨水的密度如同1比860，并计算空间，由理论球在下落中应画出它们。
所以，我们的理论正确地显示了球在空气中以及在水中运动时几乎所有的阻力，且对等速且等大的球，它与流体的密度成比例。
在一个解释中，它附属于第六部分，由摆的实验我们证明，相等且等速的球在空气，水，和水银中运动，阻力如同流体的密度。在这里由物体在空气和水中下落的实验，我们更精确地证明了同一事情。因为摆在每次振动中，引起流体的一个运动，它总与摆返回时的运动相反，且由起源于这个运动的阻力，以及线的阻力，摆由线悬挂，使得摆的总的阻力大于由物体下落的实验发现的阻力。因为在那个解释中由摆的实验说明，密度与水相同的一个球，在空气中画出自身半直径的一个长度，应失去其自身运动的 。但由在这个第七部分中阐述且由物体下落的实验证实的理论，假定水的密度比空气的密度如同860比1，相同的球画出同样的长度，仅应失去其自身运动的 。所以，由摆的实验发现的阻力大于（因刚才所描述的原因）由球下落的实验发现的阻力，且约按照4比3之比。但是，由于在空气，水，和水银中振动的摆的阻力由于类似的原因而被类似地增大，在这些介质中阻力的比例，不但能由摆的实验，而且能由物体下落的实验足够正确地显示。且因此可以断定，物体在静止且极易流动的流体中运动时的阻力，其他情况相同，如同流体的密度。
由这些如此被确立的，现在有可能很接近地指出在任意流体中被抛射的任意一个球，在一段给定的时间其运动失去的部分。设d为球的直径，且v为运动开始时它的速度，t为时间，在此期间球以速度v在真空中画出一个空间，它比 d的一个空间如同球的密度比流体的密度；又球在那一流体中被抛射，在任意时间t，其速度失去（tv）/（t+t）份，留下（tv）/（t+t）份；且由命题xxxv系理vii，它画出一个空间，这空间比在相同的时间以均匀的速度v在真空中画出的空间，如同数（t+t）/t的对数乘以2.302585093比数t/t。在缓慢的运动中阻力稍小，因为球的形状较以相同的直径画出的一个圆柱的形状稍微更适于运动。在快速的运动中阻力稍大，因为流体的弹性力和压缩力不按照速度的二次比增大。但这里我没有思考此类细节。
且即使空气，水，水银，和类似的流体，它们的部分通过无限分解，被细化而成为流动性无限的介质；它们对被抛射的球的阻碍并不减小。因为阻力，关于它产生了上述命题，起源于物质的惰性；而物质的惰性是物体的本质且总与物质的量成比例。通过流体的部分的分解，阻力，它起源于部分的黏性和摩擦，确能被减小，但由它的部分的分解，物质的量没有被减小；且物质的量被保持，其惰性力被保持，这里讨论的阻力，总与惰性力成比例。因为这个阻力被减小，在一个空间中的物质的量必须被减小，物体在此空间中运动。且所以天体空间，通过它行星的和彗星的球体在各个方向极自由地持续运动，且所有运动没有可察觉到的减小，全然没有物质性的流体，也许非常稀薄的水汽和穿过那些空间的光束是例外。
无疑当抛射体在流体中前进时，它们在流体中激起一个运动，且这个运动起源于抛射体前部的流体的压力对其后部的压力的超出，再者按照每种物质的密度的比，它在流动性无限的介质中不能小于它在空气，水和水银中。且压力的这个超出，与自身的量成比例，不仅在流体中激起运动，而且作用于流体上以迟滞其运动；且所以在所有流体中的阻力如同由抛射体在流体中激起的运动，又它在最精致的以太中，按照以太的密度的比，也不能小于它在空气，水和水银中按照这些流体的密度的比。
